第六章 非参数统计

1. 第六章 非参数统计

2. 利用P值进行决策： 假设检验.P-Value • P- Value:观察到的显著水平

3. 例题 ：钻头寿命 • 抽取一个随机样本 n = 25, • H0:  = 32 • H1:  < 32 （左尾检验） • 观察到的 Z score 是 • p-Value （NORMSDIS）: • 这个概率值过分小了.因此我们拒绝 H0.

4. 非参数统计 • 优点： • （1）对总体分布一般无特殊假设； • （2）适用于一些较低的计量标准（如顺序变量， • 名义变量）； 数据计量的尺度 • 定性变量（ Qualitative ）： 　　名义变量（ Nominal Scale ）：2检验　　 顺序变量（ Ordinal Scale ）：符号检验、秩检验，等 • 定量变量（ Quantitative ）: Z检验，t检验（正态总体） • 非参数检验（总体分布未知）

5. 6.1 拟合优度的2检验The Chi-Square Goodness -of- Fit Test • 检验目的：总体被分为K类; • 检验观测频次与期望频次是否吻合？ • H0: 总体在第 1, 2, …, K 类中的比率分别是 p1, p2, …, pk . • H1:上述比率中至少有一个是不正确的.

6. 例. 某小汽车经销商根据去年销售小汽车的颜色的百分率，认为今年顾客选择各颜色的数目仍将不变。他随机抽取了150名顾客询问： • color pi oi ei (oi-ei) (oi-ei)2/ei • yellow 0.2 35 30 5 0.83 • red 0.3 50 45 5 0.55 • green 0.1 30 15 15 15.00 • blue 0.1 10 15 -5 1.67 • white 0.3 25 45 -20 8.90 • Total 1.0 150 150 0 26.96 又例: 香皂的颜色, 牙膏的包装等

7. 6.2 列联表独立性检验Test of Independence of Contingency Tables • 列联表（ Contingency table ） • 两个定性变量的相关关系 • 例：对电视节目的选择与工资收入是否相关？

9. H0: 对电视节目的选择与工资收入无关. • H1:对电视节目的选择与工资收入相关. • 取=0.05, df = (H-1)(K-1)=(3-1)(3-1)=4 • 查表： 2(4)=9.49 • 观察的2值为 : 2= 21.174>9.49 • 因此，拒绝 H0 . • 收入与电视选择具有相关性.

10. 习惯 性别 男 女 xi• • 几乎天天看 a b a+b • 偶 尔 看 c d c+d • xj • a+c b+dn

11. 例：在电视收视率调查中，得到性别与收视习惯的列联表如下。试分析性别与收视习惯的相互关系。例：在电视收视率调查中，得到性别与收视习惯的列联表如下。试分析性别与收视习惯的相互关系。 • 习惯 性别 男 女 xi• • 几乎天天看 38 24 62 • 偶 尔 看 31 7 38 • xj • 69 31 100 0.55 0.77 0.45 0.23

12. 介绍几个比较重要的检验问题 参数检验（t-检验，z-检验） 1、关于总体均值的检验 2、两个总体的均值是否相等 （1）独立样本问题 （2）配对样本问题 非参数检验（符号检验、秩检验、游程检验） 1、关于总体中位数的检验 2、两个总体的中位数是否相等 （1）独立样本问题 （2）配对样本问题

13. 6.3 符号检验 （Sign Test) • 一. 符号检验的基本原理 • Bernoulli试验: • 二项分布：n次独立的Bernoulli试验。S+表示成功的次数, S- 表示失败的次数 (S- = n  S+ ). • P(S+=k) =

14. 如果实验了100次，只有一次成功，能否认为成功与失败的概率相同？如果实验了100次，只有一次成功，能否认为成功与失败的概率相同？ 提出假设：成功的概率与失败的概率相等，即：p = 0.5  S+ S-

15. n = 10 k = 4 提出假设：成功的概率与失败的概率相等 H0 : p = 0.5 H1 : p  0.5 • 如果H0 的假设为真，S+与 S- 的数量应该基本相等。 • S = min{S+ , S-} = k • 如果 S 过小，则H0 的假设是错误的。 P-Value:P(Sk)

