线性系统理论与设计

1. 线性系统理论与设计 控制科学与工程 研究生基础理论课-III

2. §1 §2 §3 §4 § 5 第三章 李亚普诺夫稳定性 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫第二方法的概述 李亚普诺夫稳定性判据 李亚普诺夫稳定性定理 主要内容：

3. §1 外部稳定性和内部稳定性 1)外部稳定性：输入和输出都有界且输出稳定，又称BIBO稳定。 2)结论： ●时变情况 :零初始条件下的线性时变系统，为脉冲响应矩阵， 则BIBO稳定的充要条件： 矩阵的每一个元素 满足 (3-1) K为有限常数

4. §1 外部稳定性和内部稳定性 ●定常情况 :零初始条件下线性定常系统， 为脉冲响应矩阵, G(s)为传递函数矩阵，BIBO稳定的充要条件： 的 每一个元素 满足： (3-2) K为有限常数 或等价的，G(s)为有理真分式矩阵，其每一个元素的所 有极点均有负实部。

5. §1外部稳定性和内部稳定性 或等价的，G(s)为有理真分式矩阵，其每一个元素的所 有极点均有负实部。 3)内部稳定性：线性定常系统中，若u(t)恒为零，初始状态X0 为任意，则X0引起的零输入响应 满足 下面式子： (3-3) 则系统内部稳定。

6. §1外部稳定性和内部稳定性 4) 二者关系：(仅限于线性定常系统)： ●若内部稳定，则BIBO必稳定。 ●若BIBO稳定，内部不一定稳定。 ●若系统能控能观，内部稳定和外部稳定等价。

7. 2-1物理基础 §2 李亚普诺夫第二法的概述 1)稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被 破坏，但在外扰去掉后,它仍有能力自动地在平衡状态状 态下继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。 2)稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反之为不稳定系统。

8. §2 李亚普诺夫第二法的概述 3)系统稳定性的数学表示法 系统在受外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数 值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示为： (3-4) 为系统被调量偏离其平衡位置的大小， 为任意小的规定量。

9. §2李亚普诺夫第二法的概述 4)研究系统稳定性的方法 劳斯—胡尔维茨稳定性判据 古典控制论： 乃奎斯特稳定性判据 第一法 现代控制论：李亚普诺夫稳定性 第二法

10. §2李亚普诺夫第二法的概述 第一法：是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳 定性，或 根据特征方程根的情况来判据稳定性。 第二法：提供了判别所有系统稳定性的方法，在不直接求解的前提 下，通过李氏函数及其对时间的一次导数的定号性，判别系 统平衡状态稳定性的信息。

11. 2-2二次型及其定号性 §2 李亚普诺夫第二法的概述 1)二次型： 定义：n个变量 的二次齐次多项式为： 称为二次型。式中 是二次的系数。

12. §2 李亚普诺夫第二法的概述 设 aik=aki —对称且均为实数。 用矩阵表示二次型 (3-5)

13. §2李亚普诺夫第二法的概述 • 2)定号性 • 正定性：当且仅当 X=0时，才有V(x)=0；对任意非零X，恒有 V(x)＞0，则V(x)为正定。 • 负定性：当且仅当X=0时，才有V(x)=0；对任意非零X,有 V(x) ＜0则V(x)为负定。 2)定号性 ●正定性：当且仅当 X=0时，才有V(x)=0；对任意非零X，恒 有V(x)＞0，则V(x)为正定。 ●负定性：当且仅当X=0时，才有V(x)=0；对任意非零X,有 V(x) ＜0则V(x)为负定。

14. §2李亚普诺夫第二法的概述 ●正半定性和负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0 , 则V(X)为正半定或准正定。 如果对任意X≠0，恒有V(x)≤0 , 则V(X)为负半定或准负定。 ●不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负 值，则V(X)为不定。

15. 2-3 赛尔维斯特准则 §2李亚普诺夫第二法的概述 1）二次型 或对称矩阵P为正定的充分条件是P的主子 行列式均为正，即 如果 则P为正定，即V(X)正定。

16. §2李亚普诺夫第二法的概述 2）二次型 或对称阵P为负定的充要条件是P的主子行 列式满足 ；（ i为偶数）i=1，2，3，…,n。

17. 3-1 平衡状态 §3 李亚普诺夫稳定性判据 3-1 平衡状态 3-1 平衡状 3-1 平衡状态 3-1 平衡状态 ，X为n维状态向量。 系统一般描述： 平衡状态：在任意时内都能满足 时，称Xe为系 统的平衡状态或平衡点。 对于线性定常系统 (3-6)

18. §3李亚普诺夫稳定性判据 A为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异时，系统有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 对任意 Xe≠0，总可引入一个新状态，经过一定的坐标变换，把 它化到坐标原点（即零状态）。

19. §3李亚普诺夫稳定性判据 3-2李亚普诺夫意义下的稳定 3-2李亚普诺夫意义下的稳定 3-2李亚普诺夫意义下的稳定 3-2李亚普诺夫意义下的稳定 系统状态方程为 (3-7) 设u(t)=0，且系统的平衡状态为 Xe，f(Xe(t))=0。有扰动使系统在t=t0时的状态为X0，产生初始偏差X0-Xe，则t≥t0后，系统的运动状态从X0开始随时间发生变化。 表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态Xe为中心 的闭环域 里。其中

20. §3李亚普诺夫稳定性判据 表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状 态 Xe为中心的闭环域 里 1)稳定性定义： ●稳定与一致稳定 ●渐近稳定和一致渐近稳定 ●大范围渐近稳定 ●不稳定

