第三章平面向量

第三章平面向量 3-2平面向量的內積

目錄請看課本p.177 • 3-2平面向量的內積 • 甲﹑向量的內積 • 乙﹑柯西不等式 • 丙﹑兩直線的夾角 • 丁﹑點到直線的距離公式

請看課本p.177 • 前面已介紹過兩向量的加減法與係數乘法，接下來，我們再介紹向量的內積，以處理兩向量的夾角及其相關的問題。例題1 隨堂練習1 下一主題

(a) (b) (c) 甲﹑向量的內積請看課本p.177 • 一﹑向量的夾角 • 　　設　　為兩非零向量, 作　　　　　　如下圖 (a), 若∠AOB =θ, 其中 0° θ 180°, 我們定義θ為　　的夾角.而當 • θ= 0° 時，表　同向, 如下圖(b). • θ= 180° 時，表　反向, 如下圖(c). • 這兩種情形都是例題1 隨堂練習1 內積與正射影下一主題

解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案按此觀看影片內積與正射影例題1 隨堂練習1 內積與正射影下一主題

請看課本p.177 • 二﹑向量的內積 • 　　在物理學上, 用一定的力去推動一物體, 使物體位移如果力與位移　的夾角為θ, 則力　在位移　方向上的實際作用力大小為此時所做的功例題1 隨堂練習1 下一主題

設為兩非零向量, θ為其夾角, 我們定義　　　　為　與　的內積, 記為　　即當　　有一為　時, 我們定義請看課本p.178 • 數學上, 我們稱　　　　為與的內積. 定義如下︰例題1 隨堂練習1 下一主題

設　　為兩非零向量, 則 請看課本p.178 • 內積的定義可知： • 兩個向量內積的結果為一純量（其值可能為正﹑負或0）, 不再是向量. • 當兩非零向量　　的夾角θ為直角時, • 我們稱　與　垂直, 記為　　 • 此時　　　　　 • 反之, 當　　　時, 也可推得. • 即例題1 隨堂練習1 下一主題

例題1 請看課本p.178 設△ABC為正三角形, 且其邊長為2, 試求  • 解： • 與　　之夾角為60°, 故得 • 如圖所示,　　與　　的夾角為120°, 故得例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.178 設△ABC為直角三角形, 如右圖所示, 其斜邊長試求   • 解： • 因為△ABC為60°－30°－90°的直角三角形, • 且 • 的夾角為60°, 故得例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.178 設△ABC為直角三角形, 如右圖所示, 其斜邊長試求   • 解： • 方法一 • 如圖所示, • 的夾角應為150°, • 故得例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.178 設△ABC為直角三角形, 如右圖所示, 其斜邊長試求   • 解： • 方法二例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.178 設△ABC為直角三角形, 如右圖所示, 其斜邊長試求   • 解： •  的夾角應為90°, • 故得例題1 隨堂練習1 返回下一主題

請看課本p.179 • 三﹑內積與正射影 • 設　　為兩非零向量, 夾角為θ, 若作 • 　　　過B作直線OA的垂直線交直線OA於H （點H稱為點B在直線OA上的垂足或投影點）, 向量 • 稱為向量　在向量　　方向上的正射影, 而內積的幾何意義與正射影的關係, 我們以下表說明： • （下表中　為　方向上的單位向量, 即　　　.）前一主題例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.179 （正射影長）前一主題例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.179 • 註： •  由上表知　在　方向上的正射影 • 　與　的內積即為　在　方向上的正射影　　與　的內積. 前一主題例題2 隨堂練習2 下一主題

