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自动控制原理课件

自动控制原理课件. 8.5 离散系统的数学模型. 8.5.1 差分方程 1 。 差分的定义 所谓差分，对采样信号来说，指两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变化的规律，可反映出采样信号的变化趋势来。设离散函数序列为 e ( kT ) ，通常为了方便，都省掉 T 而直接写成 e ( k ) 。各阶差分的定义如下： 一阶前向差分  e ( k ) = e ( k +1)  e ( k ) 二阶前向差分  2 e ( k ) = [ e ( k ) ]

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  1. 自动控制原理课件

  2. 8.5 离散系统的数学模型 8.5.1 差分方程 1。 差分的定义 所谓差分，对采样信号来说，指两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变化的规律，可反映出采样信号的变化趋势来。设离散函数序列为e(kT)，通常为了方便，都省掉T而直接写成e(k)。各阶差分的定义如下： 一阶前向差分 e(k) =e(k+1)  e(k) 二阶前向差分 2e(k) = [e(k)] = e(k+2) 2e(k+1) +e(k)

  3. r(k) c(k) 线性离散系统 一阶后向差分 e(k) =e(k)  e(k1) 二阶后向差分 2e(k) = e(k) 2e(k1) +e(k) 差分表示离散信号变化趋势。 2. 线性常系数差分方程 c(k) +a1c(k 1)+a2c(k 2)+…+anc(k n) = r(k)+b1r(k 1)+b2r(k 2)+…+bmr(k m)

  4. 3. 差分方程的解法 经典法、迭代法和z变换法 例8-16　已知后向差分方程为 c(k) 5c(k 1)+ 6c(k 2) = r(k) 其中r(k)=1，k  0；初始条件为c(0)=0，c(1)=1。试用迭代法求输出序列c(k)，k=0，1，2，…。 解： c(k)= r(k) + 5c(k 1) 6c(k 2) c(0)=0 c(1)=1 c(2)=r(2) + 5c(1) 6c(0) = 6 c(3)=r(3) + 5c(2) 6c(1) = 25 …

  5. 例8-17　已知后向差分方程为 c(k+1) bc(k) = r(k) 其中r(k)= ak，初始条件为c(0)=0。试求输出c(k)。 解： （1）利用z变换位移定理对差分方程两边进行z变换，代入相应的初始条件，化成复变量z的代数方程。 C(z)  z c(0) bC(z)= R(z) （2）求出代数方程的解C(z)。

  6. （3）对C(z)求z反变换，得出解c(kT)或c*(t) 。

  7. 8.5.2 脉冲传递函数 1、脉冲传递函数的定义 在线性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，称为离散系统的脉冲传递函数。 c(k) +a1c(k 1)+a2c(k 2)+…+anc(k n) = r(k)+b1r(k 1)+b2r(k 2)+…+bmr(k m) (1 + a1z1 +a2z2 +…+anz n)C(z) = (1 + b1z1 +b2z2 +…+bmzm)R(z)

  8. c*(t) r*(t) r(t) c(t) G(s) 2、脉冲传递函数的意义 r*(t)= Z1[R(z)]， c*(t)= Z1[C(z)] C(z) = G(z)R(z) 系统的脉冲传递函数是单位脉冲响应序列的z变换。

  9. 3、脉冲传递函数的求法 （1）由差分方程求脉冲传递函数 令初始条件为零，对方程两端进行z变换 → 整理 → 脉冲传递函数 例8-18 已知离散系统的差分方程为 c(k+2) 2c(k +1)+ c(k) = Tr(k+1) 试求脉冲传递函数G(z)。 解： ( z2 2z+1)C(z)= TzR(z)

  10. （2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数 例8-19已知离散系统的差分方程为 试求脉冲传递函数G(z)。 解：

  11. 8.5.3 离散系统结构图 G(z) c*(t) G2(z) G1(z) d*(t) d(t) r(t) r*(t) c(t) G1(s) G2(s) 1. 串联环节的脉冲传递函数 （1）串联环节之间有采样开关 D(z) = G1(z)R(z) C(z) = G2(z)D(z) = G2(z)G1(z)R(z) G(z)= G2(z)G1(z)

  12. G(z) c*(t) r(t) r*(t) c(t) G2(s) G1(s) （2）串联环节之间无采样开关 G(s) = G1(s)G2(s) G(z)=Z[G2(z)G1(z)] = G1G2(z) 例8-20 已知开环采样系统如图所示，试求开环脉冲传递函数 。

  13. c*(t) 1 s +10 r(t) r*(t) c(t) 10 s 10 s c*(t) r(t) r*(t) 1 s +10 c(t) （a） （b） 解： （a）

  14. c*(t) 1es s r(t) r*(t) c(t) Gp(s) （b） （3）零阶保持器与环节串联

  15. c*(t) 10 s(s +10) r(t) r*(t) c(t) 1es s 例8-21 已知开环采样系统如图所示，试求开环脉冲传递函数 。

  16. 解： 零阶保持器的引入，并不影响开环系统脉冲传递函数的极点.

