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第六章 粘性流体的一维定常流动. 第一节 黏性流体总流的伯努利方程 第二节 黏性流体的两种流动型态 第三节 流动损失分类 第四节 圆管中流体的层流流动 第五节 圆管中流体的紊流流动 第六节 沿程阻力系数的实验研究 第七节 非圆形截面管道沿程损失的计算 第八节 局部损失的计算 第九节 管 道 水 力 计 算 第十节 水击现象.
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第六章 粘性流体的一维定常流动 第一节 黏性流体总流的伯努利方程 第二节 黏性流体的两种流动型态 第三节 流动损失分类 第四节 圆管中流体的层流流动 第五节 圆管中流体的紊流流动 第六节 沿程阻力系数的实验研究 第七节 非圆形截面管道沿程损失的计算 第八节 局部损失的计算 第九节 管 道 水 力 计 算 第十节 水击现象
第一节 黏性流体总流的伯努利方程 一、黏性流体微元流束的伯努利方程 在第三章中已经得到了理想不可压缩流体作定常流动时，质 量力仅为重力情况下的微 元流束的伯努利方程，该式说明 流体微团沿流线运动时总机械能不变。但是对于黏性流体， 在流动时为了克服由于黏性的存在所产生的阻力将损失掉部 分机械能，因而流体微团在流 动过程中，其总机械能沿流 动方向不断地减少。如果黏性流体从截面1流向截面2，则截 面2处的总机械能必定小于截面1处的总机械能。若以 表 示单 位重量流体自截面1到2的流动中所损失的机械能（又 称为水头损失），则黏性流体微元流束的伯努利方程为 (6-1) 式（6-1）的几何解释如图6-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点的位置高度 、压强 和流速 都可认为是相同的。而总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 、压强和流速 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时才能符合这个要求。
由于流线几乎是平行直线，则各有效截面上相应点的流速几乎不变，成为均匀流，由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计，又由于流线的曲率半径很大，故向心力加速度很小，以致可将离心力忽略。于是缓变流中的流体微团只受重力和压强的作用，故缓变流的有效截面上各点的压强分布与静压强分布规律一样，即在同一有效截面上各点的 常数。当然在不同的有效截面上有不同的常数值。 掌握了缓变流动的特性之后，就可以将黏性流体微元流束的伯努利方程应用于总流，从而推导出适用于两个缓变流有效截面的黏性流体总流的伯努利方程。
以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出 则通过该微元流束的总能量在截面1与截面2之间的关系式 为 积分上式，则得总流在有效截面1和有效截面2之间的总能量 关系式 （6-2）
若有效截面1和有效截面2处的流动都是缓变流动，则 和 ， 和 是两个不同的常数，于是式（6-2）可写 成 （6-3） 对于不可压缩流体，以 通除式（6-3）各项得 （6-4） 用有效截面上的平均流速 代替真实流速 ，则可将式（6- 4）中总流的平均单位重量 流体的动能项改写为 （6-5） 式中 —总流的动能修正系数 （6-6）
以 表示总流有效截面1和有效截面2之间的平均单 位重量流体的能量损失，即 （6-7） 将式（6-5）和式（6-7）代人式（6-4）中得： （6-8） 这就是黏性流体总流的伯努利方程。适用范围是：重力作用下不可压缩黏性流体定常流动的任意两个缓变流的有效截面，至于两个有效截面之间是否是缓变流则无关系。由式(6-8)可以看出，如同黏性流体沿微元流束的流动情况一样，为了克服流动阻力，总流的总机械能即实际总水头线也是沿流线方向逐渐减少的，如图6-2所示。
