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第二章 关系与序关系

第二章 关系与序关系. 关系的概念 关系的表示 关系的性质 等价关系 关系的运算 偏序关系. 2.1 关系的概念. [ 例 ] 设 A={Alice,Bob,Tom}, B={Algebra,Graphs, Sets} Alice 选修了 Graphs, Bob 选修了 Algebra, Graph 和 Sets; Tom 选修了 Algebra,Graphs;

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第二章 关系与序关系

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  1. 第二章 关系与序关系 • 关系的概念 • 关系的表示 • 关系的性质 • 等价关系 • 关系的运算 • 偏序关系

  2. 2.1 关系的概念 [例]设A={Alice,Bob,Tom}, B={Algebra,Graphs, Sets} Alice选修了Graphs, Bob选修了Algebra, Graph和Sets; Tom选修了Algebra,Graphs; R={<Alice,Graphs>,<Bob,Algebra>,<Bob,Graphs>,<Bob,Sets>,<Tom,Algrbra>,<Tom,Graphs> }  AB, 表示了学生集合A与课程集合B之间的选修关系。

  3. 2.1 关系的概念 [二元关系的一般性描述]一对对象之间的关系称为二元关系。 [例]teachers={a,b,c}，students={x,y,z} 建立教学关系 T: aTx iff a TEACHING x 用序偶集合表示为： T = {<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,y>,<c,z>} T  teachers  students 图示为：

  4. 2.1 关系的概念 [例]Subroutines={a,b,c,d,e} 子程序间调用关系 图示为： Calling={<a,a>,<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<c,c>, <c,e>, <d,d>} Calling  Subroutines  Subroutines

  5. 2.1 关系的概念 [二元关系的集合定义]设X,Y是两个集合， X  Y的任何一个子集R 都确定了一种二元关系，称为从X到Y的二元关系。 • <x,y>R可记为 xRy，显然 R  X  Y <x,y>R可记为 xRy • 当 X=Y 即 X 与 Y 同一时，称 R 为 X 上的一个二元关系。

  6. 2.1 关系的概念 [例] F={<x,y>| x是y的父亲} S={<x,y>| x,y为正整数且x可整除y} T={<y2,y>| y为实数} • 对上述的：x，y，R，有<x,y>R 或<x,y>R，二者必居其一。

  7. 2.1 关系的概念 [定义域] 设二元关系S。由 <x,y>S的所有对象 x 组成的集合称为S的定义域，记为Dom(S) 。 [值域] 由<x,y>S的所有对象 y 组成的集合称为S的值域，记为Ran(S) (Range(S))。记 F(S) = D(S)  R(S) ，称为 S 的域。 • 描述：Dom(S) = {x| (y)(<x,y>S)} Ran(S) = {y| (x)(<x,y>S)}

  8. 2.1 关系的概念 • 若干特殊关系： ① X 到Y 的全域关系： Ex,y = XY 特别地：Ex,x = XX ② 空关系： ③ 恒等关系：Ix = {<xi,xi>|xiX} [例] 设 X={1,2,3,4}，求 X 上的关系 “ > ”(大于)及其定义域、值域。

  9. <xi,yj>R • 0 其它 MR=[mij]mn， mij= 2.2 关系的表示方法 (1) 集合表示法 借用集合的各种描述方法对表示关系的序偶集合进行描述 (2) 关系矩阵 设 X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，m,n <+ R是X到Y的二元关系。构造矩阵

  10. 2.2 关系的表示方法 [例] 非0行对应元素构成 D(S) 非0列对应元素构成 R(S)

  11. 2.2 关系的表示方法 (3) 关系图表示法 用结点表示X、Y上的元素；若 <x,y>R 则从结点x到结点y画一条弧。 [例] 上述Teaching关系的关系图：

  12. 2.2 关系的表示方法 [例] 设 X={1,2,3,4}，X 上的关系 “ > ”：

  13. 2.3 关系的性质 [定义] 设R是X上的二元关系，则： ① R 是自反的(x)(xXxRx) ② R 是对称的(x)(y)(x,yXxRyyRx) ③ R 是传递的(x)(y)(z)(x,y,zXxRyyRz xRz) ④ R 是反自反的(x)(xX¬(xRx)) ⑤ R 是反对称的(x)(y)(x,yXxRyyRx x = y)

  14. 2.3 关系的性质 [例] 整数集合上的若干关系及其性质 • 判定关系“＜”的反对称性的前提条件总为F, 反对称性成立。

  15. 2.3 关系的性质 • 从关系矩阵和关系图看关系的性质： • R是自反的：MR的对角元均为1； 关系图为自环图。 • R是对称的：MR为对称矩阵； 关系图中弧成对出现。 • R是反自反的：MR的对角元均为0； 关系图为无自环图。 • R是反对称的：MR为反对称矩阵； 关系图中只出现单向弧。

