绪论二 （ ‖ ） 实验数据的记录、表达和处理

1. (4) .有效数字与单位无关，与小数点位数无关，采 用指数法记录,如 1234 123400 0.1234 0.0001234 （保留四位有效数字） 1.234×103 1.234×105 1.234×10-1 1.234×10-4 绪论二 （‖） 实验数据的记录、表达和处理 一． 实验数据的正确记录与有效数字 1.有效数字的表示方法： （1）. 记录测量数据时，一般只保留一位可疑数字。 （2）. 误差一般只有一位有效数字，至多不超过两位。 （3）.任何一个物理量的数据，其有效数字的最后一位， 在位数上应与误差的最后一位划齐。例如：1.45±0.01 （5）.有效数字的位数根据需要来确定。

2. 2、有效数字的取舍原则： (1).在运算中舍去多余的数字时，采用“4舍6入5尾 留双”的法则； 例如：9.436 9.434 9.435 9.445 整化为三位有 效数字，则对应为 （2）在加减运算中，各值小数点后取的位数，以有 效数字位数最少的为准； 9.44 9.43 9.44 9.44 （3）在乘除运算中，各数以及结果所保留的有效 数字位数，以有效数字位数最少者为准； （4）在对数运算中，所取对数尾数应当与真数的 有效数字位数相同。例如： lg7.1×1028 =28.85 （5）常数л、е 及乘子、 等的有效数字位数可 根据需要保留。

3. 二．实验数据的表达及处理 1、列表法： （1）每一表格要有简明完整的名称； （2）表中要表达的是纯数值，因此栏头要详细地 标明名称、数量单位和公共因子； （3）在每一行中所列数据要排列整齐，位数和小 数点要上下对齐。 （4）自变量的选择最好按自变量等量递增顺序来 排列； （5）原始数据可与计算数据并列表中，但计算 公式和方法要注明。

4. 例如：表1 苯的蒸汽压

5. ※2、图解法： （1）优点： • 首先，它能清楚地显示出所研究的变化 规律与特点； • 其次，能够利用足够光滑的曲线，作图 解微分和图解积分； • 第三，还可通过作图外推以求得实验难 于获得的量。

6. （2）图解法在物化实验中的应用： a. 求内插值：根据实验所得的数据，作出函数 间相互的关系曲线，然后找出某 函数相应的物理量的数值。 b. 求外推值：在某些情况下，测量数据间的线 性关系可用于外推至测量范围以 外，求某一函数的极限值。 c. 作切线求函数的微商： 从曲线的斜率求函数的微商。 d. 求经验方程式中的常数: e. 求转折点或极值： 相图的绘制，就是通过步冷曲线的转折或平台得到 相变温度的。

7. (3) 作图的一般步骤及原则： a.坐标纸的选择与横纵坐标的确定： 直角坐标纸最为常用，在直角坐标纸作图时,习惯上 以自变量为横轴，因变量为纵轴，横轴和纵轴的读 数一般不一定从零开始，可视具体情况而定。 b.坐标的范围： 确定坐标范围要包括全部测量数据或稍有地 。 c. 比例尺的选择

8. *比例尺选择的一般原则： （ⅰ）要能表示全部有效数字，以便从图解法求出 各量的准确度与测量的准确度相适应，为此 将测量误差较小的量取较大的比例尺。 （ⅱ）坐标轴上每小格的数值，应便于读数和计算， 一般取1、2、5或是1、2、5的10n倍，要避 免用3、6、7、9这样的数值及它的10n倍。 （ⅲ）在上述条件下，充分考虑利用图纸的全面 积，使全图布局合理。若图形为直线，应 使其直线与横纵坐标轴的夹角尽可能在45° 左右 。 注：图形大小一般在10cm×10cm左右

