macierzy.

1. Macierz odwrotna Sposoby odwracania macierzy. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2. W prezentacji w której wprowadziliśmy trochę dziwne mnożenie macierzy, zdefiniowaliśmy pojęcie macierzy odwrotnej i podaliśmy sposoby konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy drugiego stopnia. Przypomnijmy je. Jak znaleźć macierz odwrotną do macierzy : 1. Z definicji, szukamy takiej macierzy, by ich iloczyn był równy macierzy jednostkowej. Z definicji mnożenia macierzy otrzymamy układ równań : Rozwiązując go otrzymamy : Zatem macierzą odwrotną do macierzy jest macierz Sprawdź.

3. 2. Wyprowadziliśmy ogólny wzórna automatyczne budowanie macierzy odwrotnej2-go stopnia. Przypomnijmy je : Sprawdź. W myśl tych wzorów, ? ? podajmy macierz odwrotnądo jest ? ? * * * Czy również tak łatwo będzie wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy trzeciego i wyższych stopni ? Tego chyba nikt nie oczekuje. Jak znaleźć macierz odwrotną do macierzy : Tak jak poprzednio, ale zdajemy sobie sprawę, że będzie więcej obliczeń a przy wyprowadzeniu ogólnych wzorów, • przekształcenia algebraiczne bardziej skomplikowane.

4. Czy wzory na tą macierz odwrotną, warto wyprowadzać jak to zrobiliśmy • dla macierzy drugiego stopnia ? Nie, bo nawet gdybyśmy bezbłędnie przebrnęli przez tasiemcowe przekształcenia, to z otrzymanych wzorów nie zauważylibyśmy sposobu na znalezienie macierzy odwrotnej. Studenci na wykładach, w podręcznikach, skryptach dostają gotowy przepis na otrzymanie macierzy odwrotnej. Ale sądzę, że każdy jest ciekaw, jak samodzielnie znaleźć podany przez wykładowców wzór. Na studiach, nie ma czasu na taką dociekliwość. My mamy czas,więc spróbujmy. Ale powróćmy jeszcze do macierzy odwrotnej 2-go stopnia. Drugi wyznacznik zapiszmy wygodniej. Teraz zastanówmy się jak z pierwszej macierzy uzyskać trzecią.

5. Jak przekształcić aby otrzymać Zastosowane przekształcenia wyraźmy za pomocą terminów związanych z pojęciem macierzy, czyli wykorzystajmy pojęcia : wiersz, kolumna, być może, potrzebne będzie określenie położenia wyrazu macierzy, bądź operacja jaką stosowaliśmy przy obliczaniu wyznacznika, a mianowicie brania dopełnienia algebraicznegowyrazu. Jeżeli dobrze przyjrzymy się macierzy, weźmiemy pod uwagę i zauważymy, że w miejsce a występuje d podane sugestie to można zauważyć, że może pierwszą macierz należy zastąpić macierządopełnień. Zobaczmy : Niestety, nie uzyskaliśmy drugiej macierzy. ? ? ? Ale …. jesteśmy blisko tej macierzy, prawie ją mamy, należy tylko ….. przestawić kolumny jako wiersze!!

6. Mamy przestawiamy kolumny z wierszami tworzymy macierz dopełnień i otrzymujemy macierz odwrotną. W teorii macierzy, operację zamiany kolumn na wiersze lub odwrotnie nazywamy transponowaniem macierzy. Macierz transponowaną do macierzy oznaczamy Jeżeli wyznacznikmacierzyoznaczymy macierz dopełnień przez a macierz odwrotną to Samodzielnie znaleźliśmy trzeci sposób konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy 2-go stopnia. Czy ten wzór sprawdzi się dla macierzy 3-go stopnia ? Sprawdźmy.

7. Sprawdźmy dla macierzy : Tworzymy macierz dopełnień . ? ? ? ? ? ? ? ? ?

8. Mamy Obliczmy wyznacznik macierzy Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy macierz odwrotną. Zgadza się. Udało się. Czy każdą macierz można odwrócić ? Sądzę, że śledzących moje prezentacje nie trzeba uczulać • na zero. Ze wzoru na macierz odwrotną widać, • że nie można odwrócić macierzy, której wyznacznik jest równy zero.

9. Czy ten wzór jest dobry dla każdej macierzy 3-go stopnia ? Tego w tej chwili nie jesteśmy pewni, ale każdy może uzasadnić przeprowadzając obliczenia dla dowolnej macierzy ( symbole ) np. Powodzenia. * * * Mamy satysfakcję, bo samodzielnie znaleźliśmy trzeci sposób konstruowania macierzy odwrotnejdla macierzy 2-go i 3-go stopnia. który pozwala znaleźć macierz odwrotną. Oto wzór Czy ten wzór sprawdzi się dla macierzy wyższych stopni ? Mamy nadzieję, że tak , ale upewnimy się, zaglądając do dowolnego akademickiego podręcznika z matematyki.