动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的，它可按式（6-6）根据有效截面上的速度分布规律而求得。 是个大于1的数，有效截面上的流速越均匀， 值越趋近于1。在实际工业管道中，通常都近似地取 。以后如不加特别说明，都假定 ，并以 代表平均流速。而对于圆管层流流动 。
【例6-1】 有一文丘里管如图6-3所示，若水银差压计的指示为360mmHg，并设从截面A流到截面B的水头损失为0.2mH2O， =300mm， =150mm，试求此时通过文丘里管的流量是多少? 图6-3 文丘里管
【解】 以截面A为基准面列出截面A和B的伯努利方程 由此得 （a） 由连续性方程 所以 （b）
水银差压计1—1为等压面，则有 由上式可得 （c） 将式（b）和式（c）代入（a）中 解得 （m/s） （m3/s）
【例6-2】 有一离心水泵装置如图6-4所示。已知该泵的输水量 m3/h，吸水管内径 150mm，吸水管路的总水头损失 mH2O，水泵入口2—2处，真空表读数为450mmHg，若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度 为多少? 图6-4 离心泵装置示意图
【解】 选取吸水池液面l—1和泵进口截面2—2这两个缓变流截面列伯努利方程，并以1—1为基准面，则得 因为吸水池面积足够大，故 。且 （m/s） 为泵吸水口截面2—2处的绝对压强，其值为 将和值代入上式可得 （mH2O）
第二节 黏性流体的两种流动型态 从上节式（6-8）的黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失 项，由于流体流动的能量损失与流动状态有很大关系，因此，我们首先讨论黏性流体流型。 黏性流体的流动存在着两种不同的流型，即层流和紊流，这两种流动型态由英国物理学家雷诺（Reynolds）在1883年通过他的实验（即著名的雷诺实验）大量观察了各种不同直径玻璃管中的水流，总结说明了这两种流动状态。
一、雷诺实验 雷诺实验装置如图6-5所示。实验的步骤如下： (1) 首先将水箱A注满水，并利用溢水管H保持水箱中的水位恒定，然后微微打开玻璃管末端的调节阀C，水流以很小速度沿玻璃管流出。再打开颜色水瓶D上的小阀K，使颜色水沿细管E流入玻璃管B中。当玻璃管中水流速度保持很小时，看到管中颜色水呈明显的直线形状，不与周围的水流相混。这说明在低速流动中，水流质点完全沿着管轴方向直线运动，这种流动状态称为层流，如图6-6(a)所示。 图6-5 雷诺实验 图6-6 层流、紊流及过渡状态
(2) 调节阀C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直线流将开始振荡，发生弯曲，如图6-6(b)所示。 (3) 再开大调节阀C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管E流出，经很短一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图6-6(c)所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同时还互相掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊流（或湍流）。 表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临界流速，以 表示。则 如果将调节阀C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管内仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层流，颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的流速要比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态转化时的流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为上临界流速，以 。 表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临界速， 以 表示。则
