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一、向量组线性关系的判定

习 题 课. 典型例题. 一、向量组线性关系的判定. 二、求向量组的秩. 三、基础解系. 四、相关的证明. 一、向量组线性关系的判定. 研究这类问题一般有两个方法. 方法 1 　从定义出发. 整理得线性方程组. 方法 2 　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 　　　　系判定. 1. 　讨论下列向量组的线性相关性. 解一. 整理得到. 解二. 2. 求向量组. =. -. =. -. -. T. T. (. 1. ,. 1. ,. 0. ,. 0. ),. (. 1. ,. 2. ,. 1. ,. 1.

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一、向量组线性关系的判定

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  1. 习 题 课 典型例题 一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、基础解系 四、相关的证明

  2. 一、向量组线性关系的判定

  3. 研究这类问题一般有两个方法 方法1　从定义出发 整理得线性方程组

  4. 方法2　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 　　　　系判定

  5. 1.　讨论下列向量组的线性相关性 解一

  6. 整理得到

  7. 解二

  8. 2. 求向量组 = - = - - T T ( 1 , 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 2 , 1 , 1 ), a a 1 2 = - = - T T ( 0 , 1 , 1 , 1 ), ( 1 , 3 , 2 , 1 ), a a 3 4 = - T ( 2 , 6 , 4 , 1 ) . a 的秩 5 二、求向量组的秩 解

  9. 三、基础解系 3.用基础解系表示下列方程组的全部解. 解

  10. 所以原方程组等价于 取x3=1, x4=2得x1=0, x2=0 , 取x3=0, x4=19得x1=1, x2=7 , 因此基础解系为 方程组的全部解为 (x1 , x2 , x3 , x4)T =c11 + c22 (c1, c2R).

  11. 解

  12. 于是, 原方程组的通解为 x = c11 + c22 + , 其中 c1 , c2是任意常数.

  13. 4.已知矩阵 的各个列向量都是齐次线性方程组

  14. 的解向量, 问这四个解向量能否构成方程组的基础 解系? 是多了还是少了? 多了如何去掉? 少了如何 补充?

  15. 解 方程组的增广矩阵 B为 初等行变换

  16. 因此方程组的基础解系由 个向量构成. 故矩阵 A的四个列向量不构成基础解系， 在不构成基础解系时是多了. 下面再来求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组.

  17. 初等行变换

  18. 由此可知矩阵 A的秩 所以矩阵A的列向量组的最大无关组由两 个向量构成, 令

  19. 则 线性无关,但方程组的基础解系由 3个向量构成,因此还需补充一个解向量,这个解 向量加到向量组 后所得向量组应线性无 关. 则向量组 令 线性无关, 且都是解向量, 故 它即为所求的基础解系.

  20. 5 .k取何值时, 下列方程组无解? 有唯一解? 或有无穷多解? 在有无穷多解时, 求出其全部 解.

  21. 解 非齐次线性方程组有解的充要条件是， 它的系数矩阵的秩 R(A) 与增广矩阵的秩 R(B) 相 等, 即 R(A) = R(B), 且当 R(A) = R(B) = r < n ( n为未知数的个数) 时, 方组有无穷多解; 当 R(A) = R(B) = r = n时 , 有 下面对方 当 R(A) R(B) 时, 方程组无解. 唯一解; 程组的增广矩阵 B进行初等行变换.

  22. 行变换 当 时, 故此时方程 组有无穷多解. 此时方程组变为:

  23. 其保留方程组为: 解之得通解为: 为任意常数.

  24. 当 时, 对 B继续施行初等行变换得 行变换 行变换 此时, 当 时, 因为 故方程组无解; 而当 时, 有唯一解.

  25. 结论: 原方程组 当 时, 无解; 当 时, 有唯一解; 当 时, 有无穷多解, 其通解为 为任意常数.

  26. 解 非齐次线性方程组有解的充要条件是， 它的系数矩阵的秩 R(A) 与增广矩阵的秩 R(B) 相 等, 即 R(A) = R(B), 且当 R(A) = R(B) = r < n ( n为未知数的个数) 时, 方程组有无穷多解; 当 R(A) = R(B) = r = n时 , 有

  27. 唯一解; 当 R(A) R(B) 时, 方程组无解. 下面对方 程组的增广矩阵 B进行初等行变换. 行变换

  28. 因为系数矩阵 A的秩 且与 k无关, 所以原方程组无唯一解; 因为 所以原方程组无解; 有无穷多解. 当方程组有无穷多解时,其通解分别求解如下:

  29. 原方程组变为 解之得通解为 为任意常数.

  30. 原方程组变为 解之得通解为 为任意常数.

  31. 结论: 原方程组 无唯一解; 无解; 有无穷多解; 其通解为 为任意常数; 其通解为 为任意常数.

  32. 6.已知 Ax = b的三个特解为 (1)求对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的通解; (2) 求 Ax = b的通解; (3) 求满足上述要求的一个非齐次线性方程组.

  33. 解 (1)由已知知方程组 Ax = b是含有 个 且系数行列式 A的秩 变量的方程, 即 所以它对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 由非齐次方程组的 个向量构成. 若 1 , 2为 Ax = b的 解与齐次方程组解的关系: 故可令 解, 则1-2为 Ax = 0 的解.

  34. 则 1 , 2为方程组 Ax = 0 的解,且 1 , 2线性无 关, 所以 1 , 2即为方程组 Ax = 0 的基础解系.

  35. (2)方程组 Ax = b的通解为 (3)因为 所以满足条件的方程组 Ax = b的保留方程组只有1个方程, 设为 则可得方程组

  36. 解之得 d为任意常数. 故所求方程为 所求的一个方程组为

  37. 7.已知三维向量组: 问t为何值时, (1) 可由 1 , 2 , 3线性表示, 且表达式是唯 一的, 并求出表达式. (2) 可由1 , 2 , 3线性表示,但表达式不唯一. (3) 不能由 1 , 2 , 3线性表示.

  38. 解 设   k11 + k22 + k33则可得关于 k1 , k2 , k3的线性方程组

  39. 则本题的三个问题可转化为以下的三个等价问题:则本题的三个问题可转化为以下的三个等价问题: (1)t取何值时, 方程组有唯一解; (2)t取何值时, 方程组有无穷多解; (3)t取何值时, 方程组无解. 方程组的增广矩阵 B为

  40. 对增广矩阵 B进行初等行变换得 行 变 换

  41. 由此可知 (1)当 时, 该方程组有唯 一解, 即  可由 1 , 2 , 3线性表示, 且表达式唯 这时方程组可化简为 一. 解之得

  42. 即 所以此时 时, (2)当 方程组有无穷多解, 即  可由 1 , 2 , 3线性表 示, 但表达式不唯一. (3)当 时, 因为 所以此时方程组 无解, 即  不能由 1 , 2 , 3线性表示.

  43. 四、相关的证明 8.设 A为 mn矩阵, B为 n s矩阵, 若 AB = O, 试证: R(A) + R(B) ≤n. 证明 方程组 Ax=0 的基础解系中恰有 n-R(A) 个线性无关的向量. 由于 AB = O , 故 B的所有列向 量都是 Ax = 0 的解向量, 因此 B的列向量中线性 无关的向量个数不会超过 n- R(A), 此即 R(B) ≤n-R(A), 于是 R(A) + R(B) ≤n .

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