10. Ci którzy prześledzili prezentację @ Wyznaczniki . @ , potrafią znaleźć macierz odwrotną do macierzy 4-goi wyższych stopni. Warto pamiętać wzór, który sami znaleźliśmy, a który studenci przyjmują na wiarę ! * * * Mamy satysfakcjęz wyprowadzenia wzoru na budowanie macierzy odwrotnej. Ale wyznaczając macierz odwrotną nawet dla macierzy 3-go stopnia należało wykonać niemało obliczeń. Warto, wręcz należy postawić pytanie: czy nie można tego uzyskać mniejszymnakładem pracy i czasu, bardziej ekonomicznie ? Nie jest przypadkiem, że takimi poszukiwaniami zajmowali się wielcy matematycy. Właśnie Gauss, genialny matematyk, przez współczesnych nazwany „ księciem matematyki ”, • podał prosty sposób wyznaczania macierzy odwrotnej. Pomysł bazuje na wiedzy, którą już mamy, a dotyczy własności wierszy macierzy.

11. W prezentacji @ Definicja macierzy, działania na macierzach. @ wykazaliśmy jakie przekształcenia na macierzachnie wpływają na rozwiązanie układu równań, odpowiadający tej macierzy. Przypomnijmy te własności : Przekształceniami elementarnymi macierzy, są : 1.przestawienie wierszy, 2.pomnożenie wierszaprzez liczbę różną od zera, 3.pomnożenie wierszaprzez liczbę i dodaniedo innego wiersza. < Spróbujmy daną macierz za pomocą przekształceń elementarnych + + < doprowadzić do macierzy jednostkowej. + < Zobaczmy, jaką macierz otrzymamy gdyby te same operacje wykonamy na macierzy + jednostkowej. <

12. Zapiszmy tą operację symbolicznie. Wykonujemy te same operacje. + > > + > + Sprawdźmy, czy otrzymana macierz Udało się ! ? ? ? Mamy macierz odwrotną. ? ? ? jest odwrotna do ? ? ?

13. Czy w zaprezentowany sposób zawsze otrzymamy macierz odwrotną ? Sprawdźmy na macierzy Uprośćmy zapis Czy znaleźliśmy macierz odwrotną ? Sprawdźmy. Gauss miał rację, itym razem uzyskaliśmy macierz odwrotną.

14. Jesteśmy zadowoleni, że poznaliśmy prosty sposób wyznaczania macierzy odwrotnej. Ale dokonując przekształceń w przykładach, z pewnością mieliście propozycje innych działań na wierszach macierzy. Zdajemy sobie sprawę , że macierz jednostkową, można było Czy dostalibyśmy ten sam wynik ? otrzymać na innej drodze. Podejrzewamy, że tak, ale należy to udowodnić. Twierdzenie. Jeżeli dany ciąg operacji elementarnych sprowadza macierz kwadratową do macierzy jednostkowej, to ten sam ciąg operacji elementarnych sprowadza macierz jednostkową do macierzy odwrotnej Dowód : Niech będzie macierzą kwadratową nieosobliwą ( której wyznacznik jest różny od zera ), oraz niech macierze otrzymane w wyniku operacji elementarnych realizują sprowadzenie macierzy A do macierzy jednostkowej I. Stąd mamy : Zatem Mnożymy obustronnie przez A więc

15. Wyznaczmy macierz odwrotną dla macierzy korzystając ze wzoru Tworzymy macierz dopełnień . ? ? ? ? ? ? ? ? ?

16. Mamy Obliczmy wyznacznik macierzy Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy macierz odwrotną. Zgadza się, znowu udało się. Trzeba było trochę obliczać, ale mamy niezawodny sposób konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy o wymiarach (3-ci stop.). Czy będzie on przydatny do wyznaczania macierzy odwrotnych wyższych stopni ? Podejrzewamy, że tak, ale uzasadnienie przed nami.

17. Dla tej samej macierzy znajdźmy macierz odwrotną sposobem Gaussa. Uprośćmy zapis Otrzymaliśmy tą samą macierz • co poprzednio. Gauss miał rację, itym razem uzyskaliśmy macierz odwrotną. Najprawdopodobniej w trakcie przekształcenia macierzy niektórzy mieli inne propozycje. Być może byłoby nawet prościej, ale warto prześledzić proponowany sposób, gdyż jest on uniwersalny. 1. W pierwszym wierszu, na pierwszym miejscu uzyskujemy 1. 2. Mnożymy ten wiersz przez taką liczbę by dodając do następnych wierszy, w pierwszej kolumnie otrzymać zera. 3. • W drugim wierszu, na drugim miejscu uzyskujemy 1 i postępujemy jak poprzedni by drugiej kolumnie otrzymać zera itd. .. 17

18. Naszą dotychczasową wiedzę o macierzach i wyznacznikach, Wyprowadziliśmy w oparciu o układy 2 równań o 2 niewiadomych, • i układy 3 równań o 3 niewiadomych. • Przed nami problemy z rozwiązywaniem n równań o m niewiadomych. Nasza wiedza bardzo przyda się do rozwiązania tego zagadnienia, choć będziemy musieli wprowadzić nowe pojęcia związane z macierzami. Następna prezentacja wprowadzi nas nowego pojęcia. @ Rozwiązanie układu 3 równań o 3 niewiadomych, rząd macierzy. @ Zapraszam Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl tel. 14 690 87 61 Koniec prezentacji