  16. 2.3 关系的性质 • 存在着既非自反也非反自反的关系，如： • 存在着既对称又反对称的关系，如：

  17. 2.3 关系的性质 • 存在着既非对称又非反对称的关系，如：

  18. 2.4 集合的划分与覆盖 [定义] 给定集合S，A={A1,A2,…,An}，AiS，i=1..n。 ② 若①成立且AiAj = (若ij)，则说A是S的一个 划分，并称 A1,A2,…,An为此划分的块。

  19. 2.4 集合的划分与覆盖 [例]N={0,1,2,3,4,……} 自然数集合。 取 A0={0,6,12,18,……} A1={1,7,13,19,……} A2={2,8,14,20,……} …… A5={5,11,17,23,……} 则 A={A0， A1， A2， A3， A4， A5}是N的一个划分。

  20. 2.4 集合的划分与覆盖 [例]S={a,b,c} 取 A = {{a},{b},{c}} B = {{a,b},{c}} C = {{a,b,c}} 均构成对S的划分。 显然有 |A| > |B| > |C| 可以将 A 称为最大划分；将 C 称为最小划分。

  21. 2.5 等价关系 [等价关系]集合X上的关系R若具有自反性、对称性和传递性，则称R为X上的一个等价关系。 [例]N上的模6同余关系 R={<x,y>|x,yN  (xy)=6L，L为整数} 自反性： 对称性： 传递性：

  22. 2.5 等价关系 [定理] N上的模m同余关系是等价关系。 [证明] 自反性： xx = 0，故 xx = mL，这里L=0。 对称性：设 xRy即 xy=mL，L为整数 则 yx= mL，故 yRx。 传递性：设 xRy且 yRz，即 xy=mL1，yz=mL2 ，L1、L2为整数 则 xz = mL1+mL2=m(L1+L2) 故 xRz

  23. 2.5 等价关系 [等价类]设R为X上的一个等价关系，对任何xX，所有与x有关系R的元素的集合，称为X上由x生成的R–等价类。记为 [x]R。 [x]R={y|yX  xRy} [例]X={1,2,3,4,5,6,7}，R为X上的模3同余关系。 则 [1]R={1,4,7}，[2]R={2,5}，[3]R={3,6}

  24. 2.5 等价关系 [性质] 设R为X上的一个等价关系，则 ①X中的任何一个元素，至少属于一个等价类。 ② 若x,yX，则x,y或属同一等价类，或属两个不同等价类但此两个不同等价类的交集为（不相交）。 [证明]

  25. 2.5 等价关系 [结论] 对X上的等价关系R， ①任意xX属于且只属于一个等价类； ②若xRy，则[x]R = [y]R ，否则 [x]R [y]R = 。

  26. 2.5 等价关系 [定理]集合X上的一个等价关系R产生对此集合的一个划分，该划分的块对应于R的等价类。 [证明] 由上述结论得到。 • 将该划分记作：X/R={[x]R|xX}

  27. 2.5 等价关系 [定理] X上的任意划分均可确定一个等价关系。 [证明] 设X上的一个划分为 A={A1, A2,…, An}，定义 R={<x,y>|x,yX(Ai)(AiAxAiyAi)} 可以证明R具有 自反性： 对称性： 传递性：

  28. 2.5 等价关系 [问题] • X上由不同方法定义的等价关系R1、R2，若产生的等价类相同，则R1=R2。 • 不等价关系也能产生划分。

  29. 2.6 相容关系 [相容关系]X上的二元关系R，若R是自反的、对称的，则称R为X上的一个相容关系，记作  。 [例]X={2661,243,315,648,455} R={<x,y>|x,yX，x与y至少含有一个相同数字} 容易看出，R具有自反性、对称性。 R不具有传递性： 如 <2661,243>,<243,455>R 但 <2661,455>R 因此R不是等价关系，R是一个相容关系。

  30. 2.6 相容关系 [相容类]设 A X， 是X上的一个相容关系。称A是X上的一个相容类当且仅当A中任二元素相容。即 (x)(y)(x,yAxy)。 [最大相容类]设 A是X上的一个相容类，若X-A中不存在与A中所有元素相容的元素，则称A为X的一个最大相容类。 • 最大相容类不一定是含有最多元素个数的相容类 • 在相容关系的关系图中，最大相容类对应于一个最大完全子图。

  31. 2.6 相容关系 例如，在上图表示的相容关系中，最大相容类为: {a, b, d , f}, {d, c ,f}, {d, e}, {g} [问题]相容类与覆盖的关系。

  32. 2.7 关系的运算 (1) 关系的一般运算 [定义]设 R、S是X到Y的二元关系，定义运算如下： RS={<x,y>|xRyxSy} RS={<x,y>|xRyxSy} RS={<x,y>|xRyxSy} ~R=XYR

  33. 2.7 关系的运算 (2)关系的复合运算 [复合关系]设二元关系R:XY，S:YZ，则称 R  S={<x,z>|xXzZ(y)(yYxRyySz)} 为R和S的(右)复合关系，或(右)复合运算结果。 • 注意关系的复合运算定义中的右复合和左复合给出的构造定义不同：右复合 R  S 中右边的S在R之后进行第二步复合构造。在函数理论中，与右复合函数 S*R对应：S*R = R  S 即 S*R(x)=S(R(x))