21. §3李亚普诺夫稳定性判据 2)稳定的几何意义 稳定 渐近稳定 不稳定 图3-1 稳定的几何意义

22. §4李亚普诺夫稳定性定理 定理1：设系统的状态方程为 (3-8) 式中 ，如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件：

23. §4李亚普诺夫稳定性定理 是正定的。 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 如果随着 ，有 ，则原点处的平衡状态是 大范围内渐近稳定的。

24. §4李亚普诺夫稳定性定理 例4-1 设系统方程为 解：1）平衡状态 求 解 ， 得 是给定系统唯一的平衡状态。 试确定其平衡状态的稳定性。

25. §4李亚普诺夫稳定性定理 2）选取李氏函数 选 显然 正定的。 负定的。

26. §4李亚普诺夫稳定性定理 所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 又 即 有 则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

27. §4李亚普诺夫稳定性定理 定理2：设系统的状态方程为 式中：f(0,t)=0,(t≥t0)，如果存在一标量函数 V(X,t)它 具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： (3-9) 是正定 是负定 对任意 t0和任意 x≠0 在 t≥t0 时不恒等于零。

28. §4李亚普诺夫稳定性定理 则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还 有‖X‖→∞ V(X,t) →∞时，则为大范围渐近稳定的。 式中 ,表示 t=t0时，从x0出发的解轨迹。

29. §4李亚普诺夫稳定性定理 例4-2 设系统方程为 确定系统平衡状态的稳定性 解：1）求平衡状态 原点（0,0）为给定系统唯一的平衡状态。

30. §4李亚普诺夫稳定性定理 2）选李氏函数，选 负半定。

31. §4李亚普诺夫稳定性定理 讨论： 的定号性，即是否恒为零。 如果 恒为零，势必 时， 恒为零，而 恒为零，又必要 恒为零。 而又 不可能恒为零 因此有 不可能恒为零 系统原定处的平衡状态是渐近稳定的。

32. §4李亚普诺夫稳定性定理 又由于 ，有 系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 若选 正定。 负定。 而 ， 系统在平衡状态（0，0）是大范围渐近稳定。

33. 是正定的； 在某一 值恒为零。 §4李亚普诺夫稳定性定理 定理3：设系统方程为 (3-10) 式中 f(0,t)=0,(t≥t0)，如果存在一个标量函数V(x,t) ,它具有 连续的一阶偏导数，且满足下列条件 是正定的 是负半定的，但在某一 X值恒为零。

34. §4李亚普诺夫稳定性定理 则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定 义下稳定的，但 非渐近稳定，这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。 例4-3 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。

35. §4李亚普诺夫稳定性定理 解： 原点为平衡状态，选取李氏函数 在任意x 值上均可保持为零，则系统在原点处是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。

36. §4 李亚普诺夫稳定性定理 定理4：设系统状态方程为 (3-11) 式中 f(0,t)=0,(t≥t0)如果存在一个标量函数V(x,t)，它具有连续的一阶 偏函数，且满足下列条件 在原点的某一领域内是正定的， 在同样的领域内是正定的，

37. §4 李亚普诺夫稳定性定理 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 例4-4 已知系统的状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性。

38. 选取李氏函数为 可知 为正定，且 ，则 §4李亚普诺夫稳定性定理 解： 易知原点为系统的唯一平衡状态， 所以系统在原点的平衡状态不稳定。

39. 5-1线性定常连续系统的稳定性分析 §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 析 分析：设线性定常系统为 (3-12) 式中：X-n维状态向量，A- n×n阵，假设为非奇异，判定系统稳定性。主要取决自由响应。平衡状态，由方程知,x=0(原点)，

40. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 对（5-1）式确定的系统，若选如下正定无限大V函数 (3-13） P—正定赫米特距阵（复空间内二次型，如A是一个实向量，则可取正定实对称距阵)。

41. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 的导数为 如果系统为大范围渐近稳定，则要求 负定。即 为负定。 (3-14)

42. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 式中,在已知P是正定条件下,寻找满足 条件的 赫米特矩阵（或实对称矩阵）Q是正定的，则系统（5-1)在原点处的平衡点，是大范围渐近稳定的。 （3-15）

43. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 定理:设系统状态方程为 (3-16) 式中, X是n 维状态向量，A是n×n常系数矩阵,且是非奇异。若给定一个正定的赫米特矩阵(包括实对称矩阵)Q ,存在一个正定的赫米特矩阵(或实对称矩阵)P，

44. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 使得满足如下矩阵方程 则系统在x=0处的平衡状态是大范围渐近稳定的，而标量函数 就是李氏函数。 (3-17)

45. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 设系统的状态方程为 例5-1 适用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性。 解：平衡状态：X=0是系统唯一的平衡状态。令：

46. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 代入 即

47. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 将此矩阵方程展开，可得联立方程组： 由此方程组解出矩阵p为

48. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 用塞尔维斯特准则检验矩阵p的正定性： 由此可知矩阵p是正定的。

49. §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 系统在平衡状态 Xe=0是大范围渐近稳定的，而系统的李氏函数及其沿轨迹对时间t的导数分别为

50. 5-2线性时变系统稳定性分析 §5线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 定理：若系统 的矩阵A是t的函数（即时变函数）， 则系统在平衡点Xe=0处是大范围内渐近稳定的充要条件为：对 于任意给定连续对称正定矩阵Q(t) ,存在一个连续对称正定矩 阵P(t)使得 (3-18)