情報システム基盤学基礎 1 アルゴリズムとデータ構造

情報システム基盤学 基礎1アルゴリズムとデータ構造 Elements of Information Systems Fundamentals1 アルゴリズムとデータ構造　第3回木(Tree)と 2分探索木(Binary search tree)

目次: 今日やること • 木構造 • 木の深さ優先探索，幅優先探索 • 2分木・2分探索木 • 2分探索 • 頂点の挿入 • 頂点の削除 • 木の頂点の番号づけ

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根 e f h i g j 親と子葉と内点祖先と子孫 m k l 頂点 x を根とする部分木深さ n 木（根つき木）の例

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根 e 親と子 f h i g j 隣接する2頂点のうち,　・根に近い方 → 親　・根から遠い方 → 子 m k l n 木（根つき木）の例

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根 e 葉と内点 f h i g j 葉：子をもたない頂点 m k l 内点：葉以外の頂点 n 木（根つき木）の例

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根子孫と祖先 e f h i g j 頂点xの祖先：頂点 xから根へのパス上に存在する点（xは含まない） m k l 頂点xの子孫：頂点 xを祖先として含む頂点 n 木（根つき木）の例

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根頂点xを根とする部分木 e f h i g j 頂点xを根とする部分木：頂点 xとxの子孫からなる木 m k l x n 木（根つき木）の例

木構造 木構造：上から下へ枝分かれした構造：頂点（点）深さ0 r ：辺深さ1 a b c d ：根深さ頂点 xの深さ：深さ2 e f h i g j 頂点 xから根へのパス上にある辺の数深さ3 m k l x 深さ4 n 高さ“5”の木の例

まとめ: 木構造について見てきた 木構造：上から下へ枝分かれした構造 r ：頂点（点）：辺 a b c d ：根 e f h i g j 親と子葉祖先と子孫 m k l 頂点 x を根とする部分木深さ n 木（根つき木）の例

木の深さ優先探索 現ノードＡの最左の子ノードから順に再帰降下する探索 • Search(A) • Mark A; • if ( A is leaf ) • return; • Search(B); • Search(C); • Search(D); A 深さ優先探索 (depth-first search) 12 B D C 18 5 2 9 19 15 17 例：12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19

木の幅優先探索 現ノードＡの子ノードを全て検査してから次の深さの子ノードを順に検査する探索 A 例：12, 5, 18, 2, 9, 15, 19, 17 12 B C D 18 5 2 9 19 15 17

木の幅優先探索 現ノードＡの子ノードを全て検査してから次の深さの子ノードを順に検査する探索 A • BFS(A) • 1. enq(Q, A); • While (Q != Φ) do • q = deq(Q); • mark q; • enq all children of q; • end C D B E F G H A, B, C, D, E, F, G, H

目次: 今日やること • 木構造 • 2分木・2分探索木 • 2分探索 • 頂点の挿入 • 頂点の削除 • 木の頂点の番号づけ • トライ・サフィックス木（の紹介だけ）

2分木 2分木の定義子の数が高々2個の木（ちょっと特殊な木）木 2分木

2分木 2分木の定義子の数が高々2個の木（ちょっと特殊な木） 2分木の例その2：完全2分木（内点は2個の子をもつ） 2分木の例その1 2分木の例その3：これも2分木

完全2分木の頂点数について 完全2分木の頂点数高さ dの完全2分木は 2d– 1 個の頂点をもつ注意：高さ= “最大深さ + 1”と考えてください（左下の木の高さは“4”） 1 = 20 高さ dの完全2分木の頂点の個数を nとすると 2倍 2 = 21 2倍 d-1 n = ∑2i 4 = 22 2倍 i = 0 8 = 23 = 2d – 1 各点は, ちょうど2個の子をもつので1つ深くなるごとに頂点数は2倍

