1. 量子力学的诞生

1. 1. 量子力学的诞生 雄心勃勃的经典力学： • 牛顿力学； • 热力学； • 统计力学； • 电动力学。 19世纪末20世纪初，经典力学被认为完美无缺 “There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurements” Lord Kelvin (1900)

2. 乌云罩顶： • 黑体辐射：能吸收所有照到它上面的辐射，并将其转化为热辐射，热辐射光谱特征仅与黑体的温度有关； • 光电效应； • 原子的线状光谱与稳定性； • 固体与分子的低温比热→0：按照经典力学，比热应该是一个常数。 经典力学无法解释这些诡异的现象！

3. 7000K 5000K • 黑体辐射：Max. Planck（1858-1947），1900年提出： 原子“谐振子”能量不连续En=nhν（后来证明是： En=(n+1/2)hν ），第一次提出“量子”概念； 紫外灾难

4. (Planck, 1900) (Rayleigh, 1900) (Wien, 1896)

5. T Kinetic Work • 光电效应：Einstein结合Plank量子的概念，提出了光量子的概念； • 固体与分子的低温比热→0：引入量子的概念，比热问题迎刃而解。

6. 原子的线状光谱与稳定性：Bohr提出原子的量子论，允许离散轨道，允许轨道跃迁，这个模型很好地解释了氢原子。但是经典orbital模型原子的线状光谱与稳定性：Bohr提出原子的量子论，允许离散轨道，允许轨道跃迁，这个模型很好地解释了氢原子。但是经典orbital模型

7. Modern atom (fuzzy orbits) Wave function instead of orbit !

8. 密度的径向分布

9. 角向分布 (s & p) discrete angular momenta

10. 角向分布 (d)

11. 角向分布 (f)

13. 波有粒子性？那就粒子也有波动性吧！ • 在Planck与Einstein的光量子理论及Bohr的原子量子论的启发下，考虑到光具有波粒二象性，de Broglie根据类比的原则，设想实物理子也具有波粒二象性。

14. 现代量子力学（1923-1927）： 在普朗克的量子假说、爱因斯坦的光量子理论和玻尔的原子理论基础上，Schrödinger、Feynman、Heisenberg、 Einstein、 Pauli、Fermi、Bohr、Dirac……一大批大师级物理学家发展出完善的量子力学理论； 量子力学的理论框架，分别被Schrödinger的波函数理论、Feynman的路径积分与Heisenberg的矩阵理论，这三种等价的形式得到表达。 量子化学主要从Schrödinger的波函数理论出发而建立、发展、完善。 Erenfest等将量子力学与经典力学统一起来，发现经典力学只是量子力学的宏观近似。

15. Seminal papers on QM • L. de Broglie, Comptes Rendus 177, 507 (1923); Nature 112, 540 (1923) • W. Heisenberg, Zeit. Physik 33, 879 (1925) • E. Schrödinger, Ann. der Physik 79, 36 (1929); 79, 489 (1926); 80, 437 (1926); 81, 109 (1926); 79, 734 (1926) • P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A144, 243 (1927); A144, 710 (1927).

16. Nobel laureates

17. 2. Schrödinger的量子力学 1926年，de Broglie的那篇只有一页纸的博士论文也送了一份给维也纳大学，当时主持物理学术活动的是德拜，德拜将它交给年近中年的讲师Schrödinger。 de Broglie的论文说粒子是波，于是德拜说“那你弄个波的方程吧！” 于是Schrödinger方程就这样被凑出来了： Schrödinger证明这个方程与Heisenberge的矩阵理论只是量子力学的不同表示方法，转向寻求更基本的方程未果，后来不久就转向研究生命是什么。不过在这场喜剧中de Broglie与Schrödinger都成为诺奖得主而名垂青史。

18. 如果波函数只有一个变量，Schrödinger方程可以手动精确求解。对氢原子的求解并正确理解结果的含义(Born几率波假设)，才使得Schrödinger方程得到重视。如果波函数只有一个变量，Schrödinger方程可以手动精确求解。对氢原子的求解并正确理解结果的含义(Born几率波假设)，才使得Schrödinger方程得到重视。 多体问题的困难： 如果系统包含N个电子，波函数ψ中就包含除时间变量t之外的3N个变量，并且Ｕ也不再是local函数，解析求解就变得几乎不可能。 实际的原子、分子、聚合物、晶体如何求解？