例題2 請看課本p.180 下圖(一)(二)(三)中每一小正方格邊長均為一單位長, 試就各組圖示：  分別以　表示出　　在　方向上的正射影. 求　　與　　的值. 圖(一) 圖(二) 圖(三) 前一主題例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題2 請看課本p.180 • 解： • 各圖中的　長均為 • (一)在圖(一)中, 與　均夾銳角, •  在方向上的正射影為 • 在方向上的正射影為 •  前一主題例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題2 請看課本p.180 • 解： • (二)在圖(二)中, • 由　　知在方向上的正射 • 影為 • 由　夾鈍角知在方向上的 • 正射影為 •  前一主題例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題2 請看課本p.180 • 解： • (三)在圖(三)中, 與均夾銳角, •  與在方向上的正射影 • 均為 •  • 註：圖(三)中, 　　　　但前一主題例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.181 右圖為一邊長為2的正五邊形, 試以　表示出　在　方向上的正射影. 試求　　　之值. • 解： • 如圖所示, • 方向上的正射影為前一主題例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.178 右圖為一邊長為2的正五邊形, 試以　表示出　在　方向上的正射影. 試求　　　之值. • 解： •  • = 2 × 1 = 2. 前一主題例題2 隨堂練習2 返回下一主題

c2 = a2 + b2 – 2abcosC.  請看課本p.181 • 四﹑平面向量坐標化的內積 • 　　若兩向量 •  當　　為不平行的兩向量時, • 設其夾角為θ， • 作　　　　　如右圖, • 則 • 在 △OAB中，由餘弦定理知  前一主題例題3 隨堂練習3-1 下一主題

請看課本p.181 • 所以 • = ( x12 + y12) + (x22 + y22) – [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] • = x12 + y12 + x22 + y22 – [ x12 – 2x1 x2 + x22 + y12 – 2y1 y2 + y22 ] • = 2 ( x1x2 + y1y2 )， • 故得 •  當　平行時, 存在實數t, 使得　　　 • 即( x1, y1 ) = t ( x2, y2 ), 所以得前一主題例題3 隨堂練習3-1 下一主題

若　　　　　　　　　　則 請看課本p.181 • 若有一為時,顯然成立. • 我們將上述結果整理如下︰ • 另外, 當　　　　　　　　　　為兩非零向量, • 則前一主題例題3 隨堂練習3-1 下一主題

當由　　　　　　　　知例題3 請看課本p.182 若兩向量　　　　　　　　　之夾角為θ,試求： 　　 　　　θ. 滿足　與　　垂直的t值. • 解： •  •  •   因為0°  θ180°, 故得θ = 45°. 前一主題例題3 隨堂練習3-1 返回下一主題

例題3 請看課本p.182 若兩向量　　　　　　　　　之夾角為θ,試求 　　 　　　 θ.滿足　與　　垂直的t值. • 解： • 因為　　　　　所以 • 即 ( 1, 3 ) · (1+2t , 3+t) = 0 , • 展開整理得5t +10 = 0, • 故得 t = –2. 前一主題例題3 隨堂練習3-1 返回下一主題

隨堂練習3-1 請看課本p.182  ΔABC中，設 A( –4 , 0 ), B(–3 , 2 ), C( 5, 3 ), 試求 cos∠BAC. 若　　　　　　　　其中s≠0或t≠0, 試說明 • 解： • 　　= (1, 2), = (9, 3), •  •  前一主題例題3 隨堂練習3-1 返回下一主題

隨堂練習3-1 請看課本p.182  ΔABC中，設 A( –4 , 0 ), B(–3 , 2 ), C( 5, 3 ), 試求 cos∠BAC. 若　　　　　　　　其中s≠0或t≠0試說明 • 解： •  前一主題例題3 隨堂練習3-1 返回下一主題

隨堂練習3-1 請看課本p.182  ΔABC中，設 A( –4 , 0 ), B(–3 , 2 ), C( 5, 3 ), 試求 cos∠BAC. 若　　　　　　　　其中s≠0或t≠0試說明 • 解： •  因為 • 所以前一主題例題3 隨堂練習3-1 返回下一主題

設　　　　為任意三向量, k為任意實數, 則     請看課本p.182 • 五﹑向量內積的性質 • 　　一般而言, 向量的內積具有下列的性質： • 　　以上性質, 我們將證明如下, 其餘請同學自行驗證. 前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

請看課本p.183 • 證： • 設　　　　　　　　　則 •  • 　又 •  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 下一主題

隨堂練習3-2 請看課本p.183 試利用向量內積的性質，驗證下列結果﹕    • 解： •  •  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

隨堂練習3-2 請看課本p.183 試利用向量內積的性質，驗證下列結果﹕    • 解：  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

