第一章导论

第一章导论 • 数理逻辑研究发展简史 • 数理逻辑划分 • 现代逻辑体系 • 小结《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 • 数理逻辑是用数学的方法研究思维规律的一门学科。由于它使用了一套符号，简洁的表达出各种推理的逻辑关系，因此数理逻辑一般又称为符号逻辑。 • 数理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等计算机应用和理论研究提供必要的理论基础。《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 “逻辑”一词来源于希腊字oyos(罗各斯，英语logic)音译。原意是指思维。逻辑是以思维作为研究对象的，是研究人类思维及其规律的一门科学。逻辑的三大发源地：古希腊，古中国，古印度 1. 古希腊：代表学派；古希腊学派代表人物；亚里士多德(Aristoteles，公元前384-322)，西方称其为逻辑之父，西方三圣之一。另两位是苏格拉底(公元前469-399，柏拉图的老师)和柏拉图(Platon，公元前427-347，亚里士多德的老师)；代表著作；《工具论》(十篇)，提出形式逻辑的雏形； 2. 古代中国：代表学派；墨家学代表人物；墨子(约公元前480-420)；代表著作；(《墨经》亦称《墨辩》)。《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 3. 古印度：代表学派；胜论学派；正理学派；代表人物；那陀；乔答摩；代表著作；《胜论经》(约公元50-100)，《正理经》(约公元250-350)；古印度称逻辑为因明(梵语hetu-vidya，希都费陀)；辩证逻辑：起源于中国，后由传教士传入欧洲，经德国人马赫，黑格尔，马克思等形成理论体系。《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 《墨经》之《小取》小取是中国古典逻辑的一个纲要，比较集中完整地讨论了逻辑的基本内容。《墨经》是墨家创始人墨翟思想的发展。后期墨家在逻辑理论方面作出了重要贡献。他们对“故”、“理”、“类”古代逻辑的三个基本范畴下了明确的定义，并对“名”、“辞”、“说”作了深入研究。论述了“辟”（比喻）、“侔”（附比）、“援”（类比）、“推”（间接的归纳与演绎）四种形式的推理(见后期墨家逻辑)。这些思想，在中国古代逻辑史上占有重要地位。墨子印度因明从古代论辩术发展而来。先是五支论式，后发展为三支论式（宗、因、喻）。在分析正确论证和推理的同时，十分注重论证的“过”和反驳的“过”。因明于唐代传入我国并得到发展。《高等数理逻辑》－－概述

西方辑 学创始人。《工具论》 6 篇奠定了逻辑的基础。主要贡献是对三段论的系统研究。斯多葛学派于三段论之外，研究了命题逻辑。西方逻辑《新工具》针对亚氏的演绎逻辑而提出归纳和诉诸自然和经验。三表法。提出理想语言和推理是计算的思想而成为现代逻辑的先驱。批判了形式逻辑，研究了辩证思维，构造了辩证逻辑的体系。揭示了思维的辩证矛盾。《高等数理逻辑》－－概述

