Wykład 16

1. Wykład 16 5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej 5.6.2 Główne osie bezwładności Reinhard Kulessa

2. 5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej Wyprowadźmy sobie jeszcze wyrażenie na energię bryły sztywnej. Da się ona rozłożyć na energię postępową środka masy i energię obrotową wokół środka masy. Dla i-tego elementu masy danego ciała możemy napisać; Sumując po wszystkich punktach otrzymujemy; (5.18) . Reinhard Kulessa

3. mi riS S ri RS Ostatnie równanie możemy również zapisać jako; . Jeśli bryła wykonuje równocześnie ruch postępowy i obrotowy, to energia kinetyczna tej bryły jest równa; . Równanie to możemy sobie łatwo wyprowadzić . Reinhard Kulessa

4. Dalej otrzymujemy, . Spełnione są następujące równości; , więc (5.20) . Reinhard Kulessa

5. 5.6.2 Główne osie bezwładności Dotychczas określaliśmy moment bezwładności ciała dookoła bliżej nieokreślonych osi obrotu. Istnieją osie obrotu, dla których moment bezwładności przyjmuje wartości ekstremalne. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności, a odpowiadające im momenty bezwładności, głównymi momentami bezwładności. Do tej pory rozważaliśmy zawsze takie przypadki, że r  , . Dla ogólnego przypadku możemy napisać; . (5.21) Reinhard Kulessa

6. Dla ciągłych rozkładów mas otrzymamy; Rozważmy postać wyrażenia na energię kinetyczną w układzie kartezjańskim umieszczonym w środku masy bryły. W układzie tym ciało spoczywa. Jeśli zauważymy, że , Reinhard Kulessa

7. oraz , to znajdziemy, że energię kinetyczną możemy napisać jako; . Przy czym . (5.22) Reinhard Kulessa

8. Dla nieciągłego rozkładu masy, całki zastępujemy przez sumy. itd. Wyrażenia Ixx, Iyy, Izz są to momenty bezwładności dla rotacji względem osi układu współrzędnychx,y i z . Wielkości Ixy, Ixz, Iyznazywamy momentami zboczenia. Widać, że Możemy więc powiedzieć, że moment bezwładności względem środka masy jest tensorem o następujących składowych . Reinhard Kulessa

9. W ogólnym przypadku moment bezwładności ma złożoną strukturę. Jeśli za układ współrzędnych obierzemy główne osie bezwładności, I1, I2 i I3 , to znikają momenty zboczenia, i energia kinetyczna staje się równa; . (5.23) Analogiczne rozważania możemy przeprowadzić dla momentu pędu. Pamiętamy, że; . Reinhard Kulessa

10. W rozdziale (5.5) podaliśmy to wyrażenie dla pręta wirującego dookoła osi prostopadłej do pręta W oparciu o poprzednie równanie otrzymujemy; . W przypadku rotującego pręta druga część wzoru znikała. Rozpiszmy obecnie pełne równanie na składowe. Reinhard Kulessa

11. Pamiętając poprzednie oznaczenia (wzór (5.22) ) możemy ostatni układ równań zapisać jako: (5.24) . Zapisując powyższe równania wektorowo mamy; . Inaczej . Reinhard Kulessa

12. oś    r   Tylko w przypadku rotacji względem osi głównych momentu bezwładności   L . Rozważmy ogólny przypadek. Pamiętamy, że . Zachodzi więc; , . Reinhard Kulessa

13.   L I   I   Moment bezwładności względem osi równoległej do osi do dysku jest równy , gdzie r jest promieniem dysku, a względem osi do niej prostopadłej, czyli leżącej wzdłuż średnicy dysku . Widzimy, że przy obrocie względem dowolnej osi moment pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej. Reinhard Kulessa