1 / 79

设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:

z. S 1. S 2. C. o. y. x. 二、空间曲线及其方程. 1. 空间曲线的一般方程. 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:. S 1 : F ( x , y , z ) = 0 S 2 : G ( x , y , z ) = 0. S 1 , S 2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此. (2). 即为交线 C 的方程, 称为 空间曲线 C 的一般方程. x 2 + y 2 =1. x + y + z =2. z. y. x. 0.

shelby-boyle
Download Presentation

设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. z S1 S2 C o y x 二、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程 设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为: S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此 (2) 即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.

  2. x2+y2=1 x+y+z=2. z y x 0 例5:柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2 的交线是一个圆, 它的一般方程是

  3. 2. 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

  4. z O M t h A M y x 例6:如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程. 解:取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).

  5. z O M t A M y x (1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t. 从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注:还可以用其它变量作参数.

  6. z O M h t A M y x 例如:令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为: x = acos  y = asin  z = b 当从0变到0 +是, z由b0变到 b0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2时, M点上升高度h = 2 b, 在工程上称 h = 2 b为螺距.

  7. F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (4) z 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影 曲线必定包含于: C o o y H (x, y) = 0 z = 0 x 3. 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.

  8. 注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.

  9. 椭圆柱面 例7:已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解:联立两个方程消去 z ,得 两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为

  10. z O y x2 + y2  1 x ( 圆柱面) 例8: 设一个立体由上半球面　　　　　　　　和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影. 解:半球面与锥面的交线为 由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 于是交线C在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2  1

  11. §6 二次曲面的标准方程 由x, y, z的二次方程: 1.定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j为常数且a, b, 不全为零. c,d,e,f 研究方法是采用平面截痕法.

  12. z O o y x 2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面 1 用平面z = 0去截割, 得椭圆 2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆 当 |k |  c时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.

  13. 3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆: 　　特别:当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2, 表示球心在原点o, 半径为a的球面.

  14. z y o x (2) 椭圆抛物面: 1 平面 z = k ,(k  0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆. k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大. 2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线

  15. 3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.

  16. §1 n 阶行列式的定义 一、二阶行列式的概念 a11 a12 (1) 1.定义1 设有数表 a21 a22 　　称数a11 a22－a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为： 副对角线 主对角线 (－) (＋)

  17. a11 x1+ a12 x2 = b1 对于 (1) a21 x1+ a22 x2 = b2 2、二元一次 方程组的求解公式 当a11 a22－a12 a21  0时， 得唯一解

  18. a11 x1+ a12 x2 = b1 a21 x1+ a22 x2 = b2 记 方程组(1)的解可以表示为： (2) ——克莱姆(Gramer)法则

  19. (3) 二、三阶行列式 设有数表 1.定义2 引进记号： 主对角线 副对角线 (+) (+) (+) (－) (－) (－) 称为对应于数表(3)的三阶行列式

  20. 例 如：

  21. (4) 当 易证： 对于线性方程组

  22. 方程组有唯一解，记 则方程组(4)的解为： ——克莱姆法则

  23. 三、排列与逆序数 <1> 由自然数1, 2, …, n 组成的一个有序数组i1, i2, …, in称为一个n级排列。 定义3 　　例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，它们是 1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1; n级排列的总数为n!个。

  24. <2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1, i2, … in)，简记为 。 1 3 2 2 1 3 例如： (1 2 3)=0, 3 1 2 (3 1 2)=2, (4 5 2 1 3)=7,

  25. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 (4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。 例如： 6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4 ( =11) ( = 8) 1 4 3 2 1 2 3 4 ( =0) ( = 3)

  26. 定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性 结论：在 n (  2) 级排列中，奇偶排列各有　个。

  27. 四、n阶行列式的定义 分析：  =2  =0  =2  =3  =1  =1

  28. 类似地：

  29. 定义4 n阶行列式

  30. 0 0 0 例1计算下列n阶行列式

  31. 0

  32. 0

  33. 考察： 2 1 3 1 2 3 ( = 0) ( =1) 3 1 2 1 3 2 ( = 2) ( =1) 行排列 列排列

  34. 定理2n阶行列式的定义也可写成 推论：

  35. 其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3 则 4 5 2 1 3是 奇排列。 例2： 选择 i 和 k ，使 成为5阶行列式中一个带负号的项 解: 可将给定的项改为行标按自然顺序，即 若取 i = 1，k ＝ 4， 则 (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列， 该项则带正号， 对换1，4的位置， 故 i = 4，k = 1 时该项带负号。

  36. §2 行列式的性质 一、行列式的性质 性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变 即： D = DT 则 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。

  37. 证： 设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij 显然有 bij = aji (i, j=1, 2, …; n) 则

  38. 性质2互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号性质2互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号 则 D=－M

  39. — 证：在 M中第 p行元素 第 q行元素 = – D

  40. 　　推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。　　推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。 交换行列式这两行，有D = －D，故D = 0 证明:

  41. 　　性质3若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：

  42. 证明： 　　推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。 　　推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。

  43. 　　性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。　　性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。 即:

  44. + 证明：

  45. 　　性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。　　性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。 即：

  46. 记号： 用 ri 表示 D 的第 i 行 cj 表示 D 的第 j 列 ri  rj表示交换 i、j 两行 ri × k 表示第 i 行乘以 k ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ri  k 表示第 i 行提出公因子 k

  47. 例1计算行列式 解：

  48. c1 c2 r2－ r1 例2计算行列式 解： D

  49. r2  r3 r3 + 4 r2 r4 －8 r2 r4＋ 5r1

More Related