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能力指標

能力指標. Vs. 國中學測. 今 天 的 研 習 活 動. 2. 分段能力指標解讀. 3. 由教育本質談「國中基本學力測驗」. take a brake!. 1 . 課程改革與教師精進. 4. 腦力激盪 ─ 有獎求解. 5. 90 及 91 年學測試題評析. take a brake!. 6. 基測試題實作研究討論. 教 改 要 改 哪 裏?. 2. 入學方式改革. 1. 課程改革. 4. 家長的思想改造. 家長需要再教育. 3. 教師改變. 社會價值觀再造.

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  1. 能力指標 Vs. 國中學測

  2. 今 天 的 研 習 活 動 2.分段能力指標解讀 3.由教育本質談「國中基本學力測驗」 take a brake! 1.課程改革與教師精進 4.腦力激盪 ─ 有獎求解 5. 90及91年學測試題評析 take a brake! 6.基測試題實作研究討論

  3. 教 改 要 改 哪 裏? 2.入學方式改革 1.課程改革 4.家長的思想改造 家長需要再教育 3.教師改變 社會價值觀再造 80%的學習人口(機動性的)教學廣度(帶孩子認識世界)教學目標(能力取向取代知識取向)教學方法(不推動任何特定教學法)課程統整(領域學習)評量多元化(真實性評量、開放性評量)學校本位課程(學校特色) 教育變革中教師角色的改變學習激發者 課程設計者 行動研究者 終身學習者 價值觀培養者 基本學力測驗 測驗的基本教義 基測的目的 基測特質 篩選? 門檻?

  4. 新課程目標 培養十大基本(能力) = 十大國際競爭指標 瞭解自我發展潛能 欣賞、表現與創新 生涯規劃終身學習 表達、溝通與分享 尊重關懷與團隊合作 文化學習與國際瞭解 規劃組織與實踐 運用科技與資訊 主動探索與研究 獨立思考與解決問題 六大議題: 環保 兩性 人權 生涯 家政 資訊 新課程架構 提供七大學習領域 自然環境 自然與 生活科技 數學 社會文化 社會 藝術與人文 個體發展 語文 健康與體育 融入七大學習領域 學習方式,思考型態 數學領域目標 1掌握數、量、形的基本概念 2培養日常所需的數學(素養) 3發展形成數學問題與解決數學問題的(能力) 4發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的(能力) 5培養欣賞數學的(能力) 6培養數學的批判分析的(能力) 四個階段:1具體操作 2具體表徵 3類化表徵 4符號表徵 五大主題:N S D A C 分段(能力)指標 提供五大學習主題 RTCSE

  5. 青少年認知發展的四個階段 學習方式;思考型態 1.具體操作;視覺S-1-3-2 能用積木或黏土仿製一個長方體 2.具體表徵;察覺樣式S-2-1-3 就給定的立體圖形(長方體、正方體),能確認並說出組成要素的名稱,並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。 3.類化表徵;辨識樣式間的關係S-3-1-3 能使用形體的性質描述柱體、錐體中的某一類形體(如長方體是對面等大且相鄰兩邊的夾角皆為直角的六面體) 4.符號表徵;非形式化演繹S-4-1-1 能根據三角形的全等性質作局部推理

  6. 形式化演繹 VS.非形式化演繹 • 阿基米得求圓面積公式 圓周長

  7. 請問:「能力」和「知識」的區隔在哪裏? 答:只需少許記憶性的東西卻能廣泛應用在生活上或後續學習的叫作「能力」 ? ? 能力 知識 能力

  8. 新課程所要培養的「數學能力」又是什麼? 1.察覺樣式(pattern)的能力 ──具體表徵 2.能辨識樣式與樣式間的關係 ──類化表徵 3.形式化及非形式化演繹能力 ──符號表徵 4.能把生活問題轉化(換)成數學問題的能力 擬經驗主義教育哲學 5.解決問題(解題)的能力 6.溝通的能力 7.評析的能力

  9. 1.察覺樣式(pattern)-數學就是樣式的科學 • 古希臘哲學基礎:畢達哥拉斯-柏拉圖學派信念:世界是有規律的,而這種規律是可以被人所認識的。 • 到了中世紀,「上帝按照樣(模)式創造了世界」此一說法更與宗教神學取得了調和。 • 察覺:對世界的觀察,經由直覺、直觀、臆測、猜想及反思而有的理解(檢驗、反駁、達到結論之歷程兼具認知、技能及情意) • 樣式(pattern,型,模式):有規律有秩序的物件,自然界明現或隱含著規律關係,這些規律關係可能是數字、圖形、抽象關係或是思考的方式。 • 察覺樣式的意思就是:觀察世界,找出規律性,然後對它作出合理的解釋。

  10. 到關渡賞鳥觀察到野雁、野鴨、鶴群飛行樣式(有規律及次序)到關渡賞鳥觀察到野雁、野鴨、鶴群飛行樣式(有規律及次序) 請問8隻、10隻能成「人」字形嗎?為什麼?。 →察覺飛行之野雁常成「人」字形。請問下圖一共有幾隻野雁? 你是怎樣數出來的?