16. 二、单样本中位数的符号检验 例题：某企业生产一种钢管，规定长度的中位数是10米。现随机从生产线上选取10根进行测量，结果为： 9.8 10.1 9.7 9.9 9.8 10.0 9.7 10.0 9.9 9.8 问生产过程是否需要调整？ 分析： n=8(与10的差值为0者不计） S+=1， S-= 7， 取=0.05 <0.05 结论： 拒绝 H 0，生产过程需要调整。

17. SPSS软件使用说明 例16.1 （数据gs.sav）质量监督部门对商店里面出售的某厂家的西洋参片进行了抽查。对于25包写明为净重100g的西洋参片的称重结果为（单位：克）： 样本中位数为:m=98.36 因此，人们怀疑厂家包装的西洋参片份量不足。 由于对于这些重量的总体分布不清楚，决定对其进行符号检验。需要检验的是：

18. 99.05 100.25 102.56 99.15 104.89 101.86 96.37 96.79 99.37 软件使用说明:以数据gs.sav为例 SPSS选项: Analyze－Nonparametric Tests－Binomial 把变量gsweight选入 Test Variable List， 在Define Dichotomy的Cut point输入: 100（克） 在Test Proportion输入 p0=0.50（零假设大于100ｇ的比例） 然后点击 OK即可得到前面显示的结果。 96.90 93.94 92.97 108.28 96.86 93.94 98.27 98.36 100.81 92.99 103.72 90.66 98.24 97.87 99.21 101.79 例16.1 （数据gs.sav）质量监督部门对商店里面出售的某厂家的西洋参片进行了抽查。对于25包写明为净重100g的西洋参片称重，结果是样本中位数为m=98.36。 SPSS输出 双边检验的p-值=0.108；因此，单尾检验的p-值为0.05388。根据这个符号检验，我们还没有充分的证据拒绝零假设。

19. 三、配对样本符号检验 • 配对样本问题 • 某香烟公司要了解消费者对其香烟的电视广告的态度，通过市场研究公司向一消费小组进行调查。该小组成员有24人。首先用一问卷，要求消费者回答若干有关该品牌香烟的问题，并给予相应的分数。然后，放映该牌香烟的电视广告片，看毕后再回答问卷询问。希望了解应答者在观看广告片前后的态度有无差异。 • 配对样本：两个样本中的个体均相同，但处理不同。判断总体分布是否发生变化。

20. 数据：应答者 事前分数 事后分数 符号 • 1 80 90 + • 2 70 65 – • 3 75 80 + • 4 80 80 0 • 24 85 95 + • 总计 S+=19 • （注意：取消符号等于0 的样本点）S- = 4 • H0: 观看前后的态度无差异 n=23 • 选择S+ 与S- 中较小的一个作为检验统计量S， S = min{S+ , S-}； • 当H0为真时，S 在 n/2 附近。如果S过小，则说明H0不真。

21. 检验过程： • (1) H0 : （事后分数  事前分数）的中位数 = 0 • H1 : （事后分数  事前分数）的中位数 > 0 • (2) S = min{S+, S-} = min{19,4} = 4 • (3) 在假设为真的前提下( p = 0.5)，计算 • (4) 此为“小概率”事件，所以拒绝H0假设。 • 广告效果显著！

22. SPSS软件使用:以”减肥数据” diet.sav为例 选项Analyze－Nonparametric Tests－Related Samples 把变量before和after同时选入Test Pair(s) List之中 在下面选Sign 在Exact中选Exact 然后回到主对话框，OK即可 例、采用例6.4的减肥数据（diet.sav）。有两列50对数据。其中一列数据（变量是before）是减肥前的重量，另一列(变量是after)是减肥后的重量（单位：公斤）。令所有个体减肥前后重量差的中位数为mD.则要检验的问题成为： 如果不知道总体的任何信息，则可利符号检验。 符号检验的SPSS的输出为： 显然单尾p-值小于0.05，拒绝零假设。 减肥前后体重有显著区别

23. 四、 两个独立样本的符号检验 • 问题： • 例： 某公司拟调查两性购买者的态度有无差异。在男性中抽取n1=12的样本。在女性中抽取n2=9 的样本。检验这两个总体的中位数是否相同。 • 样本1：n1=12 • 10，10，10，12，15，17，17，19，20，22，25，28； • 样本2：n2=9 • 6，7，8，8，12，16，19，19，22；