  34. 2.7 关系的运算 [例]X={x1, x2, x3}，Y={y1, y2, y3, y4}，Z={z1, z2, z3} R={<x1,y1>,<x2,y3>,<x2,y4>} S= {<y1,z3>,<y2,z1>,<y4,z2>} R  S={<x1,z3>,<x2,z2>} • 显然有：Dom(R  S)  Dom(R) • Ran (R  S)  Ran(S)

  35. 2.7 关系的运算 • 关系的复合运算没有交换律。 [定理]关系复合运算的结合律：设二元关系 R：XY，S：YZ， P：ZW， 则有 (R  S) P=R (S P) [证明]

  36. 2.7 关系的运算 [定理]关系复合运算与一般运算的结合律：设二元关系R1：XY， R2, R3 ：YZ， R4：ZW，则有 • R1 (R2R3)=(R1 R2)(R1 R3) • R1(R2R3)(R1R2)(R1R3) • (R2R3)R4 =(R2R4)(R3R4) • (R2R3)R4 (R2R4)(R3R4) [证明]按照定义转换为逻辑运算，证明逻辑等值式。

  37. 2.7 关系的运算 [关系的幂运算] 设R为X上的二元关系，RR…R 记为Rn，规定 Rn=Rn1R，R0=IX

  38. 2.7 关系的运算 (3) 关系的逆运算 [逆关系]设二元关系 R：XY，定义 R-1={<y,x>|xXyY<x,y>R} 为R的逆关系。 [性质] • (R-1)-1 =R，-1 =  • (RS)-1 = R-1S-1，(RS)-1 = R-1S-1 • (~R)-1 = ~ (R-1) • (RS)-1 =S-1R-1 • R=S  R-1=S-1 RS  R-1S-1

  39. 2.7 关系的运算 [问题] 设Ａ上关系Ｒ，Ｓ的关系矩阵分别为 ＭR, MS, 试求ＲＳ的关系矩阵。

  40. 2.7 关系的运算 (4) 关系的闭包运算 [闭包]设R为X上的二元关系，若另有一关系R ，满足： ①R 是自反的（对称/传递）； ②R  R ； ③ 对于任何自反（对称/传递）的关系R，若 R  R ，则R  R  。 则称 R为R的自反（对称/传递）闭包，记为r(R) (s(R) / t(R))。

  41. 2.7 关系的运算 [例] 整数集上的“＜ ”关系的自反闭包是“≤”，对称闭包是“≠”，传递闭包仍然是“＜ ”。 [例] 整数“= ”的自反、对称、传递闭包都是它本身。 [例] 有关系矩阵 求 Mr (R) 、 Ms (R) 、 Mt (R)

  42. 2.7 关系的运算

  43. 2.7 关系的运算 [定理] 设R为X上的二元关系，则 ① r(R) = RIx ② s(R) = RR-1 [证明]　

  44. 2.8 偏序关系 [偏序关系]集合A上的一个关系R满足自反性、反对称性和传递性时，称R是A上的一个偏序关系，记为“  ”，用二元组〈A,  〉表示该偏序结构，或称之为偏序集。 [例]A={2,3,6,8}, “  ”={<x,y>|x,yA (x整除y)} “  ”= {…….. } 容易验证，上述关系为偏序关系。

  45. 2.8 偏序关系 • x、y之间存在偏序关系时，说 x、y（在该关系下）可比较，否则说 x、y不可比较。上例中，2和3不可比较（在上述定义的“  ”下）。 [盖住]盖住（紧邻遮盖）。设〈A,  〉，x，yA， y盖住x  xyxy(z)((xzzy)(x=zy=z)) 记 covA={<x,y>|x,yA(y盖住x)}

  46. 2.8 偏序关系 • 表达偏序关系的 Hasse图 设有偏序关系 <A,  > ① 用结点表示集合元素 ② 若<x,y>  covA，则用线段连接结点x,y，且令x(小者)在y的下方。

  47. b c a Hasse Diagram 2.8 偏序关系 [例]　集合A= {a,b,c}上的偏序关系为： {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,c>,<c,b>,<a,b>} covA ＝{<a,c>,<c,b>} Hasse图如右图 ①默认aa, bb, cc　自反性　 ②ac, cb ③ab　传递性　

  48. b b c a c 关系图 a Hasse Diagram 2.8 偏序关系 • 上述Hasse图表示的对应关系集合为： {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,c>,<c,b>,<a,b>} 对应关系图如下：

  49. c d b b a a c Hasse Diagram d 关系图 2.8 偏序关系 [例] 由偏序关系的关系图构造相应的Hasse图

  50. 24 36 12 6 3 2 Hasse Diagram 2.8 偏序关系 [例] {2,3,6,12,24,36}上的整除关系的Hasse图。

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