수학의 역사

1. 수학의 역사 실과교육학과 20050622 이고은

2. 현대수학의 흐름 • 20세기의 수학 –구체적인 대상이 목표가 아니라 추상적인 이론체계를 목표로 함 • 폴란드 학파 –점집합론 과 위상해석(폴란드 학파) • –바나흐(1892-1945) : 함수공간의 이론 • < 폰 노이만(1903-1957)> • - 컴퓨터, 자동 기계 등 현대적 수리과학에 큰 영향을 주었음 • - 공리적 집한론의 구성 : 힐버트의 이상을 좇아 수학의 논리적 기초를 연구 • - 함수개념을 중심으로 수학의 공리화를 시도 • - 베르나이스, 괴델에 의해 다듬어져 NBG체계라고 함

3. < 괴델(1906-1978) > - 수학기초론과 수리논리학에 결정적인 영향 - 「완전성의 정리」: 지금까지 알려진 논리학의 법칙 외에 그 이상의 새로운 논리 법칙은 생길 수 없다는 것 - 「불완전성의 정리」 : 현재 일반적으로 널릴 쓰이고 있는 자연수에 대한 페아노의 공리계가 불완전하다는 것 - 즉, 자연수에 관한 =, +, * 와 논리 기호만으로 나타내는 바른 명제 중에는 페아노의 공리계로는 증명할 수 없는 것이 있음

4. 부르바키 학파와 구조주의 • < 부르바키 학파> • - 1930년 프랑스 파리에서 결성 • - 보편수학을 목표로 함, 수학의 추상화를 더욱 적극적으로 추진 • 논리주의로부터 구조주의라는 철학에 도달 • 미국의 프린스턴 연구소와 유렵의 니콜라 부르바키라는 익명으로 활동 • 20세기 수학에 가장 중요한 영향

5. 창시자 : 카르탕(1896-1951), 셰발리(1909-1984) • 엄격한 정년제 : 수학적인 창조력이 없어지면 젊은 수학자로 교체 • 1940년 수학 구조 • 구조 = 집합 + 공리 • 최근에는 카테고리론의 영향 • 구조 = 집합 + 공리 • 함수 + 공리 • 공리주의자 : 수학을 전 분야에 걸쳐서 철저히 공리주의적으로 구성

6. 부르바키 멤버 • : 각자의 전문 영역에서 명성을 얻은 사람 • : 상당 기간 자신의 전공을 잊고 다른 분야의 • 초보적인 것부터 배움 • : 여러 가지 문제를 공동으로 토론 • “충분히 공리화된 수학 전체의 표현을 한다. …대부분의 수학자는 그와 같은 이상적인 수학의 건설이 가능하다고 믿고 있다.” By.카르탕 • 수학의 3개의 A : 수론(arithmetic), 대수(algebra), 해석(analysis) • 현대수학은 이 세개의 A를 한 개의 A, 추상(abstract)로 바꾸었음

7. ‘세계화’되는 수학, ‘수학화’되는 과학 • 미국 프린스턴 연구소 : 유렵의 현대 수학 • 뉴욕의 쿠런트 연구소 : 고전 수학을 흡수 • => 자본주의를 배경으로 학문과 연구를 상품화할 정도로 전후 수학의 터전을 닦음 • 모스크바의 연구 : 연구 체제의 조직화는 정치 우위의 사회 생리를 그대로 반영 • 1967년 국제 수학자회의가 모스크바에서 열림 • => 수학이라는 학문이 세계적인 규모로 확대

8. 19세기 응용수학의 주제는 열, 파동, 포텐셜이었으나 20세기에는 물리학이 수학적 경향을 띰 • 상대성이론과 리만공간, 양자역학과 힐버트 공간 • < 콜모고로프(1903-1987) > • - 공리주의적인 기초를 세움 • - 순수수학과 응용수학의 대립을 해소 : 추상수학의 방법으로 현상의 본질을 수학적인 구조로 정립 • -「자연법칙의 수학화」 : 물리학과 수학 뿐 아니라 일반적으로 논리적인 사고가 존재하는 분야에 적용

9. 촘스키의 문법구조(언어학), 레비-스트로스의 친족구조(사회학), 피아제의 인식구조(심리학) • 학문의 분과주의가 붕괴, 보편화가 일어남 • 통계학(수학과 다른 과학의 경계 영역) • : 19세기 근대 국가의 성장과 더불어 수치의 대량화를 기술적으로 처리하기 위해 생김 • : 현대에 와서는 대량 현상의 법칙성을 찾아낸 확률론과의 결합으로 발전