Analisi di Immagini e Dati Biologici

1. Filtri Analisi di Immagini e Dati Biologici L4-1 41

2. Filtri • Trasformazione di un immagine che non si limita alla trasformazione di intensità di un pixel • Il singolo pixel è ricalcolato in funzione del suo valore e del valore dei pixel circostanti • La funzione che “modella” la trasformazione è detta kernel

3. Filtro di smoothing

4. Smoothing Filter • Un pixel della nuova immagine è ricalcolato come media dei pixel circostanti

5. Smoothing Filter • La stessa espressione resa per un pixel generico avente coordinate (u,v)

6. Smoothing Filter • Caratteristiche generali • Dimensione (size): numero di punti lungo righe & colonne coinvolti nel filtro • Forma: Il filtro di media è rettangolare. per filtri di dimensione maggiore si può cercare di approssimare la forma di un disco • Kernel: funzione che determina i valori dei coefficienti del filtro • Principale uso: • Limitazione del rumore luminoso scorrelato dall'oggetto

7. Filtri Lineari • Il filtro di media è un esempio di filtro lineare • E' semplice rappresentare l'azione di un filtro lineare attraverso una matrice • La matrice di un filtro di media:

8. Matrice di un filtro • Quasi sempre le matrici hanno ordine dispari in modo che sia univoco il loro centro • Ogni matrice ha un “hot spot”, generalmente il centro della matrice di un filtro (anche se non necessariamente)

9. Filtri lineari • Modello correlativo del calcolo di un filtro lineare

10. Filtri lineari • Rappresentazione matematica

11. Filtri Lineari • Box filter: è il filtro di media. • Gaussian filter: i coefficienti di un filtro gaussiano non sono costanti, ma calcolati dalla funzione di Gauss in 2-D

12. Esempi di filtri lineari

13. Filtri lineari octave:1> fspecial("average",3) ans = 0.11111 0.11111 0.11111 0.11111 0.11111 0.11111 0.11111 0.11111 0.11111 octave:2> fspecial("gaussian",3) ans = 0.011344 0.083820 0.011344 0.083820 0.619347 0.083820 0.011344 0.083820 0.011344

14. Filtro gaussiano • Originale • 3x3, σ=1 • 5x5,σ=2

15. Smoothing

16. Octave: fspecial • -> fspecial(type,arg1,arg2) • Ritorna una matrice basata su un kernel definito dalla stringa passata come primo argomento (type) • Controllata da 1,2 o 3 argomenti • Tipo di filtro da generare • Parametro di controllo 1 • Parametro di controllo 2

17. Octave: fspecial • Filtri di smoothing generati • Average: filtro di media • Gaussian: filtro con kernel gaussiano • Disk: analogo del filtro di media ma con supporto circolare

18. Octave: fspecial • → type = “average” • Filtro di media rettangolare. In assenza di altri argomenti genera un filtro 3x3 • Se il secondo argomento è un intero = N ritorna il filtro di media rettangolare NxN • Se è un vettore di 2 elementi allora vengono interpretati per creare una matrice NxM octave:1> fspecial("average",5) ans = 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 0.040000 octave:2> 0.04*25 ans = 1

19. Octave: fspecial • → type = “gaussian” • Il secondo argomento è interpretato come per il filtro di media “average” • Il terzo argomento è la dispersione σ (“spread”) della funzione octave:3> fspecial("gaussian",5) ans = 6.9625e-08 2.8089e-05 2.0755e-04 2.8089e-05 6.9625e-08 2.8089e-05 1.1332e-02 8.3731e-02 1.1332e-02 2.8089e-05 2.0755e-04 8.3731e-02 6.1869e-01 8.3731e-02 2.0755e-04 2.8089e-05 1.1332e-02 8.3731e-02 1.1332e-02 2.8089e-05 6.9625e-08 2.8089e-05 2.0755e-04 2.8089e-05 6.9625e-08 octave:4> sum(sum(fspecial("gaussian",5))) ans = 1

20. Octave: fspecial • Il signficato del terzo argomento (opzionale) dipende dal tipo di filtro che state generando • Per il box-filter (“average”) è la dimensione del supporto rettangolare del filtro (può essere un vettore di 2 elementi) • Per il filtro gaussiano il terzo argomento è la dispersione del filtro (default = 0.5) • Per il filtro circolare (“disk”) è il raggio del disco • Provate a confrontare l'output di fspecial per un filtro gaussiano di ordine 7 cambiando il valore della dispersione

21. Octave's filtering: imfilter(I, f) • Funzione di Octave che implementa un filtro lineare • J = imfilter(I, f) • 'I' immagine da filtrare • 'f' matrice del filtro • 'J' matrice dell'immagine di output • Preserva la classe dell'immagine di input • Se l'immagine è RGB agisce separatamente su ogni piano di colore

22. Smoothing octave:1> cd Desktop/ octave:2> ht=imread('halftone.tiff'); octave:3> imshow(ht) octave:4> figure octave:5> htf = imfilter(ht,fspecial("gaussian",7,1.5)); octave:6> imshow(htf) octave:7>

23. Filtri lineari • Convoluzione

24. Filtri lineari • Modello convolutivo • La funzione di correlazione con cui si rappresenta l'azione di un filtro viene più convenientemente espressa come convoluzione

25. Filtri lineari • Passaggio da convoluzione a correlazione

26. Filtri non lineari • I filtri lineari • Pixel di un immagine risultante funzione di NxM pixel • Problema del 'blurring' (offuscamento)

27. Filtri non lineari: max e min

28. Filtro max e min

29. Filtro di mediana • Il median filter seleziona per ogni pixel dell'immagine di output il valore della mediana dei valori di un intorno

30. Filtro di Mediana

31. Filtro di Mediana

32. Filtro di Mediana

33. Filtro di Mediana

34. Point Spread Function • Funzione di trasferimento ottico del sistema • Un modello lineare della funzione ottica può essere rappresentato matematicamente come convoluzione della PSF con una sorgente puntiforme • La PSF rappresenta il modello di tutte le alterazioni che avvengono nella formazione dell'immagine rispetto al modello teorico

35. Filtri Lineari e System identification • Impulse Response: filtro che lascia l'input intatto • E' rappresentato dalla funzione δ

36. Determinazione dell PSF • La funzione δ preserva una immagine, costituisce cioè l'identità del prodotto di convoluzione

37. Determinazione della PSF • Per correggere il comportamento di un sistema ottico si usano sorgenti puntiformi • Si va ad osservare l'immagine che si forma che è una rappresentazione della PSF

38. Effetti della PSF • Aberrazione sferica

39. Convoluzione

40. Esempi di effetti della PSF • “Diffraction spikes” nei telescopi • Ogni stella è una sorgente approssimativamente puntiforme • Il risultato è la somma di sorgenti “tipo puntiforme” • Ogni sorgente riproduce la PSF del telescopio che crea l'effetto delle “diffraction spikes”