现代归纳逻辑由J.M.凯因斯和F.P.拉姆齐开创，流行于现代归纳逻辑由J.M.凯因斯和F.P.拉姆齐开创，流行于 50～80年代初期的贝叶斯运动。20世纪中叶以来，美国的 P.J.科恩用模态逻辑作为处理归纳推理的工具。科恩指出，支持度可列为不同的等级，不同等级的支持度，就是证据给予假设不同等级的必然性，一个被证明了的理论就是由较低级的必然性达到较高级的必然性。严格的因果陈述只是概率陈述的极限情况，科学中尤其是量子力学中的因果概念，并不一定要求概率接近证明了狭谓词演算的有效公式皆可证；如果一个初等数论的形式系统一致，则它是不完全的；这种系统的一致性在本系统中不能证明，更不能用有穷方法证明。他的这些工作正面或反面地，或是部分地解答了20世纪以来数学基础问题争论的最根本或最重要的问题把概率作为一个逻辑概念来处理，区别于以相对频率为根据的统计概率。逻辑概率是一切不具有演绎必然性的归纳推理的基础，关于逻辑概率的理论就是归纳逻辑。它可给出假说的相对于给定证据的确认度于 1。一切科学陈述均是概率陈述，科学的逻辑是取值为区间0～1上的全部实数的概率逻辑《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.1 数理逻辑研究发展简史 前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论初创时期——逻辑代数时期（17世纪末） (1) 资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。 (2) 人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。西方公认的数理逻辑创始人是十七世纪德国的莱布尼茨(Leibniz，公元1646-1716)，他完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想，力图建立一种精确的普遍语言，并寻求一种推理演算，以便用来解决论辩的争论问题。 • 布尔(G. Bool，公元1815-1864)，建立了逻辑代数； • 德摩根(de Morgan，公元1806-1876) 和施罗德(Schroder，公元1841-1902)等建立了关系逻辑。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.1 数理逻辑研究发展简史 中创时期(19世纪80年代至20世纪30年代) • 弗雷格(Frege，公元1848-1925)，出版《计算概念》，建立了第一个逻辑公理体系；概念语言—一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分—命题演算和谓词演算的正式建立。 • 皮亚诺(Peano，公元1838-1932) ，出版《数学公式》，把各门数学都表达于逻辑演算之中； • 罗素(Russell，公元1870-1970)和怀特海(Whitehead，公元1861-1947)，出版三大卷《数学原理》，建立了完整的古典逻辑演算体系，突破了形式逻辑的局限性，使数理逻辑成长为一门新的学科。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.1 数理逻辑研究发展简史 近代 (20世纪30年代至今) 康托(Cantor，公元1845-1918)，建立了集合论体系；希尔伯特(Hilbert，公元1862-1943)，提出了《希尔伯特计划》和著名的23个数学问题，建立了《证明论》；哥德尔(Godel，公元1906-1978)，1930证明了狭谓词演算的完备性定理，1936证明了广义实用谓词演算的两个不完备性定理，提出了能行性和机械过程的数学描述，建立了《递归论》；丘奇(Church，公元1903-?)，提出了可判定性理论，与克利尼(Kleen)一起1933-1935建立了能行性理论的-演算体系；图灵(Turing，公元1912-1954)，提出了图灵机模型，形成了图灵理想计算机理论，建立了《可计算性理论》；哥德尔图灵《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 与计算机科学的关系：理论基础 • 莱布尼兹的思想：数理逻辑、数学、计算机出自同一目的——思维过程的演算化和计算化，计算机科学对数理逻辑的研究有推动作用。 (1) 从计算模型和可计算性的研究来看，可计算函数和可计算谓词（一种能够能行判定其真值的断言或逻辑公式）是等价的，相互之间可以转化。这就是说，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑系统来表达。作为计算模型可以计算的函数恰好与可计算谓词是等价的，而逻辑系统又能通过自身的无矛盾性保证这样一种计算模型是合理的。由此可见，作为一种数学形式系统，图灵机及其与它等价的计算模型的逻辑基础是坚实的。人工智能领域的一个重要方向就是基于逻辑的人工智能。《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 (2) 实际计算机的设计与制造中，使用数字逻辑技术实现计算机的各种运算的理论基础是代数和布尔代数。布尔代数只是在形式演算方面使用了代数的方法，其内容的实质仍然是逻辑。(3) 从计算机程序设计语言方面考察，语言的理论基础是形式语言、自动机与形式语义学。而形式语言、自动机和形式语义学所采用的主要研究思想和方法来源于数理逻辑和代数。程序设计语言中的许多机制和方法，如子程序调用中的参数代换、赋值等都出自数理逻辑的方法。此外，在语言的语义研究中，四种语义方法最终可归结为代数和逻辑的方法。而且，程序的语义及其正确性的理论基础仍然是数理逻辑，或进一步的模型论。《高等数理逻辑》－－概述

