數位訊號處理

1. 數位訊號處理 第六章　有限脈衝響應濾波器的頻率響應 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

2. 第六章：有限脈衝響應濾波器的頻率響應 • 本章要介紹線性非時變（LTI）有限脈衝響應濾波器的頻率響應（frequency response） • 說明頻率響應與脈衝響應之間獨特的關係 • 當線性非時變系統的輸入是一個複正弦訊號時，相應的輸出訊號是另一個與輸入訊號頻率完全相同但具有不同大小和相位的複正弦訊號 • 頻率響應可以充分表示線性非時變系統 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

3. 有限脈衝響應系統的正弦響應 • 考慮有限脈衝響應系統： • 一個弧度頻率  的複數指數訊號： • 輸入是一個標準弧度頻率 的複數指數訊號： • 相應的輸出： 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

4. 頻率響應 • 定義系統的頻率響應函數（frequency-response function），簡稱為頻率響應（ frequency response）為 • 頻率響應描述線性非時變系統對一個任意頻率 的複數指數訊號的響應 • 有限脈衝響應（FIR）系統的頻率響應一般表示為 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

5. 振幅響應和相位響應 • 一個線性非時變系統的頻率響應可以表示為 • 考慮輸入訊號 • LTI 系統的輸出訊號為 • 稱為振幅響應（amplitude response） • 改變輸入訊號以控制輸出訊號的大小，也稱為系統的增益（gain） • 稱為相位響應（phase response） • 改變輸入訊號的相位，在輸出訊號產生了增加的相位移 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

6. 頻率響應的範例 • 例題 6.1：頻率響應方程式 • 考慮一個差分方程係數為 {bk} = {1, 2, 1}的 LTI 系統，有 • 振幅為，相位為 • 例題 6.2：複數指數輸入 • 考慮複數指數輸入 • ， • 系統輸出為 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

7. 累加和頻率響應 • 若輸入是複數指數訊號之和，由累加（重疊）原理可得一個線性非時變系統的輸出 • 若輸入一特定標準化頻率 的餘弦波加上一個直流項 • 由重疊原理可得 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

8. 例題 6.3：餘弦輸入 • 對於具有係數 {bk} = {1, 2, 1}的有限脈衝響應，輸入為 • 由例題6.1，系統的頻率響應為： • 振幅為 ，相位為 • 輸出為 • 例題 6.4：三個正弦輸入 • 當輸入為 • 頻譜成分在頻率 0， /3，7/8 處，計算 有 ， ， • 輸出為 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

9. 穩態和暫態響應 • 已知當一個線性非時變有限脈衝響應系統的輸入是 則其相應的輸出為： 其中 • 上述成立的條件： x[n]為一個存在於整個區間  < n < 的複數指數訊號 • 當 x[n] 不符合條件， 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

10. 穩態和暫態響應 • 考慮一個“驟現”複數指數訊號 • 相應的輸出是 • 當 0  n < M， 稱為暫態（transient state）輸出 • 當 M n， 稱為穩態（steady state）輸出 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

11. 例題 6.5：穩態輸出 • 考慮係數是序列 {bk} = {1, 2, 4 , 2 , 1} 的濾波器 • 系統的頻率響應為 • 如果輸入是驟現餘弦訊號 • M = 4，穩態輸出為： 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

12. 頻率響應與性質 • 脈衝響應與差分方程式的關係 • 可直接由濾波器係數 {bk} 來計算 • 也可直接由 FIR 系統的脈衝響應來計算 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

13. 時域和頻域之間的轉換 • 例題 6.6： • 考慮有限脈衝響應濾波器：h[n] = [n] + 3[n1]  [n2] • 濾波器的係數是 {bk} = {1, 3 , 1} • 脈衝響應的差分方程式為 y[n] = x[n] + 3x[n1]  x[n2] • 系統的頻率響應為 • 例題 6.7：由 得到差分方程式 • 頻率響應為 • 因為 • 差分方程式為 y[n] = x[n] + 3x[n1]  x[n2] 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

14. 的週期性 • 離散時間線性非時變系統的頻率響應 是一個以 2為週期的週期函數 • 對於任意頻率 ，將 代入 • 只要在一個 2 週期的範圍內，通常以 ，來規定系統的頻率響應 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

