ハドロン

物質の 究極構造 b 崩壊 b 崩壊弱い相互作用 p e 　　は反粒子 n ne W- 原子レプトンニュートリノ nt ne nm 中間子タウ電子ミュー原子核 t m e ハドロンクォーク t u c 中性子 n 陽子 p =udd =uud b d s ゲージボソンウィークボソングルオン光子 g Ga W± Z0 電磁相互作用を媒介強い相互作用を媒介弱い相互作用を媒介基本粒子

場の量子論番号時空座標基本粒子の従う基本法則は何か? 力学変数: 場 = 時空座標はパラメタレプトンニュートリノ nt ne nm タウ電子ミュー t m e クォーク t u c b d s 量子論ウィークボソングルオン光子 g Ga W± Z0 基本場電磁相互作用を媒介強い相互作用を媒介弱い相互作用を媒介 = 基本粒子

場の量子論番号時空座標基本粒子の従う基本法則は何か? 力学変数: 場 = 時空座標量子論の枠組みはパラメタ状態空間力学運動方程式法則どう決める? 力学変数は演算子交換関係の代数 Lagrangian 運動方程式正準共役運動量正準交換関係 :力学変数 Lagrangian 対称性簡単な形局所性を決める基準力学変数の変換で運動方程式の形が不変対称性必要条件 Lagrangianが不変局所性運動方程式が1時空点に関する記述になっている

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変力学変数の変換で運動方程式の形が不変対称性十分条件 Lagrangianが不変

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変古典力学では、力学変数をその関数として与えられる変数に変えて記述することを変換という。 qj' = Fj(qi ) 力学変数qiの変換量子論では、状態も対応して変換する。状態　　　の変換確率を変えないため、Uはユニタリー変換。変換は物理量を定義する。変換を逐次行って得られる変換を変換の積と定義し、恒等写像による変換を単位元とし、逆変換が存在するものとするとこれらの変換の集合は群(変換群)をつくる

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = f j (x ) Fi(fj)は線形とする。 ji (A) D D (AB)ik = D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現

状態の変換 場の変換 D (AB)ik =D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現リー代数無限小変換 [Xi,Yj]=ifijkXk fijk:構造定数ベクトル空間の基底Xi 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係リー代数

回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator リー代数交換関係群の不変量回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係リー代数

回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator リー代数交換関係群の不変量とおくとする j-k=nは整数 mの最大(小)値=j (k) |h|=1 h=1と選ぶ

リー代数の表現 Pauli行列群の表現群としては2価表現

リー代数の表現 群の表現 2j+1次元表現

Lorentz群　 proper Lorentz transformation , ,

, 表現はで指定される。

表現は で指定される。表現はで指定される。

表現は で指定される。 scalar field right-handedWeyl spinor field left-handedWeyl spinor field Dirac spinor field vecrtor field

scalar field scalar field

scalar field Lagrangian Lagrangian密度 Lorentz 不変なLagrangian Lagrangian密度運動方程式正準共役運動量 Hamiltonian密度正準交換関係

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=f(A)と書くことにする。 f'をはAによるので (f(A))i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ji (A) f j (x ) D D ⇒ ⇒ ⇒ (AB) (f )i ( x ) = AB D ( )kifk (x ) AB D (AB)kifk (x ) = (f(AB))i (ABx ) = = = ( )i ( A(Bx ) (f(A))(B) )

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので (f(A))i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ((f(A))(B))i (A(Bx)) = D(B)ij (TBf)j (Bx) TBf Bx D (AB)kifk (x ) = (f(AB))i (ABx ) = ( )i ( A(Bx ) (f(A))(B) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx )

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ = (TBf)j (Bx ) B D (B)jkfk (x ) D (AB)ikfk (x ) = (TABf)i (ABx ) = ( TA(TBf) )i ( A(Bx ) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx ) D (B)jkfk (x ) = D (A)ij D (AB)ik = D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので (f(A))i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ((f(A))(B))i (A(Bx)) = D(B)ij (TBf)j (Bx) TBf Bx D (AB)kifk (x ) = (f(AB))i (ABx ) = ( )i ( A(Bx ) (f(A))(B) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx )

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ji (A) f j (x ) D D ⇒ ⇒ ⇒ AB (Tf)i ( x ) = AB D ( )kifk (x ) AB D (AB)kifk (x ) = (TABf)i (ABx ) = = = ( TB(TAf) )i ( A(Bx ) )

対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (TB(TAf))i (A(Bx)) = D(A)ij (TBf)j (Bx) TBf Bx D (AB)ikfk (x ) = (TABf)i (ABx ) = ( TB(TAf) )i ( A(Bx ) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx )

状態の変換 場の変換 D (AB)ik =D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現リー代数無限小変換 [Xi,Yj]=ifijkXk fijk:構造定数ベクトル空間の基底Xi 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係リー代数

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