中考数学专题探究

1. 中考数学专题探究 第八讲 实际应用性问题 主 讲 傅文霞 单 位 镇江市江南学校

2. 足球是全世界最热门的运动

3. 足球场上有句顺口溜：“向着球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好！”从数学角度看是何道理？ E F C B A

4. E F C A B

5. 应用题是中考试题的经典试题，解决应用题的思想方法如下：应用题是中考试题的经典试题，解决应用题的思想方法如下： 分析、联想、转化、抽象 实际问题 解答数学问题 建立数学模型

6. 应用性问题的常见模型有： 方程模型 不等式模型 函数模型 统计模型 几何模型

7. 方程（组）型应用题 一般步骤： （1）审：未知量、已知量、相等关系； （2）设：用字母表示未知数(写明单位)； （3）列：列出方程（组）； （4）解：解所列方程（组）； （5）验：检验答案是否符合方程、符合题意 （6）答：写出答案。

8. 例1(08镇江） 5.12汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话： 首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成 的生产任务． 厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生 首长：这样能提前几天完成任务？ 厂长：请首长放心！保证 完成任务！ 根据两人对话，问该厂 ？ 12000顶帐篷 产量比原来多一半． 提前4天 原来每天生产多少顶帐篷

9. 相等关系 现在每天的生产量=原来每天的生产量 1.5原来所用时间—实际所用时间=4 设： 原来每天生产 顶帐篷。 分析： 易错点 12000 12000 _ = 4

10. 解：设该厂原来每天生产 顶帐篷，根据题意得： 解方程得： 经检验： 是原方程的根，且符合题意． 答：该厂原来每天生产1000顶帐篷． 易错点 分式方程不要忘记检验! 若设时间为 天 ， 如何列方程呢？

11. 不等式（组）型应用题 现实世界中不等关系是普遍存在的，有关最佳决策、合理调配、统筹安排等最优化问题，一般可通过对给出的一些数据进行分析、转化、建立不等式模型，再求在约束条件下的不等式的解集．

12. 不等式（组）型应用题 一般步骤： （1）审：未知量、已知量、不等关系； （2）设：用字母表示未知数(写明单位)； （3）列：列出不等式（组）； （4）解：解所列不等式（组）； （5）验：检验答案是否符合不等式、符合题意 （6）答：写出答案.

13. 例2：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供 ；可供 。学校花去捐款 采购这两种帐篷， . （2）学校原计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将所购帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷，如何安排甲、乙两种型号的卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有几种方案？ 3人居住的小帐篷，价格每顶160元 10人居住的大帐篷，价格每顶400元 96000元 正好可供2200人居住 （1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住 的大帐篷；

14. 设：采购了 顶3人小帐篷， 顶10人 住的大帐篷。 分析： 相等关系: 花96000元采购这两种帐篷 正好可供2200人居住 + + = = 2200 96000

15. 解：（1）设该校采购了x顶小帐篷，y顶大帐篷 根据题意得 解这个方程组得 答：该校采购了100顶小帐篷，200顶大帐篷

16. 不等式（组）型应用题 例2：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2200人居住。（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住 的大帐篷； （2）学校原计划租用 将所购帐篷紧急运往灾区，已知 ，如何安排甲、乙两种型号的卡车可 将这批帐篷运往灾区？有几种方案？ 甲、乙两种型号的卡车共20辆 甲型卡车每辆可同时装 运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运 12顶小帐篷和7顶大帐篷 一次性

17. 分析： 不等关系: 甲、乙两种型号的卡车能装走的小帐篷数至少为100顶 甲、乙两种型号的卡车能装走的大帐篷数至少为200顶 设： 安排甲种型号的卡车 辆 + +

18. 解：设甲型卡车安排了辆，则乙型卡车安排了辆解：设甲型卡车安排了辆，则乙型卡车安排了辆 根据题意得 解这个不等式组得15≤a≤17.5 ∵车辆数为正整数 ∴a=15或16或17 ∴20-a =5或4或3 答：略。 注意 不要忘记取整!

19. 函数型应用问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带;它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，在实际问题中，有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想，建立函数模型，转化为函数的最值问题.

20. 函数型应用问题 一般步骤： （1）审：常量、变量、相等关系； （2）设：用两个字母分别表示自变量、因变量； （3）列：列出函数关系式（写出自变量的取值 范围） （4）解：解决函数问题； （5）验：检验答案是否符合函数关系、符合题意 （6）答：写出答案.

