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1. 集合

1. 集合. 五島 正裕. 集合. 現代数学すべての基本 自然数も集合によって定義. 集合. 集合： 「明確に定義された対象の集まり」 要素 ( element) x ∈ A 表現 外延的表現 ( extensional) A = {1, 2, 3} 内包的表現 ( intentional) A = {x | x は 1 ≦ x ≦ 3 を満たす整数 }. 空集合 ( empty set) φ 包含関係 A ⊂ B, B ⊃ A. 集合の演算. 和集合 ( union)

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Presentation Transcript

  1. 1. 集合 五島 正裕

  2. 集合 現代数学すべての基本 自然数も集合によって定義

  3. 集合 • 集合： • 「明確に定義された対象の集まり」 • 要素 (element) • x ∈ A • 表現 • 外延的表現 (extensional) • A = {1, 2, 3} • 内包的表現 (intentional) • A = {x | xは1≦x≦3を満たす整数}

  4. 空集合 (empty set) • φ • 包含関係 • A ⊂ B, B ⊃ A

  5. 集合の演算 • 和集合 (union) • A ∪ B = {x | x ∈ Aまたはx ∈ B} • 積集合 (intersection) • A ∩ B = {x | x ∈ Aかつx ∈ B} • 差集合 (difference) • A － B = {x | x ∈ Aかつx \∈ B} • 補集合 (complement) • ある集合Uの部分集合だけを問題とするとき • Aの上に横棒 = A^c = U － A • 直積 (direct product, Cartesian product) • A × B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}

  6. 濃度 • 濃度 (potency, power) • 集合の大きさ, 有限集合の場合は要素数 • |A|

  7. 巾（べき）集合 • 巾集合 (power set) • 集合 A の部分集合すべての集合 • 2A • A = {a, b, c} なら • 2A = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}} • 2A • A → {0,1} への写像全体の集合と同一視できる • | 2A | = 2|A|

  8. 代表的な無限集合の記法 自然数： N 整 数： Z 有理数： Q 実 数： R

  9. 無限集合の濃度 • 無限集合の濃度の比較 • 全単射写像が存在すれば |A| = |B| • AからBへの単射が存在すれば |A| ≦ |B| • 全単射写像の作り方 • システマティックな数え上げの方法

  10. 無限ホテル by ヒルベルト 無限の部屋があるホテルがあり，満室だった． 突然の客が来て，どうしても泊めて欲しいと言う． 1号室の客は2号室へ，2号室の客は3号室へ，… ，と移ってもらうと， 1号室が空く．

  11. 無限ホテル by ヒルベルト 無限の部屋があるホテルがあり，満室だった． 突然 無限人の客が来て，どうしても泊めて欲しいと言う． 1号室の客は2号室へ，2号室の客は4号室へ，… ，n 号室の客は 2n 号室へと移ってもらうと，無限の部屋が空く． 自然数の濃度 = 奇数（偶数）の濃度！

  12. 自然数と整数の濃度 自然数 ⇔ 整数 0 1 2 3 4 5 ... 0 1 -1 2 -2 3 ...

  13. 有理数の濃度 自然数 → 有理数の単射は簡単 有理数 → 自然数の単射は1/1 1/2 1/3 1/4 ...2/1 2/2 2/3 2/4 ...3/1 3/2 3/3 3/4 ......分子+分母をしだいに大きく

  14. 実数の濃度 • 自然数と実数の濃度は違う • 「対角線論法」 • 正の実数全体 → (0,1) の実数 • シグモイド関数（ロジスティック関数） • y = 1/(1 + exp(-x))

  15. 対角線論法 by カントール 1: α1 = 0. a11a12a13 … 2:α2= 0. a21a22a23… 3:α3= 0. a31a32a33… n:αn= 0. an1an2an3… ann … β = 0. b1b2b3… bn… bi = 7 (0 ≤ ai≤ 4) 2 (5 ≤ai≤ 9)

  16. א • 一般に |A| < |2A| • 自然数 の濃度：　可算無限： א0 • 実　数 の濃度：非可算無限： א • א • アレフ • ヘブライ語のアルファ

  17. どんな仕様のプログラムでも書けるか？ • あらゆるプログラム • プログラム: 文字の有限長の並び • 文字コードでエンコードすれば有限長のビット列 → 自然数と同じ濃度 • あらゆる仕様とは? たとえば： • 入力: 自然数 • 出力: 0 または 1 というプログラムの仕様 (入出力の関係) は: • 入力: 0 1 2 3 4 5 ... • 出力: 0 1 1 0 1 0 ... という無限長の0/1列で表現できる.

  18. どんな仕様のプログラムでも書けるか？ • プログラムの実行結果の一覧表 0: 01101011... 1: 11011001... 2: 00110110... ...対角線論法により, ここに出現しない仕様があるはず. • 入力の自然数には上限 (32b とか)があるが？ • 入力を「任意長文字列」→「自然数」とすれば同じ

  19. Russel のパラドクス • 「集合の集合」も考えられる • 「自分自身を要素として持つような集合」 • 例: あらゆる集合の集合 • 「自分自身を要素として持たない集合すべての集合」S • S自身は S の要素か? • Yes → S の定義に違反 • No → S の定義から S は S の要素であるべき

  20. Russel のパラドクス ある村にはただ一人の理髪師がいて，自分で自分のヒゲを剃らない村人全員のヒゲを剃るとする．この理髪師は，自分のヒゲを剃るか？ ある図書館の図書目録のうちで，自分自身を載せていないものすべての目録を作る．この目録自体は，この目録に載せるべき？ 自分の市に住んでいない市長のみを集めて「市長市」を作る．「市長市」の市長には誰がなるか？

  21. 素朴集合論の破綻 素朴集合論 → 公理的集合論

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