24. 检验方法 • （1）先将两组样本的观测值按统一顺序排列，找出中位数； • （2）将每一个观测值与它比较，大于该中位数的用正号表示，小于中位数的用负符号表示； • 如果 H0为真，则在两个样本中，其正负号的个数应该各占其总数的一半。 • +  行和 • 样本1 a b n1 • 样本2 c d n2 • 列和 S+ S – n1+ n2 可以利用列联表检验:

25. – + 行和 样本1 5 7 12 样本2 5 3 8 列和 10 10 20 • 样本2 样本1 符号2 符号1 • 6 — – • 7 — – • 8 — – • 8 — – • — 10 – • — 10 – • — 10 – • — 12 – • 12 — – • — 15 – • 16 — 0 • — 17 + • — 17 + • — 19 + • 19 — + • 19 — + • — 20 + • 22 — + • — 22 + • — 25 + • — 28 + 所以，不拒绝H0。两总体中位数无显著差别。

26. 6.4 秩检验（Rank Test) • 一. Wilcoxon test (配对样本的秩检验） • 双样本问题 • 例：某防晒美容霜制造者欲了解一种新配方是否有利于防止晒黑，对 7 个志愿者进行实验。在每个人脊背上一侧涂原配方的美容霜，另一侧涂新配方的美容霜，背部在太阳下暴晒后，按照预先给顶的标准测定晒黑程度，数据如下表。

27. 编号 原配方yi新配方xi di= xi - yi 符号 的秩 • 1 42 46 4 + 4 2 + 2 • 2 51 49 - 2 - 2 1 - 1 • 3 31 26 -5 - 5 3 -3 • 4 61 52 -9 - 9 5 -5 • 5 44 33 -11 - 11 6 -6 • 6 55 49 -6 - 6 4 -4 • 7 48 36 -12 - 12 7 -7 （1）符号检验 H0: S+= S– ( 两种配方的防晒作用相同,即 p = 0.5） 不能拒绝H0？ T+ = 2, T = 26

28. （2）秩检验 • 运用更多的数据信息： • — 配对样本差距的方向（符号：正号、负号） • — 配对样本差距的大小 （秩：等级排序） • I. 计算配对样本的差距 di=xi - yi； • II. 求 ； • III. 按照 的值，对样本进行等级排序（求秩）； • IV. 还原 的符号； • V. 求秩和： T+， T • T+ — 正等级的秩和 • T — 负等级的秩和

29. 检验过程： • (1) H0 : T+ = T • H1 : T+ < T • (2) 取 T= min{T+ , T} = T= min{2, 26} = 2 • (3) 根据 n = 7， = 0.05，查 Wilcoxen检验表，得到拒绝域的边界值 ： • T0.05 = 3 (单侧检验） • (4) 而现在有 • T = 2 < 3 • 所以，拒绝 H0 假设。 • 两种配方的防晒作用显著不同！ • 与符号检验区别：应用了更多的原始数据信息。 Wilcoxon符号秩检验需要假定样本点来自连续对称总体分布；

30. 例、采用例6.4的减肥数据（diet.sav）。有两列50对数据。其中一列数据（变量是before）是减肥前的重量，另一列(变量是after)是减肥后的重量（单位：公斤）。令所有个体减肥前后重量差的中位数为mD.则要检验的问题成为：例、采用例6.4的减肥数据（diet.sav）。有两列50对数据。其中一列数据（变量是before）是减肥前的重量，另一列(变量是after)是减肥后的重量（单位：公斤）。令所有个体减肥前后重量差的中位数为mD.则要检验的问题成为： 如果不知道总体的任何信息，则可利用符号检验 符号检验的SPSS的输出为： 显然单尾p-值小于0.05。我们可以拒绝减肥前后体重没有区别的零假设。

31. 例、采用例6.4的减肥数据（diet.sav）。有两列50对数据。其中一列数据（变量是before）是减肥前的重量，另一列(变量是after)是减肥后的重量（单位：公斤）。令所有个体减肥前后重量差的中位数为mD.则要检验的问题成为：例、采用例6.4的减肥数据（diet.sav）。有两列50对数据。其中一列数据（变量是before）是减肥前的重量，另一列(变量是after)是减肥后的重量（单位：公斤）。令所有个体减肥前后重量差的中位数为mD.则要检验的问题成为： 如果总体分布是连续对称的，则可利用Wilcoxon符号秩检验。 Wilcoxon符号秩检验的结果输出为： SPSS软件使用:以数据diet.sav为例 选项Analyze－Nonparametric Tests－２Related Samples 把变量before和after同时选入Test Pair(s) List之中 在下面选Wilcoxon 在Exact中选Exact 然后回到主对话框，OK即可 单尾p-值小于0.05，拒绝零假设。 减肥前后体重有显著区别