§1.1 数理逻辑研究发展简史 (4) 在计算机体系结构的研究中，象容错计算机系统、Transputer计算机、阵列式向量计算机、可变结构的计算机系统结构及其计算模型等都直接或间接与逻辑与代数密不可分。如容错计算机的重要基础之一是多值逻辑，阵列式向量计算机必须以向量运算为基础，可变结构的计算机系统结构及其计算模型主要采用逻辑与代数的方法。《高等数理逻辑》－－概述

现代逻辑学与计算机科学、计算语言学和人工智能的关系表现代逻辑学与计算机科学、计算语言学和人工智能的关系表逻辑自然语程序人工逻辑指令与直数据库复杂性智能体未来展望言处理控制智能编程陈式语言理论理论理论时序逻辑 √ √ √ √ √ √ √ √ 广泛应用模态逻辑 √ √ √ √ √ √ √ √ 非常活跃算法证明 √ √ √ √ √ √ √ √ 非单调推理 √ √ √ √ √ √ √ 意义重大概率和模糊 √ √ √ √ √ √ √ 目前主流直觉主义逻辑 √ √ √ √ √ √ √ √ 主要替代者高阶逻辑，λ-演算 √ √ √ √ √ √ 更具中心作用经典逻辑片断 √ √ √ √ √ √ 前景诱人资源和子结构逻辑 √ √ √ √ 纤维化和组合逻辑 √ √ √ √ √ √ 可自我指称谬误理论在适当语境逻辑动力学 √ √ 动态逻辑观论辩理论游戏 √ 前景光明对象层次/元层次 √ √ 总起中心作用机制:溯因缺省相干 √ √ 逻辑的一部分与神经网络的联系极重要，刚开始时间-行动-修正模型 √ √ 一类新模型加标演绎系统 √ √ √ √ √ 逻辑学的统一框架《高等数理逻辑》－－概述

逻辑与程序语言的对比 《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 1.2.1. 经典数理逻辑逻辑演算公理化集合论证明论模型论递归论可计算性理论《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 命题演算 • 命题——能分辨真假的陈述句 • 逻辑联结词：否定、合取、析取、条件、双条件 • 命题符号化 • 公式的蕴涵：永真式 • 公式的范式 Saul A.Kripke 欧几里德 Alfred Tarski（1901—1983）《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 一阶谓词演算 • 凡是人都是要死的；苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 • 谓词P(x) • 量词：全称量词（任意）、存在量词（存在） • 变元(x)与常元(a) • 程序设计理论、语义形式化及程序逻辑研究的基础；程序验证、定理证明和知识表示的有力工具《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 1.2.2 非经典数理逻辑 -演算及π-演算高阶（二阶逻辑）模态逻辑时态逻辑及时间逻辑直觉主义逻辑及认知（认识）逻辑多值逻辑，无穷逻辑及模糊逻辑元逻辑量子逻辑道义逻辑优先逻辑祈使逻辑自然逻辑问题逻辑信念（相信）逻辑断定逻辑内涵逻辑相干（干涉）逻辑现代归纳逻辑科学逻辑语用逻辑粗值逻辑程序逻辑及规范逻辑行为逻辑及图意逻辑辩证逻辑的现代进展 …… 非经典逻辑有重要贡献的历史人物：莱布尼茨(Leibniz)，希尔伯特(Hilbert)，丘奇(Church)，罗伯特.费叶茨(Robert Feys)，卡尔纳普，蒙太古，克里普克，马纳(Manna)，⋯⋯⋯，等等。《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 中国为什么没有产生近代科学体系？爱因斯坦在同一封信中又说：但是令人惊讶的是，古代中国在早期科学技术的各个方面都取得了许多重大的成果(李约森：几乎是一大半)，但是为什么在中国没有产生象西方那样的哲学指导思想？没能形成象西方那样的近代的科学体系？主流意识一般认为原因在于：中国漫长的两千年封建专制统治摧残了社会精英；保守的主流文化、教育——儒家文化、教育抑制了人才成长：中国人内敛的性格不适于作冒险的科学技术实践。由于现代科学技术迅猛发展的刺激，尤其是计算机科学技术的很多特殊需求，传统的、经典的数理逻辑已经远远不能适应如此复杂的形势了，这就应运产生了适合各种学科要求的、具备许多特性的一大批现代的数理逻辑——非经典逻辑。《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 模态逻辑是逻辑学中最引人注目的一种非经典逻辑，也是大部分非经典逻辑的基础。模态逻辑主要是研究“必然”、“可能”、“不可能”和“偶然”等所谓“模态”概念的逻辑学说。 • 凡是人都是要死的；苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 • 亚里士多德：“明天波斯和雅典将发生海战”。 • 事物的“势态”，人的“情态”以及过程的变迁：“必然、可能”，“应该、允许”，“一贯、偶然”等等。 • □A——必然A; ◇A——可能A • 模态命题逻辑与模态谓词逻辑《高等数理逻辑》－－概述