19. 3. 量子化学的诞生 1927年物理学家 W. Heitler和F. London将量子力学通过非常粗略的近似应用于氢分子，算出其结合能约为实验值的2/3，成功地解释了两个氢原子能够结合成一个稳定的氢分子的原因，这一成功标志着量子化学的诞生。 Heitler W, London F, Wechselwirkung neutraler atome und homöopolare bindung nach der quantenmechanik, Z Physik, 1927, 44:455-472

20. 1928年D.R. Hartree提出了Hartree方程，方程将每一个电子都看成是在其余电子所提供的平均势场中运动的，通过迭代的方法解出每一个电子的运动方程。1930年， Hartree的学生B.A. Fock和J.C. Slater分别提出了考虑泡利原理的Hartree的自洽场(Self Consistant Field, SCF)迭代方程，称为Hartree-Fock方程。至此，实际求解多体问题，在理论上成为现实。 Hartree D R, The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. I, II, III, Proc Cambridge Philos Soc, 1928, 24:89-110 Fock V, Noherungsmethode zur Losung des quantenmechanischen mehrkorper-problems, Z Phys, 1930, 61:126-148 Slater J C, The normal state of helium, Phys Rev, 1928, 32:349-360

21. 4. Hartree-Fock方程 Hatree-Fock方程事实上，也是将一个多体波函数方程（原始Schrödinger方程）： 通过两种近似： 1）平均场近似 2）多体波函数表达为系列单体波函数构成的Slater行列式形式 转化为可求解的系列单体波函数方程（Hartree-Fock方程）：

22. 闭壳层Hartree-Fock方程： 考虑自旋，则可以很轻易地得到闭壳层的形式与开壳层限制性、非限制性自洽迭代方程。 对于闭壳层，2N个电子的体系（库伦作用与自旋无关；自旋相反的两个电子交换项为0）：

23. 开壳层Hartree-Fock方程： 对于开壳层，N个电子的体系p个电子自旋向上，N-p个电子自旋向下， 自旋非限制性HF（SUHF或UHF）： 自旋向上： 自旋向下：

24. 开壳层Hartree-Fock方程： 对于开壳层，N个电子的体系p个电子自旋向上，N-p个电子自旋向下， 自旋限制性HF（RHF）： 这个方程与UHF的spin up方程一样，如此强制spin down的orbital与spin up的orbital相等。 有很多种RHF方案！ Roothaan实现现代量子化学模型！

25. 5. ab initio方法 Hatree-Fock方法的限制： 库伦穴（自旋相反）、费米穴（自旋相同） 某个时刻体系中某个电子可能在某个位置A出现，此时由于巨大的库仑排斥（自旋相反）与Pauli排斥（自旋相同），其他电子此时就不可能在A点出现，每个电子都这样“禁止”其他电子靠近，这种相互制约的作用称为动态相关效应。 Slater形式的波函数使得Fermi穴效应基本被包括，但对自旋相反的电子，库伦穴却没有考虑。 事实上，所谓的相关能，正是由此定义。 本质上，可以认为这是将双粒子算符展开为单粒子算符之和带来的误差（ 占总能量的0.3-1%）。

26. 各种考虑相关能的方法： 从Hatree-Fock方法出发，利用各种理论模型加入对电子相关的考虑，例如： 以HF得到的单Slater行列式为主，引入激发行列式的组态方法（CI）； 多组态自恰场（MCSCF,常用CASSCF来实现）； 多参考CI（MRCI）等方法。 耦合簇（CC）理论； Møller-Plesset的多体微扰理论，MP2、MP3、MP4…… 计算量很大： HF方法的计算量与电子数的4次方成正比，随着电子数增加而迅速增加，其他衍生的从头算方法计算量就更大了。

27. 6. 超高效率的DFT方法 密度泛函理论是基于2条基本定理——Hohenberg-Kohn定理: • 对任何一个相互作用的多粒子系统，它所处的外部势场，除一个常数自由度外，可以与该系统的基态电子密度一一对应；（适用于任何有、无相互作用粒子） • 假设存在一个对于任何外势都适用的能量-密度的泛函E[n(r)]，对于给定的外势，E[n(r)]取全局泛函极值时的电子密度n(r)，就是外势中该粒子系统的基态电子密度n(r)。

