Stage Graphes et Mupad Première journée

1. Stage Graphes et MupadPremière journée Graphes et MuPad (C.Boulinier)

2. Plan de la matinée • Un premier exemple • Définitions générales • Chaînes hamiltoniennes et eulériennes • Automates • Ordonnancement et matrice d’adjacence • Coloration des graphes • Graphes planaires • Chaînes de Markov Graphes et MuPad (C.Boulinier)

3. Kava Zmrzlina Kolac Dort 4 villages de Sildavie Graphes et MuPad (C.Boulinier)

4. 25 9 Kava Zmrzlina 6 8 11 12 7 Kolac Dort 9 Réseau routier Graphes et MuPad (C.Boulinier)

5. 25 9 Kava Zmrzlina 6 8 11 12 7 Kolac Dort 9 Problème: la tournée du postier Graphes et MuPad (C.Boulinier)

6. 9 Kava Zmrzlina 12 11 Kolac Dort 9 Une tournée possible du postier Graphes et MuPad (C.Boulinier)

7. 25 Kava 9 Zmrzlina 6 8 11 12 7 Kolac Dort 9 Exercice 1Ce circuit est-il le plus court possible? Graphes et MuPad (C.Boulinier)

8. Matrice aux arcs du graphe 9 2 3 25 11 12 6 7 8 1 4 9 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

9. Le produit latin Le produit est remplacé par la concaténation des mots et la somme par l’union; de plus, on ne retient que les chemins sans circuit (chemins élémentaires). Graphes et MuPad (C.Boulinier)

10. Proposition: Les puissances r-ièmes successives de M énumèrent les chemins élémentaires d’ordre r du graphe Graphes et MuPad (C.Boulinier)

11. 2341, 4321 ne fournissent pas de cycle On obtient l’ensemble des chemins hamiltoniens (chemins élémentaires passant par tous les points du graphe) D’où on déduit les circuits hamiltoniens du graphe: Graphes et MuPad (C.Boulinier)

12. Il y a essentiellement 2 circuits hamiltoniens: • 13421 de longueur 11+6+25+8=50 • 13241 de longueur 11+9+12+9=41 13421 est le meilleur! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

13. b a c e d Exercice Trouver les circuits hamiltoniens du graphe suivant Graphes et MuPad (C.Boulinier)

14. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

15. Exercice 2Le problème de monsieur Nô Mr. Nô, personnage mythique japonais, habite la case du coin supérieur gauche d’un carré de 8x8 cases, et se propose de rendre visite à Mr. Gô, lequel habite la case du coin inférieur droit. Mr. Nô se déplace sur l’échiquier en passant d’une case à l’une des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui l’amène chez Mr. Gô , en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de l’échiquier? Berge (1970) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

16. Mr. Nô Mr. Gô Graphes et MuPad (C.Boulinier)

17. Le problème revient à trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des déplacements possibles sur l’échiquier On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô habitent sur des cases jaunes, Mr. Nô doit faire 63 sauts, il aboutira donc nécessairement sur une case blanche (absurde) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

18. Définitions générales Graphes et MuPad (C.Boulinier)

19. Un graphe (orienté)G est la donnée d’un ensemble S et d’une partie F du produit cartésien S×S. Notation: G=(S,F) S est l’ensemble des sommets de G F est l’ensemble des arcs (arêtes orientées) de G {u,v} est une arête de G ssi (u,v) ou (v,u), est dans F On note Σ l’ensemble des arêtes de G S peut être Fini, infini dénombrable, infini Graphes et MuPad (C.Boulinier)

20. Un multigraphe G est la donnée d’un multi-ensembleF d’éléments du produit cartésien S×S, où S est un ensemble 3 2 4 1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

21. Représentation d’un graphe 1 4 2 5 6 3 S={1,2,3,4,5,6} F={ (1,2) , (1,5) , (2,1) , (2,4) , (2,5) , (4,6) , (6,2) , (6,3) } Graphes et MuPad (C.Boulinier)

22. Exercice Construire sur {1,2..,10} le graphe des diviseurs. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

23. Réponse 7 10 5 4 8 1 2 6 9 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

24. Dans ce qui suitSest fini le grapheGest dit alors fini L’ordre de G est le cardinal de S Graphes et MuPad (C.Boulinier)

25. Vocabulaire de base • Boucle: arc de la forme (x,x) X Graphes et MuPad (C.Boulinier)

26. Graphe simple: Graphe sans boucle Graphe complet Graphe simple avec F maximal 1 4 1 3 2 2 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

27. 1 1 4 4 3 3 2 2 • Graphe symétrique (ou non orienté) Une arête {u,v} est un « arc non orienté »; dans un graphe non orienté, le nombre d’arêtes (Σ) est la moitié du nombre d’arcs (F). On note G* le graphe symétrisé de G Graphes et MuPad (C.Boulinier)

28. 1 2 4 3 Le degré d’un nœud est le nombre d’arêtes incidentes à ce nœud (notion non orientée) D(1)=3 D(2)=2 D(3)=2 D(4)=3 On note D(G) = max D(x) x dans S On définit de même les degrés intérieurs (entrants)d- et extérieurs (sortants)d+ d’un sommet, on a d- + d+ =d (degré dans le cas orienté) d-(4)=2 et d+(4)=1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

