Engenharia de Controle Diagramas de Bode

1. Engenharia de Controle Diagramas de Bode

2.  Magnitude e fase em função da freqüência  Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos de freqüência e magnitude  Exemplo de construção: Sistema de 2a ordem freqüências de quebra Introdução  Diagramas de Bode: Representações da resposta em freqüência

3. Utilizando: Definindo: Decibel (dB) como ganho Introdução

4.  Termo geral dependente da freqüência: Aproximações assintóticas  A magnitude na freqüência de quebra é de  3dB  A magnitude na freqüência 10wi é de  20dB Introdução

5. w << wi :  w >> wi: Aproximações assintóticas Erro máximo de 3dB em wi Intercepto na freqüência de quebra Introdução

6.  Ganho constante  Pólos e zeros reais que ocorrem na origem  Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem  Pólos e zeros complexos  Atraso de transporte ideal Introdução Observação: Caso o termo geral pertença ao denominador, sua contribuição para a magnitude da resposta será negativa  Fatores das funções de transferência: Não abordado no curso

7. i)Ganho constante: ii)Pólos e zeros que ocorrem na origem: A representação gráfica é uma linha reta com inclinação de 20dB por década de freqüência Fatores da Resposta em Freqüência

8. Pólo na origem Zero na origem Representação exata da resposta em freqüência Para um zero de ordem N na origem, a representação gráfica é uma reta com inclinação de 20N dB por década de freqüência. Para o caso de um pólo de ordem N na origem, a curva é simétrica à anterior. Fatores da Resposta em Freqüência

9. iii)Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem: Zero real  Termo de primeira ordem com multiplicidade N Pólo real Zero Fatores da Resposta em Freqüência

10. Exemplo: Fatores da Resposta em Freqüência

11. Exemplo: Fatores da Resposta em Freqüência

12. Ganhos positivos: 0 Termo de ganho constante: Ganhos negativos: 180  Zero na origem: 90  Pólo na origem: - 90 Zero real que não ocorre na origem: Diagramas de Fase

13. Freqüência de quebra As características de fase de um pólo real que não ocorre na origem são simétricas àquelas apresentadas na figura Diagramas de Fase

14. Exemplo: Diagramas de Fase

15. Exemplo: Diagramas de Bode – Magnitude

16. Exemplo: Diagramas de Bode – Fase

17. A margem de ganho ocorre na freqüência w1 na qual o ângulo de fase é -180. É calculada como o recíproco da magnitude a de G(jw1) Expressando a margem de ganho em dB: Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode

18.  A margem de fase ocorre na freqüência w2 na qual a magnitude do ganho de MA é unitário (0 dB)  É definida como a diferença entre o ângulo de fase de G(jw2) e -180 Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode

19. O diagrama de Bode deve ser construído com auxílio de uma ferramenta computacional Regra Prática: Margem de ganho de 8 dB Margem de fase de 50 Os erros cometidos nas aproximações assintóticas podem exceder estes valores Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode  A aproximação assintótica utilizada na construção dos diagramas de Bode é, geralmente, inadequada quando aplicada à determinação das margens de estabilidade

20.  Pólos e zeros complexos da forma Normalizando para ganho DC unitário: A magnitude e a fase da resposta em freqüência dependem da relação de amortecimento z Diagramas de Bode Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:

21. Aproximação Assintótica z = 1 z = 1 O erro máximo cometido na magnitude ocorre na freqüência de quebra e vale  6dB Diagramas de Bode

22. As aproximações assintóticas se mostram adequadas para Erros relativamente elevados para a fase O erro máximo cometido nestas aproximações é de 6dB para a característica de magnitude Diagramas de Bode

23. Quando z < 0,3 as aproximações assintóticas não são adequadas Erros elevados Quando z = 0:  w = wn: Magnitude tende a - dB  A fase apresenta descontinuidade de 180 em w = wn Diagramas de Bode

24. Exemplo: Neste sistema, z = 0,2 Erro máximo de  8 dB Espera-se que a aproximação assintótica apresente erro elevado nas vizinhanças de wn = 10 rad/s Diagramas de Bode

25. Exemplo: Erros elevados cometidos na representação da fase do sistema Diagramas de Bode

26. Fundamento matemático: Mapeamento de funções complexas Critério de Nyquist  Aplicável a sistemas em malha fechada com equação característica 1 + G(S)H(S) = 0  O objetivo é analisar a estabilidade de um sistema em malha fechada a partir da resposta em freqüência da função de malha aberta G(jw)H(jw)

27. Exemplo: Deseja-se mapear no plano F(s) uma circunferência do plano s com centro em s0 Mapeamento no plano F(s) A curva C envolve o zero de F(s) no sentido horário A curva Genvolve a origem do plano F(s) no sentido horário Critério de Nyquist

28. Exemplo: Recíproca de F(s) é o recíproco deste vetor A magnitude é recíproca de (b) e a fase é o negativo de (b) A curva C envolve o pólo de F(s) no sentido horário A curva Genvolve a origem do plano F(s) no sentido anti-horário Critério de Nyquist

29. Exemplo: O ângulo de cada vetor gira de - 360 à medida que o ponto s percorre a curva C A curva C envolve os zeros de F(s) no sentido horário A fase de F(s) gira de - 720 e a curva Genvolve a origem do plano F(s) duas vezes no sentido horário Critério de Nyquist

30. Recíproca de Exemplo: Existe uma relação entre o número de pólos e zeros envolvidos por uma curva C no plano s e a quantidade e o sentido dos envolvimentos da origem do plano F(s) Princípio do argumento de Cauchy Critério de Nyquist  A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A fase será o oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva G envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti- horário