雷诺实验表明：①当流速大于上临界流速时为紊流；当流速小于下临界流速时为层流；当流速介于上、下临界流速之间时，可能是层流也可能是紊流，这与实验的起始状态、有无扰动等因素有关，不过实践证明，是紊流的可能性更多些。②在相同的玻璃管径下用不同的液体进行实验，所测得的临界流速也不同，黏性大的液体临界流速也大；若用相同的液体在不同玻璃管径下进行试验，所测得的临界流速也不同，管径大的临界流速反而小。雷诺实验表明：①当流速大于上临界流速时为紊流；当流速小于下临界流速时为层流；当流速介于上、下临界流速之间时，可能是层流也可能是紊流，这与实验的起始状态、有无扰动等因素有关，不过实践证明，是紊流的可能性更多些。②在相同的玻璃管径下用不同的液体进行实验，所测得的临界流速也不同，黏性大的液体临界流速也大；若用相同的液体在不同玻璃管径下进行试验，所测得的临界流速也不同，管径大的临界流速反而小。
二、雷诺数 综上可知，流体的流动状态是层流还是紊流，与流速、管径和流体的黏性等物理性质有关。雷诺根据大量的实验数据证明，流体的临界流速 与流体的动力黏度 成正比，与管 内径 和流体的密度 成反比，即 他引出一个比例系数 ，上式可写成等式 或 （6-9） 称为临界雷诺数，是一个无量纲数。 这个比例系数
经过雷诺实验和他以后的许多学者如席勒（Ludwig Schiller）的精密实验结果指明，对于非常光滑、均匀一致的直圆管，下临界雷诺数 等于2320。但对于一般程度的粗糙壁管 值稍低，约为2000，所以在工业管道中通常取下临界雷诺数 。上临界雷诺数 不易测得其精确数值，一般取为13800。于是得 无数实验证明，不管流速多少、管内径多大、也不管流体的运动黏度如何，只要雷诺数相等，它们的流动状态就相似。所以雷诺数是判别流体流动状态的准则数，即：
当流体流动的雷诺数 时，流动状态为层流；当时 ，则为紊流；当 时，流动状态可能是层流，也可能是紊流，处于极不稳定的状态，任意微小扰动都能破坏稳定，变为紊流。 显然，上临界雷诺数在工程上一般没有实用意义，故通常都采用下临界雷诺数 作为判别流动状态是层流或紊流的准则数。即： 是层流 ≤2000 是紊流 >2000
工程中实际流体（如水、空气、蒸汽等）的流动，几乎都是紊流，只有黏性较大的液体（如石油、润滑油、重油等）在低速流动中，才会出现层流。工程中实际流体（如水、空气、蒸汽等）的流动，几乎都是紊流，只有黏性较大的液体（如石油、润滑油、重油等）在低速流动中，才会出现层流。 流体在任意形状截面的管道中流动时，雷诺数的形式是 (6-10) 式中 为当量直径。 雷诺数之所以能作判别层流和紊流的标准，可根据雷诺数的物理意义来解释。黏性流体流动时受到惯性力和黏性力的作用，这两个力用量纲可分别表示为 惯性力 黏性力
由此可知雷诺数是惯性力与黏性力的比值。雷诺数的大小表示了流体在流动过程中惯性力和黏性力哪个起主导作用。雷诺数小，表示黏性力起主导作用，流体质点受黏性的约束，处于层流状态；雷诺数大表示惯性力起主导作用，黏性不足以约束流体质点的紊乱运动，流动便处于紊流状态。由此可知雷诺数是惯性力与黏性力的比值。雷诺数的大小表示了流体在流动过程中惯性力和黏性力哪个起主导作用。雷诺数小，表示黏性力起主导作用，流体质点受黏性的约束，处于层流状态；雷诺数大表示惯性力起主导作用，黏性不足以约束流体质点的紊乱运动，流动便处于紊流状态。
三、能量损失与平均流速的关系 如果将两根测压管接在雷诺实验装置中玻璃管B的前后两端，如图6-7所示，可测出有效截面1-1和2-2间的能量损失，并找出管中平均流速与能量损失之间的关系。 列截面1-1和2-2的伯努利方程 由于玻璃管是等截面管，所以 ， 并令 ，另外玻璃 管是水平放置的，即 ，于是上式可写成 可见，测压管中的水柱高差即为有效截面1-1和2-2间的压头损失。