§1.2 数理逻辑划分 多值逻辑前面所讨论的经典逻辑、模态逻辑等属于二值逻辑，即每一个命题皆取真假二值之一为值，每一命题或者真或者假。如果更一般地来考查一个命题；使其不限于只取“真”、“假”二值，而是可以取三值、四值、任意有限个值，乃至可数无穷多个值，那么，这种多值命题间的逻辑关系的研究就称之为多值逻辑。三值逻辑是最简单的多值逻辑，也是最重要的逻辑系统，主要有 • 克利恩（Kleene）三值逻辑系统K3 • 卢卡西维茨（Luckasiewicz）三值逻辑系统L3 • 波兹瓦（Bochvar）三值逻辑系统B 《高等数理逻辑》－－概述

§1.3 现代逻辑体系 • 逻辑语言构成 • 形式公理体系 • 解释体系构成 • 现代逻辑扩张方法《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 语法(syntax)：一般一、二两部分称为逻辑的语法理论。即逻辑的语法理论语义(semantic)：一般把第三部分称为逻辑的语义理论。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 1.3.1 逻辑语言构成 1. 一个字母表(alphabet)：记为A或，其元素称为符号，符号(symbol,sign)的有限串构成字(word)。 2. 一个项集(term set)：记为TERM，其元素称为项(term)，是某种合法的字。 3. 一个公式集(formula set,well-formed formula--wff)：记为FORMULA，其元素称为合式公式(wff)，简称公式，是某种合法的字。一般地，项集与公式集是不的，即TERMFORMULA=∅。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 4. 有关的一些语法理论。 (1)项形成规则(formation rule of terms)：规定合法的项； (2)公式形成规则(formation rule of wffs)：规定合法的公式； (3)括号省略的原则：缩写约定； (4)代入规则(substitution rule)：代入的原则及为保持这一原则所作的规定； (5)其它语法概念：为涉及的其它语法问题所作的规定。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 1.3.2 形式公理体系(formal axiom system) 1. 一个(形式)公理(图式)集(formal axiom schemata set)：记为AXIOM，其元素称为公理(图式)，是精心选择的满足某种意图的公式。 一般用系统肯定符‘⊢S’来指出。‘⊢S’指出公式是系统S中的公理，即AXIOM(S)。 2. 一个变形规则图式集(transfomation rules schemata set,inference rules schemata set)：记为RULE，又称为推理规则图式集，其元素称为规则。一条规则实际上是公式间的一种多元关系。一般也称为初始规则。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 3. 定义一：一个公式称为一个形式公理体系S的一条(形式)定理(formal theorem)，记为⊢S，如果存在一个有穷的公式序列： 1，2，………，n (1) 其中每个i (1in)必须 (1)或者是S的一条公理，即iAXIOM(S)； (2)或者是前面已证的定理，即iTH(S)； (3)或者是对排在序列(1)前面的某些公式j(j<i)应用S的某条变形规则r所得的公式； (4)n=；此时公式序列(1)称为该定理的一个形式证明(formal proof)，并称在S中是可证的(provable)或可导的(derivable)。形式理论(formal theory)：S的全体定理的集合称为S的形式理论。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 4. 定义二：设是一公式，是一公式集，称是由推出的(deduce)，或者称是的一个演绎结论(deductive conclusin)，记为⊢S，如果存在一个有穷的公式序列： 1，2，………，n (2) 其中每个i (1in)必须 (1)或者是S的一条公理，即iAXIOM(S)； (2)或者是一条前提公式，即i ； (3)或者是前面已证的定理，即iTH(S)； (4)对排在序列(1)前面的某些公式j(j<i)应用S的某条变形规则r所得的公式； (5)n=；此时公式序列(2)称为从出发的的一个形式演绎(formal deduction)，中的公式称为前提(premise)，称为前提公式集。《高等数理逻辑》－－概述