29. Le sommet s1estadjacentau sommet s2ssi (s1,s2) est dans F Les sommets s1et s2sontadjacentsssi {s1,s2} est dansΣ G’=(S’,F’) est unsous graphede G=(S,F) ssi G’=(S’,F’) est lesous graphede G=(S,F) induit par S’ssi Graphes et MuPad (C.Boulinier)

30. Exemples de graphes Graphe complet K5 5-clique Graphe biparti complet K3,2 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

31. Exercice Montrer que: Montrer que Graphes et MuPad (C.Boulinier)

32. Exercices • Est-il possible de relier 9 ordinateurs, de manière que chacun soit relié à 3 autres exactement ? 2) Le nombre de sommets de degré impair est pair (lemme des poignées de mains) 3) Montrer que le nombre de personnes qui ont vécu ou qui vivent sur terre, qui ont serré la main à un nombre impair de personnes est pair… Graphes et MuPad (C.Boulinier)

33. Chemins et chaînes Un chemin dans un graphe G est une suite finie d’arcs consécutifs, c’est-à-dire de la forme : Une chaîne dans un graphe G est une suite finie d’arêtes consécutives: La longueurd’un chemin (resp. d’une chaîne) est le nombre d’arcs (resp. d’arêtes) constituant le chemin (resp. la chaîne) Notation: Graphes et MuPad (C.Boulinier)

34. Cycles et circuits • Un circuit (resp. un cycle) est un chemin (resp. une chaîne) dont les extrémités coïncident, et dont les arcs (resp. arêtes) sont tous distincts (resp. toutes distinctes) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

35. Connexité et forte connexité Un graphe G = (S,F) est dit connexe (resp. fortement connexe) s’il vérifie la propriété suivante : pour toute paire de sommets (x,y) de S, il existe une chaîne (resp. un chemin) reliant x à y. La composante connexe (resp. fortement connexe) d’un sommet x de S est le plus grand sous-graphe connexe (resp. fortement connexe) de G contenant le sommet x. Dans un graphe symétrique (ou non orienté) les deux notions sont équivalentes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

36. Connexité 2 4 7 8 1 3 5 6 9 2 composantes connexes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

37. forte connexité 2 4 7 8 1 3 5 6 9 6 composantes fortement connexes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

38. Exercice • Donner les composantes connexes (resp.fortement connexes) du graphe des diviseurs pour n=10. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

39. 7 10 5 4 8 1 2 6 9 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

40. Unpoint d’articulationd’un graphe est un sommet dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes; un isthmeest une arête dont la suppression a le même effet Nœud pendant Points d’articulation Isthme Graphes et MuPad (C.Boulinier)

41. Chaînes hamiltoniennes et eulériennes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

42. Chemins et circuits Hamiltoniens Dans un graphe G, on dit qu’un chemin s1s2…sn est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe. On dit qu’un circuit s1s2…sn s1 est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe. On définit de même les notions de chaîne et de cyclehamiltonien Graphes et MuPad (C.Boulinier)

43. Voyage autour du monde (Hamilton) Trouver un cycle hamiltonien sur le dodécaèdre régulier Graphes et MuPad (C.Boulinier)

44. Voyage autour du monde (Hamilton) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

45. Le graphe de Petersen Ce graphe n’admet pas de cycle hamiltonien Graphes et MuPad (C.Boulinier)

46. Exercice Proposer une méthode pour prouver ce résultat Graphes et MuPad (C.Boulinier)

47. Le graphe obtenu en éliminant n’importe quel sommet est hamiltonien 1 9 2 8 4 3 5 7 6 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

48. Un exemple:Le séquençage de l’ADN Une molécule d'ADN est une chaîne composée d’acides nucléiques. Ceux ci sont au nombre de 4, l'Adénine (noté A), la Guanine (G), la Thynine (T) et la Cytosine (C). Le séquençage consiste à retrouver la suite de bases correspondant au brin d'ADN étudié. En pratique, les molécules à analyser possèdent entre 30 000 et 100 000 bases, ce qui rend le séquençage direct impossible. La stratégie utilisée est alors de découper le brin d'ADN en fragments dont la taille varie entre 200 et 700 acides nucléiques, de les séquencer (les lire) puis de reconstruire la molécule originale. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

49. Exemple: soient les 5 séquences ACCGT, CGTGC, TTAC, GTG , TACCGT Reconstitution: - - A C C G T - - - - - - C G T G C T T A C - - - - - - - - - - G T G - - T A C C G T - - T T A C C G T G C Graphes et MuPad (C.Boulinier)

50. Problème:trouver une plus petite chaîne ayant pour facteurs les séquences données {ACCGT, CGTGC, TTAC, GTG , TACCGT} . On élimines les séquences qui sont facteurs d’autres séquences, on obtient un ensemble minimal: le sous-ensemble libre Sur l’exemple on élimine GTG, on obtient: L={ACCGT, CGTGC, TTAC, TACCGT} Graphes et MuPad (C.Boulinier)