  11. 《實例》奇數和偶數的樣式什麼叫作奇數(odd,奇怪的,不對稱,剩餘的)? 什麼叫作偶數(even公平)?(a)(圖一)中,把彩球平分成兩堆,可能嗎?(b)(圖二)中,把彩球平分成兩堆,可能嗎? 10,4,16,10,2,14,38…… 17,9,1,11,13,15,77… 以上兩排數字樣式有何不同? (圖一) (圖二) 由上面樣式中,你能否說出奇數圖形和偶數圖形的樣式有何不同?(鼓勵學生以數字、圖形、抽象關係或是思考的方式當樣式)

  12. 察覺樣式:請問下圖各共有奇數個還是偶數個小正方形?察覺樣式:請問下圖各共有奇數個還是偶數個小正方形? 奇數還是偶數?

  13. 察覺樣式:請問下圖一共有奇數個還是偶數個彩球?察覺樣式:請問下圖一共有奇數個還是偶數個彩球? 思考樣式

  14. 察覺樣式(偶數的樣式) (屬於抽象思考的樣式)下列各圖叫作「鎖鍊方格圖」,(1)請問它們有奇數個還是偶數個小正方形?(2)所有「鎖鍊方格圖」都有偶數個小正方形嗎? (8) (12) (26) (44) 抽象關係 (24)

  15. 觀察、臆測、檢驗、反駁、達到結論之歷程;在此[歷程]中,兒童能察覺物件的樣式,甚至把樣式一般化、延伸和轉換。(屬於數字的樣式)觀察、臆測、檢驗、反駁、達到結論之歷程;在此[歷程]中,兒童能察覺物件的樣式,甚至把樣式一般化、延伸和轉換。(屬於數字的樣式) • 1/2 = 1/3 + 1/6 • 1/3 = 1/4 + 1/12 • 1/4 = 1/5 + 1/20 • 1/5 = 1/6 + 1/30 • 1/6 = …………. • 一般化:… 單位分數 1 /n = 1/n+1 + 1/n(n+1) 延伸: 1/2 = 1/3 + 1/7 + 1/42

  16. 觀察、臆測、檢驗、反駁、達到結論之歷程;在此[歷程]中,兒童能察覺物件的樣式,把樣式一般化、延伸和轉換以了解樣式(屬於數字的樣式)觀察、臆測、檢驗、反駁、達到結論之歷程;在此[歷程]中,兒童能察覺物件的樣式,把樣式一般化、延伸和轉換以了解樣式(屬於數字的樣式) • 2 - 2/3 = 2 × 2/3 • 3 - 3/4 = 3 × 3/4 • 4 - 4/5 = 4 × 4/5 • 5 - 5/6 = 5 × 5/6 • 一般化:… n - (n/n+1) = n ×( n/n+1)

  17. 2.能辨識樣式與樣式間的(關係) A-3-7能察覺數量樣式與數量樣式間的關係 偶數加偶數為什麼是偶數? 偶數加奇數為什麼還是奇數? 偶數減奇數為什麼還是奇數? 偶數乘以奇數為什麼還是偶數? + =

  18. 奇數加奇數會是奇數嗎?兩群人字型飛行之野雁能再合成人字型嗎?奇數加奇數會是奇數嗎?兩群人字型飛行之野雁能再合成人字型嗎?