S § 1.3 现代逻辑体系 5. 有关的一些(语法)理论： (1)导出规则(derivative rules)：记为DR，并非初始规则，是由系统推导出的新的规则。 (2)演绎等价(deductively equivalent)：两个公式可相互演绎。即⊢S⊢S。 (3)完全性(completeness)：正、反两面系统至少肯定一面。即⊢S⊢S。一般地，纯理论逻辑系统是不完全的；应用逻辑系统是完全的。 (4)一致性(completeness)：正、反两面系统至多肯定一面。即(⊢S⊢S)。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 (5)独立性(independence)：系统是无冗余的。系统的任何一条公理及任何一条初始规则都不能由其余公理及其余初始规则所导出。即 (AXIOM(S))(Th(S\{}))(rRULE(S))(rDR(S\{r}))。 (6) 可判定性(decidability)：存在着有效的、统一的能行机械算法可以判断问题： ‘Th(S)？(或⊢S?)’及‘rDR(S)？’。一般地，各命题逻辑系统是可判定的；一阶谓词逻辑系统及应用逻辑系统都是不可判定的。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 (7) 扩张(extension)：单调扩张：S1S2 Th(S1)Th(S2)(系统扩张)；12 (1)⊢(2)⊢(演绎扩张)；非单调扩张：S1S2 Th(S1)⊈Th(S2) (系统扩张)；12 (1)⊢⊈(2)⊢(演绎扩张)。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 1.3.3 一个解释体系(interpretation system)： 1.一个语义结构(semantic structure)，也称为模型(model)U或M：经典的(classical)：塔斯基(Tarski)语义结构U=<D,> 其中：D为一非空集合，称为论域(domain)或个体域(individual domain)，其元素称为个体(individual)；称为解释映射 (interpret map)。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 现代的(modern)：克里普克(Kriple)语义结构M=<W,R,D,>。其中：W称为可能世界集(possible world set) ，其元素称为可能世界(possible world)；R称为可能世界间的“可达关系(reachable relation)”或“选择关系(accessible relation)”；D={Dw:wW}称为论域系(domain system)，其元素Dw是可能世界w上的论域；= {w:wW}为解释映射系(interpret map system)，元素w是可能世界w上的解释映射。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 2.一个语义指派(semantic assignment)：经典的：称为语义指派，是从个体变项集VARIABLE到个体域D上的一个映射。即 :VARIABLED 。现代的：={w:wW}称为(语义)指派系，其元素w是可能世界w上的语义指派。即 w:VARIABLEDw。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 3.一个赋值(valuation)υ：经典的：υ称为赋值，是从公式集FORMULA到值集VAULE上的一个映射。即 υ:FORMULAVAULE (这里：VAULE={0,1}或{t(true),f(false)})。现代的：υ={υw:wW}称为赋值系，其元素υw是可能世界w上的赋值。即 υw:FORMULAVAULE 赋值系υ也可看作一个二元映射，这时仍称其为赋值。即 υ:FORMULAWVAULE。《高等数理逻辑》－－概述