32. 二、单样本中位数检验(Wilcoxen检验) 某企业生产一种钢管，规定长度的中位数是10米。现随机从生产线上选取10根进行测量。问生产过程是否需要调整？ 如果有观测值相等，则用它们的相应等级的平均数代替。 正秩和 T+ = 2，负秩和 T- = 34

33. 检验过程： • (1) H0 : T+ = T • H1 : T+ < T • (2) 取 T= min{T+ , T} = T= min{2, 34} = 2 • (3) 根据 n = 8， = 0.05，查 Wilcoxen检验表，得到拒绝域的边界值 ： • T0.05 = 4 (单侧检验） • (4) 而现在有 • T = 2 < 4 • 所以，拒绝 H0 假设。 • 钢管长度的中位数显然不是10。 Wilcoxon秩检验需要假定样本点来自连续对称总体分布；

34. 99.05 100.25 102.56 99.15 104.89 101.86 96.37 96.79 99.37 96.90 93.94 92.97 108.28 96.86 93.94 98.27 98.36 100.81 92.99 103.72 90.66 98.24 97.87 99.21 101.79 例16.1 符号检验：质量监督部门对商店里面出售的某厂家的西洋参片进行了抽查。对于25包写明为净重100g的西洋参片称重，结果是样本中位数为m=98.36。 SPSS输出 双边检验的p-值=0.108；因此，单尾检验的p-值为0.05388。根据这个符号检验，我们没有充分的证据拒绝零假设。

35. SPSS软件使用:以数据gs.sav为例 选项Analyze－Nonparametric Tests－２Related Samples 把变量 gsweight 和 m 同时选入Test Pair(s) List之中 在下面选Wilcoxon; 在Exact中选Exact 然后回到主对话框，OK即可 用例16.1 （西洋参重量）来说明Wilcoxon秩检验。假定例16.1的样本来自对称的连续总体分布。 Mean Rank Sum of Rank S- W- S+ W+ 225/17 n 利用Wilcoxon秩检验，可以在置信水平为0.05时拒绝零假设。可见，Wilcoxon秩检验比符号检验要更有效。

36. 二. Mann-Whitney-Wilcoxen秩和检验 （U-检验） • 1. 目的：独立样本，比较两个总体的中位数 • 2. 工作步骤： • （1）将两个样本合并，按顺序从小到大排列，求秩。如果有观测值相等，则用它们的相应等级的平均数代替。 • （2）分别计算两个样本的等级总和: T1 ，T2 • 当 n1 = n2 时，如果两总体中位数无差异，则有 • T1 = T2 • 当n1 与n2差别较大时，T1 ，T2 的大小将受 n1 ，n2影响。

37. Mann-Whitney 提出了“U-统计量”： • (1) • (2) • (3) 根据 n1 ，n2 查U- 检验表，找出U 的临界值U* 。 • (4) 判断：UU* , 拒绝 H0 • U > U* , 不拒绝 H0 该检验需要的唯一假定就是两个总体的分布有类似的形状（不一定对称）。

38. 例. • 某公司欲在市场上推销一种产品。在上市之前，拟做一调查，了解高收入消费者与低收入消费者对该产品的评估是否一致。市场调查公司在高收入消费者中随机抽取10 个人，在低收入消费者中抽14个人。将新产品免费增于两种消费者，试用后进行调查，结果两组消费者对该产品的评分如下表。

39. 高收入组 低收入组 • 评分 等级 评分 等级 • 80 17 95 24 ( max ) • 75 13.5 40 1 ( min ) • 82 18 84 21 • 60 6 88 22 • 90 23 75 13.5 • 55 5 65 8 • 72 11 62 7 • 83 19.5 78 16 • 68 10 83 19.5 • 503 74 12 • 503 • 67 9 • 77 15 • 503 • n1=10T1= 126n2 =14T2= 174