31. Critério de Nyquist Teorema: Seja F(s) a razão de dois polinômios em s e a curva C do plano s mapeada por F(s). Se F(s) for analítica no interior e na borda de C, exceto em um número finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos e zeros em C, então N = Z – P.  Z é o número de zeros de F(s) em C, P é o número de pólos de F(s) em C e N é o número de envolvimentos da origem do plano s

32. N = 2 = Z – P Z = 2 + P > 2 Sistema Instável P é o número de pólos da malha aberta G(s)H(s) no semi-plano direito Z é o número de zeros da equação característica que ocorrem no semi-plano direito  Z = 0 para sistemas estáveis Critério de Nyquist

33. O diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerda Ao invés de contar os envolvimentos da origem, são contados os envolvimentos do ponto -1 e a representação obtida é chamada de Diagrama de Nyquist Critério de Nyquist Modificação: Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)

34. Z = no de pólos de MF que ocorrem no semi-plano direito N = no de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário P = no de pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito Critério de Nyquist O percurso de Nyquist é mapeado por meio da função de malha aberta G(s)H(s). Assim, Z = N + P :

35. Exemplo: (I): G(0)H(0) = 5 (III): G(s)H(s) = 0 O trecho (IV) é o complexo conjugado do trecho (II) Resposta em freqüência Critério de Nyquist Z = N + P = 0 + 0 = 0  Sistema em MF estável

36.  Adição de um ganho K na função de MA Sistema em MF estável para: Critério de Nyquist  Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz: K = 1 (Nyquist)  Sistema estável

37. Admitindo que o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1 para algum valor w = w1: ou No exemplo anterior: O sistema é marginalmente estável para K = 8/5 Critério de Nyquist O sistema possui um pólo em s = jw1 (marginalmente estável) e oscila com freqüência w1, desde que os demais pólos localizem-se no semi-plano esquerdo

38. Polinômio auxiliar Linha nula para K = 8/5 Raízes puramente imaginárias: O diagrama de Nyquist intercepta o eixo real negativo em -5/8 Critério de Nyquist

39. Margem de ganho Conclusão: Um aumento de 8/5 no ganho K fará com que o diagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o que torna o sistema marginalmente estável Margem de ganho: fator pelo qual o ganho de malha aberta deve ser alterado de forma a estabelecer um sistema marginalmente estável Medida da Estabilidade Relativa do sistema Critério de Nyquist

40. Z : Pólos de MF no semi- plano direito. Sistemas estáveis em MF  Z = 0 N : Envolvimentos do ponto -1 no sentido horário N < 0 para envolvimentos no sentido anti-horário  Sistema marginalmente estável para intercepto em -1 P : Pólos de MA no semi-plano direito Aplicação do Critério de Nyquist

41. Onde ocorre o cruzamento? Critério de Routh-Hurwitz: adicionar um ganho K na malha aberta Aplicação do Critério de Nyquist Exemplo:

42. Sistema em MF estável para  Se K = 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1 Aplicação do Critério de Nyquist Exemplo:

43. Não há envolvimentos do ponto -1  N = 0 Daí Z = N + P = 0 + 0 = 0  Sistema estável em MF (com K = 1)  Se K = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência w1: Linha s2 do arranjo de Routh Raízes: Aplicação do Critério de Nyquist Exemplo:

44. E o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo no ponto Aplicação do Critério de Nyquist Genericamente:  A partir de 1 + KG(s) = 0, aplica-se o critério de Routh- Hurwitz de forma a encontrar o valor K1 que torna o sistema marginalmente estável  Com base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüência na qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustado para o valor K1  Daí:

45. Quando ocorrem pólos na origem, o percurso de Nyquist deve ser alterado Ocorrência de pólos na origem  O princípio do argumento de Cauchy exige que a função de malha aberta não possua pólos ou zeros no percurso de Nyquist A magnitude de G(s) será muito elevada nos pontos do desvio  representação sem escalas

46. Representação sem escala Ocorrência de pólos na origem Exemplo:  Ocorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horário Logo: Z = N + P = 2 + 0 = 2  o sistema em malha fechada é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)

47. Quantos envolvimentos do ponto -1 ocorrem no diagrama de Nyquist? N = 1 – 1 = 0 envolvimentos Contagem dos envolvimentos Procedimento prático:  Traçar uma linha partindo do ponto -1 em qualquer direção conveniente  O no de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário é igual ao no de cruzamentos desta linha com o diagrama no sentido horário menos o no de cruzamentos que ocorrem no sentido anti-horário

48.  O sistema estável deve possuir uma resposta transitória satisfatória  O modelo matemático utilizado na representação do sistema nunca é exato O modelo pode indicar estabilidade e o sistema físico apresentar instabilidade Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-se garantir permanência da estabilidade por uma margem de segurança Estabilidade Relativa  A estabilidade não é a única preocupação presente no projeto de sistemas de controle:

49. Margem de ganho: Cruzamento em a Definida como o fator 1/a pelo qual o ganho de MA deve ser alterado de modo a tornar o sistema em MF marginalmente estável Estabilidade Relativa  Define-se a estabilidade relativa de um sistema linear em termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquist em relação ao ponto -1 do plano complexo A margem de ganho é geralmente expressa em dB

50. Daí: Estabilidade Relativa Margem de fase: É a magnitude do ângulo mínimo segundo o qual o diagrama de Nyquist deve ser rotacionado para que ocorra o cruzamento com o eixo real negativo no ponto -1