将测得的平均流速和相应的压头损失，在对数坐标上表示出，如图4-8所 示。先做层流到紊流的试验，当流速逐渐增加时， 与 成正比增大，如图中的OAB直线。当流速增加到一定程度时层流变为紊流， 突然从B点上升到C点。以后再增大流速时， 要比 增加得快，如图中的CD线，其斜率比OAB线的斜率大，此后若将流速逐渐减小，则 与 的关系曲线沿DCAO线下降。A点和B点各为相应的下临界流速 和上临界流速 ，ABC为过渡区。
图6-7 水平等直管道中水头损失 图6-8 层流和紊流的与的关系曲线
由实验所得的图6-8可知，当 时，即层流时， 与 的一次方成正比；当 时，即紊流时， 与 成正比。 值与管壁粗糙度有关：对于管壁非常光滑的管道 ；对于管壁粗糙的管道 .所以紊流中的压头损失比层流中的要大。 从上述讨论可以得出，流型不同，其能量损失与速度之间的关系差别很大，因此，在计算管道内的能量损失时，必须首先判别其流态（层流，紊流），然后根据所确定的流态选择不同的计算方法。
【例6-3】 管道直径 100mm，输送水的流量 m3/s，水的运动黏度 m2/s，求水在管中的流动状态？若输送 m2/s的石油，保持前一种情况下的流速不变，流动又是什么状态？ 【解】 （1）雷诺数 （m/s） 故水在管道中是紊流状态。
（2） 故油在管中是层流状态。
第三节 流动损失分类 实际流体在管内流动时，由于黏性的存在，总要产生能量损失。产生能量损失的原因和影响因素很复杂，通常可包括黏性阻力造成的黏性损失 和局部阻力造成的局部损失 两部分。 一、沿程阻力与沿程损失 黏性流体在管道中流动时，流体与管壁面以及流体之间存在摩擦力，所以沿着流动路程，流体流动时总是受到摩擦力的阻滞，这种沿流程的摩擦阻力，称为沿程阻力。流体流动克服沿程阻力而损失的能量，就称为沿程损失。沿程损失是发生在缓变流整个流程中的能量损失，它的大小与流过的管道长度成正比。造成沿程损失的原因是流体的黏性，因而这种损失的大小与流体的流动状态（层流或紊流）有密切关系。
单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 表示，单位体积流体的沿程损失，又称为沿程压强损失，以 表示 。 在管道流动中的沿程损失可用下式求得 (6-11) (6-11a) 式中 —沿程阻力系数，它与雷诺数和管壁粗糙度有关，是一 个无量纲的系数，将在本章第六节进行讨论； —管道长度，m； —管道内径，m； —管道中有效截面上的平均流速，m/s。 式（6-11）称为达西-威斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
二、局部阻力与局部损失 在管道系统中通常装有阀门、弯管、变截面管等局部装置。流体流经这些局部装置时流速将重新分布，流体质点与质点及与局部装置之间发生碰撞、产生漩涡，使流体的流动受到阻碍，由于这种阻碍是发生在局部的急变流动区段，所以称为局部阻力。流体为克服局部阻力所损失的能量，称为局部损失。 单位重量流体的局部损失称为局部水头损失，以 表示，单位体积流体的局部损失，又称为局部压强损失，以 表示 。 在管道流动中局部损失可用下式求得 (6-12) 式中 —局部阻力系数。 (6-12a) 局部阻力系数 是一个无量纲的系数，根据不同的局部装置由实验确定。在本章第八节进行讨论。
三、总阻力与总能量损失 在工程实际中，绝大多数管道系统是由许多等直管段和一些管道附件连接在一起所组成的，所以在一个管道系统中，既有沿程损失又有局部损失。我们把沿程阻力和局部阻力二者之和称为总阻力，沿程损失和局部损失二者之和称为总能量损失。总能量损失应等于各段沿程损失和局部损失的总和，即 (6-13) (6-13a) 上述公式称为能量损失的叠加原理。
第四节 圆管中流体的层流流动 黏性流体在圆形管道中作层流流动时，由于黏性的作用，在管壁上流体质点的流速等于零，随着流层离开管壁接近管轴时，流速逐渐增加，至圆管的中心流速达到最大值。本节讨论流体在等直径圆管中作定常层流流动时，在其有效截面上切应力和流速的分布规律。 一、数学模型 图6-9 等直径圆管中的定常层流流动 流体在等直径圆管中作定常层流流动时，取半径为 ，长度为 的流段1-2为分析对象，如图6-9所示。作用在流段1—2上的力有：截面1-1和2-2上的总压力 和 ，在这里是假设截面1-1和2-2上的压强分布是均匀的；流段1-2的重力 ；作用在流段侧面上的总摩擦力 ，方向与流动方向相反。