§1.3 现代逻辑体系 4. 有关的一些(语义)理论： (1)满足关系(satisfy relation)：⊨ 公式在解释下成立(为真)； (2)可满足性(satisfiability)：Sat ()(⊨)； Sat ()()(⊨)； (3)有效性(validity)：⊨()(⊨)；与有效性相对(反)的概念是不可满足性； (4)不可满足性(unsatisfiability)：Insat ()(⊨)； (5)逻辑蕴含(logically implication)：⊨()(⊨⊨)； ⊨()(()(⊨) ⊨)；《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 (6)逻辑等价(logically equivalent)：┝┥()(⊨⊨)； (7)理论(theory)：称公式集是一个语义理论(1)Sat；(2)⊨，这里：⊨={|FORMULA且⊨}；………等。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 系统性质：语法理论与语义理论之间的联系性质。这些性质如下 (1)系统的可靠性(soundness)：凡可证的都是有效的。即⊢⊨； (2)系统的完备性(completeness)：凡有效的都是可证的。即⊨⊢； (3)系统的紧致性(compactness)：无限集的可满足性可由无限个有限集的可满足性来实现。即Sat (0)((nN)(0=n)  Sat0)。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 1.3.4 现代逻辑扩张的方法 1. 先从语义开始，对已有的各种联结词、算子做出新的语义解释，从而引出有关这些联结词、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统(从语义到语法)；例如：三值逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、归纳逻辑等。 2. 先从语法开始，对已有的逻辑系统增加新的词项及新的算子，从而引出有关这些词项、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统，新的逻辑体系立即引发出全新的语义解释(从语法到语义) 3. 两种扩张的方法混合使用。《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 1. 三值逻辑是如何从二值逻辑扩张而来的 (1) 经典的二值逻辑对联结词的语义解释——赋值 υ:FORMULAVAULE(这里：VAULE={t,f}) 其真值表如下：《高等数理逻辑》－－概述

§ 1.3 现代逻辑体系 (2)非经典的克利尼(Kleene)强三值逻辑对联结词的语义解释——赋值 υ:FORMULAVAULE (这里：VAULE={t,f,u})，真值u直观上表示“未定义、无定义(undefined)” 其真值表如下：《高等数理逻辑》－－概述

§1.3 现代逻辑体系 (3)非经典的卢卡西维茨(Luckasiewicz)三值逻辑对联结词的语义解释——赋值 υ:FORMULAVAULE (这里：VAULE={t,f,i} ) ，真值i直观上表示“不确定(indeterminate)”其真值表如下：《高等数理逻辑》－－概述

§1.3 现代逻辑体系 (4) 非经典的波兹瓦(Bochvar)三值逻辑对联结词的语义解释——赋值 υ:FORMULAVAULE (这里：VAULE={t,f,m}) 真值m直观上表示“无意义(meaningless)” 其真值表如下：《高等数理逻辑》－－概述

§1.3 现代逻辑体系 2.从语法到语义的扩张例如：以下是各非经典逻辑所增加的新算子。 • 模态逻辑：☐(必然)，(可能)； • 时态逻辑：☐(总是)，(有时)，o(下一个)，(下一时)，U(直到)； • 二阶逻辑：二阶变项，二阶量词； • 道义逻辑：O(必须)，P(允许)，F(禁止)； • 优先逻辑：P(优先)； • 时间逻辑：P(过去)，R(现在)，F(将来)； • 时相逻辑：H(发生)，B(未发生)，A(事后)，G(完成)； • 信念逻辑：B(相信)；断定逻辑：A(断定)；………等。《高等数理逻辑》－－概述

§1.3 现代逻辑体系 3. 两种扩张的方法混合使用。例如：非经典的莱欣巴哈(Reichenbach)三值量子逻辑。在联结词方面莱欣巴哈三值量子逻辑增加了： • 两种否定词：～(循环否定)，——(完全否定)，(原否定词()称为直接否定(－))； • 两种蕴涵词：(二者择一蕴涵)，　(准蕴涵)，(原蕴涵词()称为标准蕴涵())； • 一种等价词：　(二者择一等价)，(原等价词()称为标准等价())； • (并且原合取词()记为())。《高等数理逻辑》－－概述

§1.4 小结 1.1 数理逻辑的发展简史 1.2 数理逻辑的划分 a. 经典数理逻辑 b. 非经典数理逻辑 1.3 现代逻辑体系 a.逻辑语言构成 b.形式公理体系 c.解释体系构成 d.现代逻辑扩张方法《高等数理逻辑》－－概述

第一章 导论