  17. （4）连续信号直接进入连续环节 c*(t) d*(t) d(t) r(t) G1(s) c(t) G1(s) G2(s) c*(t) r(t) c(t) G2(s) C(z)=G2(z)D(z) D(z) = Z[G1(s)R(s)]= G1R(z) C(z)=G2(z)G1R(z) 2. 并联环节的脉冲传递函数 G(z)=G1(z)+G2(z)

  18. d(t) G1(s) c*(t) r(t) e(t) r(t) c(t) c*(t) G1(s) G2(s) e*(t) c(t) G2(s) b(t) H(s) C(z)=G1(z)R(z)+ G2R(z) 3. 闭环系统脉冲传递函数

  19. d(t) e(t) r(t) c*(t) G1(s) G2(s) e*(t) c(t) b(t) H(s) 采 样 （1）给定输入的脉冲传递函数 E(s)=R(s) B(s) E*(s) =R*(s) B*(s) B(s)=H(s)G2(s)G1(s)E*(s) B*(s)= G1G2H*(s)E*(s)

  20. C(s)=G2(s)G1(s)E*(s) C*(s)= G1G2*(s)E*(s) （2） 扰动输入的脉冲传递函数 E*(s) = G1G2 H*(s)E*(s) G2 H*(s)D*(s) C(s)=G2(s)G1(s)E*(s)+ G2(s)D*(s)

  21. 例8-22 已知开环采样系统如图所示，试推求输出信号的z变换表达式C(z)。 e(t) d(t) r(t) c*(t) G1(s) G2(s) d*(t) c(t) b(t) H(s) 解： C*(s) =G2*(s) D*(s) D(s) =G1(s)[R(s) H(s)G2(s)D*(s)] D(z) =G1R(z) G1G2H(z)D(z)

  22. 例8-23 已知采样系统结构图如图所示，试推求脉冲传递函数。 e(t) r(t) e*(t) c*(t) G(s) c(t) b(t) d*(t) d(t) H1(s) H2(s) 解： C(z) =G(z) E(z) E(z) =R(z) H2(z)GH1(z)E(z)

  23. c*(t) 1 s +1 r(t) r*(t) c(t) 8.5.4 z 变换法的适用范围及推广 例8-24 开环采样系统结构图如图所示，已知输入r(t)=1(t) ，采样周期T=1（秒）。试求c(t)与c*(t) 。 解: (1) 求c*(t)。

  24. c*(t) 0 t C(z) =1+1.368 z1 +1.5 z2 +1.55 z3 +1.56 z4+… c*(t)= (t)+1.368 (t T) +1.5 (t 2T) +1.55(t 3T) +1.56 (t 4T) +… 1.583 … 2T T 4T 3T

  25. c(t) … 0 t (2) 求c(t)。 1.583 1.368 1 0.368 2T T 3T

  26. 连续信号c(t)在采样瞬时呈现跳跃，而在采样间隔快速衰减，信号很不平滑。若将c*(t)各采样点的值连接起来，与实际c(t)差别很大，除采样瞬时外，采样间隔中信息失真较大。连续信号c(t)在采样瞬时呈现跳跃，而在采样间隔快速衰减，信号很不平滑。若将c*(t)各采样点的值连接起来，与实际c(t)差别很大，除采样瞬时外，采样间隔中信息失真较大。 原因是由于连续环节1/(s+1)是一阶环节，只能平滑阶跃输入，而现在的输入是经采样后的冲击序列。一阶环节对它不具备平滑作用，所以出现上下波动而且跳跃。如果连续环节是二阶环节，或在1/(s+1)的前面加一个零阶保持器，就能平滑冲击输入，这样1/(s+1)的输出就不会产生跳变。

  27. z变换法分析离散系统的条件：当连续部分的输入直接为理想脉冲串（即冲击序列）时，其传递函数必须满足极点数至少比零点数多两个，即满足条件z变换法分析离散系统的条件：当连续部分的输入直接为理想脉冲串（即冲击序列）时，其传递函数必须满足极点数至少比零点数多两个，即满足条件 则系统的连续输出信号c(t)在采样点不会产生跳变，这样才可以把c*(t)的采样瞬时值连接起来得到c(t)，否则会产生很大的误差。

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