15. 共軛對稱性 • 頻率響應 是複數，其大小和相位具有對稱性，允許以半個週期表示 • 共軛對稱性（conjugate symmetry） • 當係數 {bk}都是實數，則 • 振幅函數是 的偶函數 • 相位函數是 的奇函數 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

16. 頻率響應的圖像表示 • 線性非時變系統的頻率響應通常隨訊號頻率而變化，不同頻率的正弦訊號將被系統做不同的處理 • 如果適當選擇係數 bk ，就可以實現各種不同的頻率響應形狀 • 頻率響應的頻譜圖（spectrum）可看出系統如何對待不同頻率的複數指數訊號和正弦訊號 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

17. 延遲系統 • 延遲系統是一個簡單的有限脈衝響應濾波器，其差分方程式為 y[n] = x[n  n0] • 其頻率響應為 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

18. 一階差分系統 • 考慮一階差分系統： y[n] = x[n]  x[n  1] • 此線性非時變系統的頻率響應是： 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

19. 簡單的低通濾波器 • 系統的頻率響應： • 輸入 ： • 輸出： 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

20. 串接的線性非時變系統 • 兩個 LTI 系統以串聯方式連接，整個系統的脈衝響應是兩個系統脈衝響應的摺積： • 令 • 同理 • 串聯系統的頻率響應 y1[n] x[n] w[n] LTI#1 h1[n] LTI #2 h2[n] [n] h1[n] h1[n]＊h2[n] y2[n] x[n] v[n] LTI #2 h2[n] LTI #1 h1[n] h2[n]＊h1[n] [n] h2[n] x[n] y[n] 等效 LTI h[n] = h1[n]＊h2[n] [n] h1[n]＊h2[n] 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

21. 移動平均濾波 • Ｌ點移動平均器的定義如下： • 頻率響應為： • 由幾何級數求和公式 • 函數 　　　　為 Dirichlet函數 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

22. 移動平均頻譜圖 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

23. 大小和相位的串接 • Ｌ點移動平均器的頻率響應可表示為兩個系統串聯 • 為線性相位，對應於 (L1)/2個取樣延遲 • 主要改變振幅的低通濾波器 延遲 Dirichlet x[n] w[n] y[n] 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

24. 實驗：平滑影像 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

25. 實驗：平滑影像 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

26. 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

27. 對取樣的連續時間訊號濾波 • 離散時間濾波器可對取樣連續時間訊號進行濾波 • 考慮輸入複數正弦訊號： ，其中 • 取樣的離散時間訊號為 • 離散時間頻率 與連續時間頻率 和 f 之間的關係是： • 如果連續時間訊號的頻率滿足取樣定理，即 ，則沒有疊頻且正規化離散時間頻率將滿足 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

28. 系統的頻率響應 • 輸出序列為 • 將 代入，根據類比頻率  將 y[n]改寫為 • 因為沒有疊頻，理想的D/C轉換器完整重建原來的訊號： • 整個系統就如同是一個頻率響應為 的線性非時變連續時間系統 • 離散時間系統可對連續時間訊號實現LTI濾波處理 • 改變取樣週期 Ts（以避免頻疊）取得新的系統 • 固定取樣週期，變化離散時間改變系統整個響應 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

29. 低通平均器 • 用11點移動平均器 做為離散時間系統 • 系統響應為： • 取樣頻率 fs = 1000 Hz 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

30. 低通平均器 • 什麼是相等的類比頻率響應？ • 訊號 x(t) = cos(2(25)t) + sin(2(250)t)將如何被此系統處理？ • 頻率有 2(25) 和 2(250)，因 fs = 1000 > 2(250) > 2(25)，所以沒有疊頻 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

31. 對延遲的解釋 • 的頻率響應意指 n0個取樣的時間延遲 • n0是整數時，輸入 x[n]對應的輸出是 y[n] = x[n n0] • n0不是整數時  非整數延遲（noninteger delay） • 以Ｌ點移動平均系統說明： • Ｌ點移動平均器包含(L1)/2個取樣延遲 • 假定理想的C/D轉換器的輸入是 x(t) = Xe jt且沒有頻疊 • 取樣輸入為 ，其中 • Ｌ點移動平均器的輸出是： • 若 < /Ts，理想D/C轉換器重建訊號為： 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

32. 移動平均濾波圖解 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應

33. 有限脈衝響應濾波器的時間延遲 6. 有限脈衝響應濾波器的頻率響應