28. 特点： • 因为这个定理是严格而未做近似的，因此DFT也被认为是第一性原理； • 多电子波函数有3N个变量（N为电子数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，使得求解过程大大的简化； • 既然外势与基态电子密度存在这样的一一对应关系，根据薛定谔方程基态电子密度也决定了多粒子体系所有的性质，包括基态和激发态的性质，但能量与密度的泛函形式却是未知的。

29. 虽然Hohenberg-Kohn理论几乎完美地再现了多体量子力学，但实际上没有给出任何可行的实施方案；虽然Hohenberg-Kohn理论几乎完美地再现了多体量子力学，但实际上没有给出任何可行的实施方案； • 将Hohenberg-Kohn理论用于实际计算，有多种方案，最简单、最著名的是Kohn-Sham（沈吕九师徒二人）方法。

30. Kohn-Sham方法的基本思想： 假设一个理想的无相互作用的自由电子气系统，与真实体系的电子密度一一对应。 根据Hohenberg-Kohn定理1，自由电子气系统的密度与其外势VKS也具有一一对应的关系。 因此系统的求解变成了一系列的单体问题。 对VKS的搜索即是对自由电子气密度的搜索，如果能量-密度泛函已知，那么必定可以找到能量最低点及其对应的密度——通过自洽迭代实现。

31. Kohn-Sham方法的特点： 在构造密度的时候，使用无相互作用“电子”，这种“电子”的“波函数”实际上没有任何的物理意义，并不代表真实的波函数。 1）用这种“波函数”构造动能、交换能等也不具有真实物理意义，而被认为是二者的近似，与真实动能、交换能等的差别，归在相关能这个黑盒子里面，电子瞬时效应也包含在里面，但包含的形式未知； 2）这种“波函数”，理论上不能直接用于电子输运计算中去代替电子波函数，但可以做粗略的近似。

32. 几类交换相关势（泛函）： • LDA：泛函在空间某点的值仅依赖于该点的（自旋）密度； • GGA：包括局域密度的梯度信息； • meta-GGA：包含密度的二阶微分的平方（动能密度）； • hybrid-GGA：包含部分HF形式的交换作用； • 完全非局域泛函：与所有占据和非占据的轨道都有关; • 一些模型势：如LB94，GLAC，SAOP，只描述交换相关势，没有对应的能量泛函，但能得到很好的势。

33. Kohn-Sham势VKS的重要性： Kohn-Sham DFT中，势可以唯一决定轨道以及电子密度分布。优秀的势函数就可以获得优秀的密度分布。 虽然从能量泛函也能获得对应的势函数，但首先能量泛函关注的是能量与密度的关系。

34. Ne原子势函数：LDA获得的势与精确势的比较

35. SAOP(Statistical Averaging of Orbital Potential）： • SAOP实际上是两种其他泛函对应的交换相关势按一定规则拟合出来的。通过恰当的权重分配，在原子内部SAOP主要成分是能很好描述原子内部的泛函GLLB，在离核较远的区域，SAOP的主要成分是具有正确长程渐进行为的泛函LB； • 因此SAOP能获得很好的占据轨道与空轨道能，空-占能差是激发能计算的0级近似，因此SAOP可以获得很好的激发能，尤其是对过渡金属SAOP的表现优于其他泛函甚至比热门的B3LYP更好，其他相应性质也是如此； • 由于SAOP具有正确的长程渐进行为，因此长程相互作用相关性质，例如氢键、分子吸附、范德华作用等的量子化学处理，这种势显著地优秀；

36. OEP (Optimized Effective Potential)： OEP不是一种模型势，而是一种方法。这种方法本质上与传统的DFT方法等价，但由于是对势进行变分，因此能获得非常优秀的势以及轨道。 ADF09 增加了这种新的方法。

37. DFT VS ab initio • 由于DFT的泛函精确形式是未知的，因此现有的泛函，基本上是通过实验结合理论拟合出来的。因此难以获得普遍较高的精度。ab initio直接从第一原理出发，加入近似项，只要采用的理论模型更好，就会获得更精确的结果，而没有类似拟合泛函这样的black box。 • ab initio涉及大量的波函数多中心积分，对于同样的体系计算量远远大于DFT。 • 如果是较小分子的计算（300个电子以内），CC等方法获得的精度高于DFT计算，效率在可承受范围内，如果硬件许可，从头算方法显然是更好的选择。上百个原子的分子，CC等从头算方法基本上无法进行，而不得不选择DFT。