9. d. 画坐标轴： （ⅰ）标明坐标轴名称及单位。 （ⅱ）标明坐标轴比例尺（标度），以便解图及 读数。 但不标明实验数据。 e. 作测量点（描点）： • 可用ο、●、∆、×等表示测得数值各点绘 • 于图上，（测量精度相同时用 ⊙ 表示，不 • 同时用 表示），在一张图纸上如有数组 • 不同的测量值时，各测量值的代表点应以 • 不同符号表示，以示区别。并须在图上注明。

10. f. 联曲线： （ⅰ）各测量点均匀分布在曲线的两侧； （ ⅱ）曲线应光滑均匀，细而清晰。 注意：不能用圆珠笔画图。 g. 要注明图名、说明： [小结]作图的步骤是：坐标纸的选择与横纵坐标的确定 —确定坐标的范围—比例尺的选择 —画坐标图—作测 量点（描点）—联曲线 —要注明图名、说明 。 表1 苯的蒸汽压

11. 2.90 2.85 2.80 2.75 2.70   2.65 2.60 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 图1 苯的log p-- 图 (室温25.0℃） ×103 lgp · · · · ·

12. （4）图解术： a.计算直线的斜率和截距： （ⅰ） 要从线上取点，不能用实验点； （ⅱ）要尽量从端点取点。 b.图解微分： 曲线的切线画法： 镜像法：找出法线，作出法线的垂线即是； 平行线法：要求曲线的曲率变化均匀。

13. 3.方程式法： 就是将实验中各变量的依赖关系用数学方程式 （经验方程式）的形式表达出来。此法表达方式简单、 记录方便，也便于求微分、积分和内插值等。 • 建立经验方程式的基本步骤 （ⅰ）将实验测定的数据加以整理与校正； （ⅱ）选出自变量和因变量并绘出曲线； （ⅲ）由曲线的形状，根据解析几何的知识，判断 曲线的类型； （ⅳ）确定公式的形式，将曲线变换成直线关系或 选择 常数将数据表达成多项式； （ⅴ）用图解法、计算法来确定经验公式中的常数。

14. Y=a+bx 常见的曲线转换成直线关系的例子如下表：

15. 则解此联立方程得： *确定直线方程常数的方法： 设直线方程 y=mx+b 求m和b的方法有两种： (ⅰ) 图解法：a.在直角坐标纸上，用实验数据作图， 得一直线，将直线延长至与y轴相交，在y轴上的 截距即为b，若直线与x轴的夹角为θ,则m=tgθ. • (此法只在横纵坐标从0开始的曲线图中适用) b. 也可在直线上任选两个点(x1,y1),(x2,y2).

16. (ⅱ)计算法：设实验测得几组数据： (x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn).且都符合直线方程，则 可建立如下方程组： • 由于测定值都有偏差，若定义： δi=mxi+b-yi. i=1,2,3,…n. δi为第i组数据的残差。通过残差处理， 可求得m和b.

17. *对残差的处理有两种方法： (a)平均法：此法的基本思想是正、负残差的 代数和为零，即 将上列方程组分成数目相等或接近相等的 两组，并迭加起来得： 将上面两个方程联立解之，便可求得m和b。

18. 设S为残差的平方和，则 根据残差的平方和为最小，则可得到 *（b）最小二得乘法： 此法认为在有限次测量中，最佳结果应使标准 误差最小，所以残差的平方和应为最小。

19. 例：现有下列实验数据： 解：1、平均法： 将实验数据代入y=mx+b 得 (1)b+m=3.0 (5)b+13m=8.0 (2)b+3m=4.0 (6)b+15m=9.0 (3)b+8m=6.0 (7)b+17m=10.0 (4)b+10m=7.0 (8)b+20m=11.0 将(1)至(4)相加得一方程，后四式为一组相加得另一方 程，即 解此联立方程，得：b=2.70 m=0.420. 所以经验方程为： y=0.420x+2.70

20. 由表可知：n=8 2、最小二乘法：将有关数据列于下表：

21. 将上述数据代入最小二乘法公式中得： 所以，经验方程为：y=0.422x+2.66

22. *对于直线 而言，判断实验数据的线性 关系好坏，用相关系数来判断：计算公式如下：