2分探索木 2分探索木とは… 2分木の構造をデータ構造として利用したもの各点にキー（= 自然数）を1つ格納左の子を根とする部分木に, より小さなキーを格納右の子を根とする部分木に, より大きなキーを格納 2分探索木の例： 2分探索木のイメージ： 18 10 35 x 5 13 23 46 50 3 20 xより小 7 xより大小大

2分探索木の実装 こんな感じ 2分探索木の表し方の例 struct vertex { int key;struct vertex *p; struct vertex *left; struct vertex *right;}; 頂点を構造体で表す 18 20 50 46 13 10 35 23 35 7 3 35 フィールドの構成：　　・キーフィールド　　・親フィールド　　・左の子フィールド　　・右の子フィールド 18 “キー = 自然数”と考えてね!! 35 10 5 13 46 23 50 3 20 7

2分探索（= 2分探索木上での探索） 問題キーkが与えられたとき, 2分探索木上で kを探したいキー7の探索：水色網かけキー28の探索：ピンク網かけアルゴリズム 18 （根からスタートして）現在の頂点のキーと kを比較 35 10 繰り返し 5 13 46 23 両者は等しい → 現在の頂点を返し, 終了 50 3 20 7 （子がなければNULLを返す）キー kの方が大きい → 右の子へ移動キー kの方が小さい → 左の子へ移動

2分探索: 擬似コード x key[x] x: 2分探索木上の頂点 key[x]: 頂点 x がもつキー left[x]: 頂点 x の左の子 key[x]より大 key[x]より小 right[x]: 頂点 x の右の子

2分探索木へデータを挿入 2分探索木へのデータ挿入 2分探索木へ点を1つ追加する（※2分探索木の性質が失われないように！）根根 12 12 13 を挿入 18 18 5 5 2 2 9 9 19 19 15 15 13 17 17

2分探索木へデータを挿入 2分探索木へのデータ挿入 2分探索木へ点を1つ追加する（※2分探索木の性質が失われないように！）アルゴリズム根 12 （根からスタートして）現在の頂点のキーと kを比較 18 5 キー kの方が大きい → 右の子へ移動繰り返し 2 右の子がNULLならば, ここに挿入 9 19 15 キー kの方が小さい → 左の子へ移動左の子がNULLならば, ここに挿入 13 17

挿入の擬似コード root: 2分探索木の根 x: 2分探索木上の頂点 p[x]: 頂点 x の親 key[x]: 頂点 x がもつキー left[x]: 頂点 x の左の子根（= root） right[x]: 頂点 x の右の子 12 y = NULL k = 13 の例： x y 18 5 x y 2 9 19 15 x y 13 17 x

2分探索木からデータを削除 2分探索木からデータ削除 2分探索木へ点を1つ削除する（※2分探索木の性質が失われないように！）根（= root）根（= root） 15 15 5 16 5 16 13 を削除 3 20 3 20 12 12 18 18 23 23 1 2 10 1 2 10 13 6 6 なくなってる!!! 7 7

削除の難しさ 2分探索木からデータ削除 2分探索木へ点を1つ削除する（※2分探索木の性質が失われないように！）探索・挿入と比べるとちょっと難しいここの穴埋めどうする!? 15 15 5 16 16 5 を削除 3 20 3 20 12 12 18 18 23 23 1 2 10 1 2 10 13 13 6 6

ポイントとなるアイデア 2分探索木からデータ削除 2分探索木へ点を1つ削除する（※2分探索木の性質が失われないように！）探索・挿入と比べるとちょっと難しいポイント子の個数で3つに場合分けして考える Case 1: 子の個数が0 Case 2: 子の個数が1 Case 3: 子の個数が2

Case 1: 子の個数が0（簡単!） 削除の仕方（削除したい頂点を zとする） 1. zを削除根（= root）根（= root） 15 15 5 16 5 16 13 を削除 3 20 3 20 12 12 18 18 23 23 1 2 10 1 2 10 13 6 6 7 7

Case 2: 子の個数が1（これも簡単!） 削除の仕方（削除したい頂点を zとする） 1. zの子と z の親を繋げる2. zを削除根（= root）根（= root） 15 15 5 16 5 20 16 を削除 18 23 3 20 3 12 12 18 23 1 2 10 1 2 10 13 6 6 7 7