40. 解: • 查 U-检验表： U* = 36 • 因为 U> U*, 不拒绝H0。 • 两个消费组在对该新产品的态度上无显著差异。

41. 地区1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 人均GDP 3223 4526 3836 2781 5982 3216 4710 5628 2303 4618 地区2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 人均GDP 5391 3983 4076 5941 4748 4600 6325 4534 5526 5699 地区2 2 2 2 2 2 人均GDP 7008 5403 6678 5537 5257 例16.4 、数据（GDP.sav）是地区1的10个城市和地区2的15个城市的人均GDP（元）。现在要想以此作为两个样本来检验两个地区的人均GDP的中位数m1和m2是否一样. H0: m1=m2 H1: m1≠m2(双尾检验)

42. SPSS软件使用说明:GDP.sav数据 选项:Analyze－Nonparametric Tests－2 Independent Samples 把变量 GDP 选入Test Variable List； 把数据中用1和2分类的变量area输入进Grouping Variable 在Define Groups输入1和2 在Test Type选中Mann－Whitney 在点Exact对话框中选择 Exact 最后OK即可 可以拒绝原假设，即地区2的人均GDP的中位数明显更高一些

43. 6.5 Kendall 一致性系数 • 例题：对某班级同学的若干科目学习成绩和办事能力进行评分。问：某门课程成绩高的学生，其他几门课程的成绩是否也高？学习成绩与办事能力是否相关？ • 问题： • 分析学生在各方面的等级是否一致！

44. 学生 动手实验 艺术 文学 音乐 数学 办事 Ti • 1 4 5 7 6 5 1 28 • 2 6 2 1 5 7 4 25 • 2 1 8 9 2 2 9 31 • 4 2 6 5 10 1 7 31 • 5 8 1 2 8 9 5 33 • 6 10 3 4 3 8 3 31 • 7 9 7 6 4 10 2 38 • 8 3 4 3 1 4 8 23 • 9 5 9 8 7 6 10 45 • 10 7 10 10 9 3 6 45 秩： 10个学生的分数排名（等级）

45. n = 10 （学生）, k = 6 （六科成绩） • 记：Ti为 i同学六门课程的等级总和（秩）。 • （1）10名学生在6门课程的秩的总和（行和）： （每一个学生）

46. (2)如果排序完全相关，即某同学在6 种能力上均排名第一，而有同学在6种能力上均排名第二，…，某同学均排在最后。 • 不妨记：T1=16 , T2=26 , …, T10=106 • 求离差平方和： 这时，离差平方和已达到最大值！

47. （3）计算实际秩的离差平方和 学生在各科成绩及办事能力等方面相关度不高！

48. 学校(下面是名次) S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 评估机构 A 2 4 14 11 10 9 6 13 12 5 3 8 7 1 15 B 3 5 11 8 12 14 1 13 7 9 6 4 2 10 15 C 2 12 13 6 5 11 10 3 7 8 14 4 9 1 15 D 10 13 12 14 9 6 2 7 3 5 8 4 11 1 15 例16.8（数据在school.sav）下面是4个独立的环境研究单位对15个学校排序的结果；每一行为一个评估机构对这些学校的排序。 H0：四个机构在15个学校的排序结果是随机的（不相关的）； H1：四个机构在15个学校的的排序具有一致性（是相关的）。

49. SPSS软件使用说明:使用school.sav数据 选项:Analyze－Nonparametric Tests－K Related Samples 把变量（这里是s1、s2、…、s15）选入Test Variable List 在下面Test Type选中Kendall’s W OK 计算结果为W=0.491，而近似的p-值为0.017; 若令显著性水平＝０.05, 则拒绝零假设; 也就是说，这些评估机构的排序具有相关性。

50. 6.6 Kolmogorov-Smirnov 检验 • K-S检验:　当有一个样本数据后，希望知道它的总体分布是不是服从某一个已知分布（比如正态分布）． • 例题：检验一个车间生产的20个轴承外座圈的内径后得到下面数据（单位：mm). • 15.04 15.36 14.57 14.53 15.57 14.69 15.37 14.66 14.52 15.41 • 15.34 14.28 15.01 14.76 14.38 15.87 13.66 14.97 15.29 14.95 • 按照设计要求，检验这组数据是否来自均值为　　　，方差为　　　　　 • 的正态分布？