由于流体在等直径圆管中作定常流动时加速度为零，故不产生惯性力。根据平衡条件，写出作用在所取流段上各力在流动轴线上的平衡方程：由于流体在等直径圆管中作定常流动时加速度为零，故不产生惯性力。根据平衡条件，写出作用在所取流段上各力在流动轴线上的平衡方程： 式中： 图6-9 等直径圆管中的定常层流流动
以 除以上式各项，整理得 (6-14) 对截面1-1和2-2列出伯努利方程得 ， 在等直径圆管中 ， ，故 (6-15)
将式（6-15）代入式（6-14）中得 (6-16) 在层流中切应力 可用牛顿内摩擦定律来表示，即 (6-17) 由于流速 随半径 的增加而减小，即 是负值，为了使 为正值，式（6-17）等号在右端取负号。
二、速度分布 为了求出速度分布，现将式（6-17）代入式（6-16）中整理得 积分上式得 根据边界条件确定积分常数 ，在管壁上 ， ，则 代入上式得 (6-18)
式（6-18）表明在有效截面上各点的流速 与点所在的半径 成二次抛物线关系，如图6-10所示。 在 的管轴上，流速达到最大值： 图6-10 圆管中层流的速度分布 (6-19) 三、流量及平均流速 现求圆管中层流的流量：取半径 处厚度为d 的一个微小环形面积，每秒通过这环形面积的流量为
由通过圆管有效截面上的流量为 (6-20) 这就是层流管流的哈根-普索勒（Hagen-Poiseuille）流量定律。该定律说明：圆管中流体作层流流动时，流量与单位长度的压强降和管半径的四次方成正比。
圆管有效截面上的平均流速 (6-21) 比较式（6-19）和式（6-21）可得 (6-22) 即圆管中层流流动时，平均流速为最大流速的一半。工程中应用这一特性，可直接从管轴心测得最大流速从而得到管中的流量 ，这种测量层流的流量的方法是非常简便的。
四、切应力分布 由牛顿内摩擦定律可得到切应力在有效截面上的分布规律。 (6-23) 在管壁处 ， ，故式（6-23）成为 (6-24) 由式（6-23）和式（6-24）得 (6-25) 式（6-25）表明，在圆管的有效截面上，切应力 与管半径 的一次方成比例，为直线关系，在管轴心处 时 ，如图6-11所示。 图6-11 圆管有效截面上的切应力
五、沿程损失 流体在等直径圆管中作层流流动时，流体与管壁及流体层与层之间的摩擦，将引起能量损失，这种损失为沿程损失。由式（6-21）可得沿程损失 由此可见，层流时沿程损失与平均流速的一次方成正比。 由于 ，代入上式得
令 （6-26） 为沿程阻力系数，在层流中仅与雷诺数有关。于是得 该式与式（6-11）的形式相同。 六、动能修正系数 已知黏性流体在圆管中作层流流动时的速度分布规律，便可求出黏性流体总流伯努利方程中的动能修正系数 ，将式（6-18）和式（6-21）代入到式（6-6）得： (6-27)
【例6-4】 圆管直径 mm，管长 m，输送运动黏度 cm2/s的石油，流量 m3/h，求沿程损失。 【解】 判别流动状态 为层流 式中 （m/s） 由式（6-6） （m油柱）
【例6-5】 输送润滑油的管子直径 8mm，管长 15m，如图6-12所示。油的运动黏度 m2/s，流量 12cm3/s，求油箱的水头 （不计局部损失）。 （m/s） 雷诺数 为层流列截面1-1和2-2的伯努利方程 图6-12 润滑油管路
认为油箱面积足够大，取 ，则 (m)
第五节 圆管中流体的紊流流动 从本章第二节中的雷诺实验可知，当 时，管内流动便会出现 杂乱无章的紊流，流体运动的参数，如速度、压强等均随时间不停地变化。在紊统流动时，其有效截面上的切应力、流速分布等与层流时有很大的不同。 一、紊流脉动现象与时均速度 流体质点在运动过程中，不断地互相掺混，引起质点间的碰撞和摩擦，产生了无数旋涡，形成了紊流的脉动性，这些旋涡是造成速度等参数脉动的原因。紊流是一种不规则的流动状态，其流动参数随时间和空间作随机变化，因而本质上是三维非定常流动，且流动空间分布着无数大小和形状各不相同的旋涡。因此，可以简单地说，紊流是随机的三维非定常有旋流动。流动参数的变化称为脉动现象。