Case 3: 子の個数が2（ちょいムズ） 方針： zを削除し、 zのsuccessorに穴埋めさせる削除の仕方（削除したい頂点を zとする） 1. key[z]の次に大きいキーをもつ頂点を探す（yとする） 2. yをいったん削除 3. xを yに置き換える z のsuccessor 15 15 5 6 16 16 5 を削除 3 12 3 12 20 20 18 23 1 2 10 13 18 23 1 2 10 13 6 7 7 （削除後も, ちゃーんと2分木の性質を満たしてます）

目次: 今日やること • 木構造 • 2分木・2分探索木 • 2分探索 • 頂点の挿入 • 頂点の削除 • 木の頂点の番号づけ

木の頂点の番号づけ（3種類） 1. preorder（先行順）（課題に出します）深さ優先探索で, 訪れた順に番号づけ例：12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19 2. inorder（中間順）深さ優先探索で, 左子から戻ってきたときに番号づけ（注意：2分木だけに定義される番号づけです） 12 例: 2, 5, 9, 12, 15, 17, 18, 19 18 5 3. postorder（後行順） 2 9 19 15 深さ優先探索で, 最後に去っていく順に番号づけ 17 例：2, 9, 5, 17, 15, 19, 18, 12

木の頂点の番号づけ（3種類） 1. preorder（先行順）（課題に出します）深さ優先探索で, 訪れた順に番号づけ例：12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19 深さ優先探索 (depth-first search) • Search(A) • Mark A; • if ( A is leaf ) • return; • Search(B); • Search(C); A 12 18 5 B C 2 9 19 15 17

（課題に出します） • Search(A) • Search(B); • Mark A; • Search(C); //modify it // if A is a leaf. A 12 18 5 B C 2 9 19 15 17

（課題に出します） • Search(A) • Search(B); • Search(C); • Mark A; //modify it // if A is a leaf. A 12 18 5 B C 2 9 19 15 17

第1回レポート課題 出題日: 2013/May 1締切日: 2013/May 15 課題1 O(n^2)sort, O(n lg n) sort を作り，n = 10 から　10^4 まで実行時間を測定してみよ．整数配列のsort で良い． ** copy paste でも今回だけは良いが　擬似コードで　　分かれば　自由に　書けるはずだ． FreeYourself でも　行き詰ったら　基礎１TA　メーリングリストへ． fskiso1-2013@hpc.is.uec.ac.jp 提出：　ＩＳ棟２Ｆ事務室ポストへ．コードと測定結果をＡ４印刷．

第2回レポート課題 . 課題2. 2分探索木の全キーを preorder で出力するプログラムを作成してください. 余裕のある人は inorder, postorder についても同様にプログラムを作成してください。 Hint: 再帰呼出を使うと楽に作れる 12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19 左の2分木の全キーをpreorderで出力 12 出題：　Ｈ２５年5月1日締切：　同年　　5月22日まで．提出先：ＩＳ棟２Ｆ事務ポスト　(コード，実行結果をＡ４　　用紙に出力，簡単にコメントをつける） 18 5 2 9 15 19 17

このスライドは2010年に山中先生が 作成したものを今回　大森が改訂しました．木の深さ優先探索，幅優先探索は独自作成です．　　　これから面白いところで　交代．アルゴリズムの設計と解析(上)(下) Aho, Hopcroft, Ullman, サイエンス社が　ほぼ全ての古典的教科書の源．ＭＩＴ本(コルメン著)– 分厚い．翻訳が下手． Knuth本　– 難しいがBibleなので仕方ない．　　　　　　　　基本とは難しいものだと分かる．「データ構造」（星守　著，昭晃堂）　-- 　　数理工学科向きのアルゴリズム講義の　　教科書．　見た目よりも　お勧め．

情報システム基盤学 基礎 1 アルゴリズムとデータ構造