1 / 30

Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie

Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie. Matematikbiennalen 2014 Hans Thunberg thunberg@math.kth.se. Per Nørgård. Dansk tonsättare , född 1932 En av de ledande i Norden i sin generation Nordiska rådets musikpris 1974 Sibeliuspriset 2006 Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012.

shawna
Download Presentation

Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematiken iPer Nørgårdsoändlighetsserie Matematikbiennalen 2014 Hans Thunberg thunberg@math.kth.se

  2. Per Nørgård • Dansk tonsättare , född 1932 • En av de ledande i Norden i sin generation • Nordiska rådets musikpris 1974 • Sibeliuspriset 2006 • Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012 Oändlighetsserienen metod att generera melodier- med överflöd på symmetrier och fraktal struktur- med i princip oändlig utsträckning utan exakt upprepning

  3. Konstruktion av en oändlighetsserie - Välj ett tonförråd (”skala”)t ex stamtonerna (”de vita tangenterna”) - Välj två inledande toner Nørgårds algoritm gör resten …..

  4. Nørgårds algoritm + 1 - 1 + 1 -2 + 2 - 2

  5. Nørgårds algoritm, forts. + 3 + 3 -3 - 1 - 1 + 1 Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg

  6. + 13 + 13 - 13

  7. Enkel formel – Rika egenskaper • Nya lägsta och högsta toner efter steg • Innehåller oändligt många transponerade kopior av sig själv i långsammare tempo • Innehåller oändligt många spegelvända (”upp-och-nervända”) transponerade kopior av sig själv • Har fraktal struktur

  8. Nya lägsta och högsta toner efter steg:

  9. Var fjärde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin

  10. Var annan ton med start från andra tonen ger melodin transponerad - 1 + 5 - 2 + 1 - 2 + 3 - 1 - 5 + 2 + 1 - 3 + 1 + 2 - 1 Var annan ton ger melodin spegelvänd (”upp-och-ner”)

  11. Var 8:e ton med start från den sjunde ger en transponerad spegelbildVar 8:e ton med start från den åttonde ger ett transponat osv

  12. Klipp-och-Klistra Egenskapen

  13. ?

  14. Modell: Nørgårdföljder Talföljd , , , … } Välj begynnelsevärden och Välj två inledande toner för ges av där Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg

  15. Exempel Välj t ex där osv …

  16. Om är en Nørgårdföljd gäller Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med Sats 2. Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av . Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av .Sats 3. Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.

  17. Modelltest ger 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, … Succesiva min och max: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, … Translat och translaterade speglingar: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, 1, -1, 3, -3, -1, 1, 5 -5, 3 -3, 1, -1, -3, 3, 7, -7, … 3, 5, 1, 7, 5, 3, -1, 9, 1, 7, 3, 5, 7, 1, -3, 11, … 5, 7, 3, 9, 7, 5, 1, … -3, -5, -1, -7, … Klipp-och-klistra: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7 3, 1, 7, -3, -7, 11, …

  18. Börja med specialfall (det enklaste!) osv …

  19. Påstående 1: Påstående 2: Bevis: , . Om Påstående 1 är sant för fås Påstående 2 bevisa på motsvarande sätt.

  20. En ekvivalent men enklare modell … ,

  21. , ,

  22. Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med Bevis:

  23. Sats 3. Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen. Bevis Induktion i det stora trädet …

  24. Bevis sats 3, steg I: Nästan alla likheter ärvs från raden ovanför

  25. Bevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid två nya positioner - trädklättring

  26. Sats 2. (i) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av . (ii) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av . Bevis: Induktivt bevis genom att använda rekursionsformlerna. Observera att för följer (i) ur , vilket också direkt ger att

  27. Generalisera till det generella fallet Om är den Nørgårdföljd som ges av och är en godtycklig Nørgårdföljd gäller att . (följer av att rekursionsekvationerna är linjära) Sats 1 - 3 gäller därmed för varje Nørgårdföljd.

  28. Thue-Morse följden Om istället där fås med den s k Thue-Morse följden 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 ….. … B B A A B A …

  29. Tack för er uppmärksamhet!

More Related