例題4 請看課本p.183 已知　　　　　且　　　　　設θ為　與　的夾角, 試求: θ. • 解： •  = 72 + 75 – 75 = 72. 前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

例題4 請看課本p.183 已知　　　　　且　　　　　設θ為　與　的夾角, 試求: θ. • 解： • 因為 • =32－2．( )+52= 9+15+25 = 49, • 所以前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

例題4 請看課本p.183 已知　　　　　且　　　　　設θ為　與　的夾角, 試求: θ. • 解： • 因為cosθ= • 且0°θ 180°, 所以θ= 120°.  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.184 已知設θ為的夾角, 試求：   cosθ. • 解：  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.184 已知設θ為的夾角, 試求：   cosθ. • 解：  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.184 已知設θ為的夾角, 試求：   cosθ. • 解：  （且0° ≤ θ ≤ 180°, 所以θ = 60°.）前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

例題5 請看課本p.184 平行四邊形定理試證：平行四邊形中, 兩對角線長的平方和等於四邊長的平方和. • 證： • 如右圖的平行四邊形ABCD, • 且得兩對角線 • 所以前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

例題5 請看課本p.184 平行四邊形定理試證：平行四邊形中, 兩對角線長的平方和等於四邊長的平方和. • 證： • 故得證. 請參閱第45頁，我們以餘弦定理證明平行四邊形定理.  前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

隨堂練習5 請看課本p.184 畢氏定理 ΔABC中, 試證：∠C是直角  • 證： • 而∠C是直角 •  • 故得證. 前一主題隨堂3-2 例4 隨堂4 例5 隨堂5 返回下一主題

請看課本p.184 • 利用兩向量垂直時內積為0的性質, 也可求過圓上一點的切線, 我們以136頁2-3節的例題12為例, 說明如下：前一主題例題6 隨堂練習6 下一主題

例題6 請看課本p.184 已知圓C：＝5 與圓上一點A(4, –1), 試求過A點且與圓C相切的切線方程式. • 解： • 圓C的圓心坐標為Q(2, –2), 半徑為 • 設P(x, y)是切線L上任意一點, • 則 • 得 • 又　＝(x – 4, y＋1), • 　　＝(–2, –1), • 所以( x – 4, y＋1) · (–2, –1)＝0, 前一主題例題6 隨堂練習6 返回下一主題

因為過切點A的半徑與切線L垂直（　　　）, 所以　　　＝0. 例題6 請看課本p.184 已知圓C：＝5 與圓上一點A(4, –1), 試求過A點且與圓C相切的切線方程式. • 解： • 即–2( x – 4 ) – (y＋1)＝0, • 得2x＋y –7＝0. • 即切線方程式為 2x＋y –7＝0.  前一主題例題6 隨堂練習6 返回下一主題

隨堂練習6 請看課本p.185 已知圓C：與點A(–1, 3), 試求過A點且與圓C相切的切線方程式. • 解： • 將點A(–1, 3)代入圓C方程式得 • 所以點A在圓C上. • 設圓C的圓心坐標為Q(2, –1) • 且P(x, y)是切線上任意一點, 前一主題例題6 隨堂練習6 返回下一主題

隨堂練習6 請看課本p.185 已知圓C：與點A(–1, 3), 試求過A點且與圓C相切的切線方程式. • 解： • 即3(x + 1)  4(y– 3) = 0, • 故切線方程式為3x– 4y + 15 = 0. 前一主題例題6 隨堂練習6 返回下一主題

請看課本p.185 • 將幾何問題坐標化，可將幾何問題化為代數問題來處理（即為解析法）. 前一主題例題7 隨堂練習7 下一主題

例題 7 請看課本p.185 右圖 ABCD為一矩形，其中　　=2, =1, M為BC邊中點, N為CD邊中點, 試求：   • 解： • 先將圖形坐標化, • 取A( 0, 0 ), B( 2, 0 ), D( 0, 1 ), • 則 C( 2, 1 ), M( 2, ), N( 1, 1 ). 前一主題例題7 隨堂練習7 返回下一主題

第三章 平面向量