21. 例3（08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：例3（08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为：y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。 （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

22. （2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a＜ 4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 求a的取值范围。

23. 95 90 85 不要忘记 验证！ 80 75 x O 6 10 1 2 3 4 5 7 8 9 已知：日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： （1）利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； y 分析：设日销售量为y 件，时间为x天。 易得： 分析

24. 例3（08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：例3（08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。 （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

25. （2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

26. 已知：商品每件成本为20元，未来40天内， 若设日销售量为y 件，时间为x天，则y=-2x+96 分析 前20天：每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数 关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数） ； 后20天：每天的价格y2（元/件）与t时间（天）的 函数关系式为： y2= —1/2t+40（21≤t≤40 且t为整数） 。 求：请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销 售利润是多少？ 分析：日销售总利润=日销售量 (每件的价格-每件成本) 20 W y=-2x+96 y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数） 或y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数)

27. （2）设销售利润为w元， 当t=14， 最大值为 578元. 或 整理得 最大值应在 t=21时取得， 为513元. 或 综上所知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元。 注意 不要忘记分类讨论!

28. （3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a＜ 4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 求a的取值范围。

29. 分析： 日销售总利润=日销售量 (每件的价格-每件成本-a) 20 y=-2x+96 W y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数） 整理得， 则， 解得: 注意 运用数形结合容易理解!

30. 统计型应用问题 统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强，与统计有关的实际问题可建立统计模型，并利用统计的知识加以解决。

31. 统计型应用问题 一般步骤： （1）审：已知量、未知量、量与量关系； （2）列：列式（算式、方程、不等式等） （4）解：解决统计问题； （5）验：检验答案是否符合题意 （6）答：写出答案.

32. 例4（08徐州）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表，请你根据图表信息完成下列各题：例4（08徐州）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表，请你根据图表信息完成下列各题： 50 45 25 本 题 突 破 口 ！ 125元 • 该月小王手机话费共有多少元？ • 扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角为多少度？ • 请将表格补充完整；将条形统计图补充完整. 72°

33. 几何型应用问题 几何型应用问题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题等能力，同时也对学生观察、想像、分析、综合、数形结合等数学思想方法进行考查．

34. 例5： 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶ ；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ． ⑴ 求整修后背水坡面的面积； ⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

35. 分析 E

36. ⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

37. ⑵ 将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 . ∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5 块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， ∴ 选择种草5块、种花4块的方案花费较少 ． 即：需要花费20×5×80＋25×4×80＝16000元 ．

38. 综合应用 老王家一个半径为米的半圆形池塘原来种的是藕，他看到邻居养殖螃蟹发了财，也想在池塘里围一个尽可能大的正方形区域养螃蟹.从邻居处得知蟹苗的放养密度为3只/平方米，这下他犯愁了：得买多少只蟹苗呢？

39. 老王家一个半径为米的半圆形池塘原来种的是藕，他看到邻居养殖螃蟹发了财，他也想在池塘里围一个尽可能大的正方形区域养螃蟹.从邻居处得知蟹苗的放养密度为3只/平方米，这下他犯愁了：得买多少只蟹苗呢？ （1200只） A D C O B

40. 秋天到了，老王看着长大的螃蟹，心里美滋滋的，他想估计螃蟹的总质量.你能帮老王这个忙吗？

41. 老王从池塘中随意捞了20只螃蟹，称得质量分 别如下： (单位：克) 210 240 190 210 320 180 250 220 240 250 300 220 300 240 210 220 160 220 240 240 平均每只质量为______克. 233 请你帮老王估计今年螃蟹总质量（千克）. 233×1200＝279600克 即279.6千克

42. 老王很高兴，盘算着卖螃蟹，由资料得知，从十月一日起的100天内，螃蟹的市场售价y1（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的关系用下图的一条线段表示；螃蟹的养殖成本y2（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的关系是老王很高兴，盘算着卖螃蟹，由资料得知，从十月一日起的100天内，螃蟹的市场售价y1（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的关系用下图的一条线段表示；螃蟹的养殖成本y2（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的关系是 若不考虑其他因素，认定市场售价减去养殖成本为纯收益，那么老王何时出售螃蟹收益最大？ y1 100 80 60 40 20 x O 100 80 20 60 40

43. 小结 在半圆形池塘中围一个 正方形区域养螃蟹 几何型应用问题 估计螃蟹的总质量 统计型应用问题 对螃蟹的收益问题 进行研究 函数型应用问题 本题是一条融几何、统计、函数知识的综合应用问题，很有新意，有现实意义，要求学生根据实际自觉寻找解决问题的数学工具，创建数学模型；培养学生“用数学”的意识。

44. 总结 本节课我们一起回顾了实际应用性问题,通过复习我们进一步体会到数学的应用价值. 近年来，各地中考都加强了应用性问题的考查力度。所呈现的特点为： (1)涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题技巧; (2)涉及的背景材料十分广泛； (3)题面的文字材料较长．

45. 总结 同学们在解题时，要有耐心，仔细阅读，细心领会，找出其考查的内容和知识点，灵活运用相关知识和方法，将实际问题转化为数学模型来解决。