Pytagoras

1. Pytagoras Pytagorova veta TadeášGavala 2 MPsb

2. Pytagoras zo Samu • asi 580 pred Kr. - 496 pred Kr. • bol starogrécky filozof, nábožensko-morálny reformátor, matematik, astronóm • podstatou všetkého je podľa neho číslo • pochádzal z ostrova Samos, skade emigroval a následne precestoval Egypt aj Perziu a zoznámil sa s náboženstvom tamojších národov i s výsledkami ich vedeckého skúmania a pozorovania • považovali ho za veľkú autoritu a výrok „Pytagoras to povedal“ sa vraj používal ako argument pri uplatňovaní názoru

3. „Najkratšie odpovede – áno a nie – vyžadujú najdlhšie rozmýšľanie.“ Pytagorova veta • základná teoréma euklidovskej geometrie, ktorá popisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine • umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán • veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

4. formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou a2 + b2 = c2, kde a, b sú dĺžky odvesien a c je dĺžka prepony • starí Egypťania a Indovia stavali stavby , pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly • robili to takto : • na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké • špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili • potom uhol 148 je pravý

5. Dôkazy Pytagorovej vety • dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, uvádza sa ich viac ako 300 • základné tri: • grafický dôkaz • algebraický dôkaz • dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov) „Pravé a dokonalé priateľstvo znamená spojiť veľa vecí a tiel do jedného srdca a jediného ducha.“

6. Grafický dôkaz • štvorec so stranou a + b je možné zložiť dvomi spôsobmi: • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami aab • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou c • z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety

7. grafický dôkaz

8. grafický dôkaz Pytagorovej vety v starých čínskych textoch zvaných Zhou Bi SuanJing „Nikdy si v modlitbe nežiadaj niečo priamo pre seba. Ako môžeš vedieť, čo je pre teba dobré?“

9. „Bohovia dali človeku dve ruky, aby ich neobťažoval s každou maličkosťou.“ Algebraický dôkaz • ide o zápis grafického dôkazu pomocou rovníc • obsah celého štvorca vyjadríme dvomi spôsobmi: • strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka aab, teda pre jeho obsah platí: S = (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • štvorec je tvorený štyrmi pravouhlými trojuholníkmi a štvorcom uprostred so stranou cobsah celého štvorca je súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov - dvoch obdĺžnikov (2ab) a štvorca so stranou c (c2)obsah celého obrazca je daný vzorcom S = 2ab + c2 • pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah rovnať • platí teda, že a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2a po úprave dostaneme a2 + b2 = c2

10. Dôkaz podobnosti • trojuholíkyCDB a CDA (na obrázku) sú si podobné: • veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere • ich uhly sú zhodné • pri podobnosti trojuholníkov platia vzťahy na obrázku, platí, že c = p + q, čo po dosadení dáva a2 + b2 = c2

11. „Otužuj telo! Nepodávaj mu viac potravy ako treba. Nepožívaj omamujúce nápoje! Otupujú jemnocit a ochromujú dušu.“ Pytagorejské čísla • Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel a, b a c, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete, teda pre ktoré platí a2 + b2 = c2(napr.: 3, 4, 5 a ich násobky) • existujú viaceré generátory pytagorejských čísel (napr.: klasický generátor) • klasický generátor pytagorejských čísel je funkcia a, b, c = f (x, y), kde x, y sú prirodzené čísla a x je ostro väčšie ako y • existuje v tvare: a = 2xy b = x² - y² c = x² + y²

12. Tabuľa Primpton 322 zaznamenáva pytagorejské čísla od babylonských čias

13. množstvo pravouhlých trojuholníkov v množinách dĺžiek jeho strán

14. „Mlč, alebo povedz niečo, čo je lepšie ako mlčať.“ Ďakujem za pozornosť!