  19. 辨識樣式與樣式間的關係請問各位有無察覺到10和14的最大公因數就是黃色正方形的邊長? 14÷10=1…….4 10÷ 4=2…….2 4÷ 2=2…….0 14 10 10

  20. 3.非形式化演繹能力形式化演繹能力數學對象是可明確定義的,而且數學結論是按照相應的定義及給定的法則進行嚴謹邏輯推理的結果。‧歐氏幾何學公理化形式化的系統(1) 明確列舉理論中所使用的符號,包括數形、及邏輯符號(2) 由公理及定義出發逐步引出其他定理非形式化演繹能力(以兒童他自己熟悉的、直觀的、自然的方式進行學習和認識)有許多實際的數學活動,其實並非按照嚴格的演繹方式進行,而在很多程度上是依賴直覺及想像力。能發揮直覺及想像力,及泛指摺紙、操弄、筆畫、電腦繪圖…等等一切有意義的組合認知歷程,重視兒童自發性、自覺性及直觀的概念(兼具認知、技能及情意)例:S-4-1 能根據給定的性質作局部推理

  21. 形式化演繹及非形式化演繹教學比照 • 形式化演繹→對既定的結論用從嚴峻的方法加以證明 • 從嚴峻的定義公理出發(先下定義:兩雙對邊平行的四邊形是平行四邊形) →用全等三角形的性質證明兩雙對邊等長的四邊形也是平行四邊形 → 一雙對邊平行且相等的四邊形也是平行四邊形 → 兩條對角線互相平分的四邊形也是平行四邊形

  22. 非形式化演繹的教學法《裝假牙吃東西沒味道》(以兒童他自己熟悉的、直觀的、自然的方式進行學習和認識)請學生找出幾種不同的方法作一個兩雙對邊都平行的四邊形問他為什麼要這樣畫的理由?最後再下定義非形式化演繹的教學法《裝假牙吃東西沒味道》(以兒童他自己熟悉的、直觀的、自然的方式進行學習和認識)請學生找出幾種不同的方法作一個兩雙對邊都平行的四邊形問他為什麼要這樣畫的理由?最後再下定義 Proving by definig:讓學童自己建立邏輯系統

  23. 自平行四邊形ABCD對角線AC上任取一點P,引平行線EF及GH請[說明]平行四邊形EPHD和平行四邊形GBFP之面積相同自平行四邊形ABCD對角線AC上任取一點P,引平行線EF及GH請[說明]平行四邊形EPHD和平行四邊形GBFP之面積相同 E A D P G H B C F

  24. 4.能把生活問題轉化(換)成數學問題的能力─ 從生活情境中[析出]數學部分 到關渡賞鳥觀察到野雁飛行必成「人」字形(有規律及次序) →察覺飛行之野雁必成「群」,為什麼? →察覺飛行之野雁總數必為「奇數」 ,為什麼? →察覺野雁飛行隊「形」,必為等腰三角形, ,為什麼? →察覺野雁飛行隊形之「角度」

  25. 4.能把生活問題轉化(換)成數學問題的能力《例》下圖是市區圖,某人從台北捷運站走到新公園,在考量時間時,他會有幾種走法?4.能把生活問題轉化(換)成數學問題的能力《例》下圖是市區圖,某人從台北捷運站走到新公園,在考量時間時,他會有幾種走法? 1 北 C-c-3 能用數學語言與一般語言說明情境與問題 C-c-5 用數學語言呈現解題的過程 EESS ESSE ESES SSEE SEES SESE 南

  26. 5.問題解決的能力--Learing by solving ‧「問題」就是 一個需要分析和推理才能獲得目標(解答)的作業 ‧「解題」就是解決經轉化後的數學問題,屬於數學內部的連結 ‧ 就教育層面而言,解題非但能檢驗學習成果,更是提供學生作為其重建與連結知識內容的方法。 • 由於解題者必須兼具敘述性與程序性的知識才能解題,所以,解題其實就是學習者主動建構知識的學習歷程。 • C-S-1 能分解複雜的問題為一系列的子題 (簡化) • C-S-2 選擇合適的數學表徵 • C-S-3 熟悉解題的各種歷程: 蒐集、觀察、臆測、提出策略、檢驗 • C-S-4 運用解題的各種方法: 分類、歸納、演繹、推理、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模式化、系統化、監控 • C-S-5 能嘗試不同的解法

  27. 請你從 1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5 , 1/6 , 1/7 , 1/8 , 1/9 , 1/10 ………這些數中找出三個數 ,讓它們的和小於1,但最接近1你有何求解模式? 先用1減去表列中最大的數1/2,還剩1/2 比1/2小又最接近1/2就是1/3 1/2減去1/3還剩1/6 比1/6小又最接近1/6就是1/7 因此1/2 + 1/3 + 1/7 就是本題答案

  28. C-S-5 能嘗試不同的解法 • 例:求解方程式 2X + 6 = 20 • 《形式化演繹求解》 • 第一步:2X = 20 ﹣6 第二步:2X = 14 • 第三步: X = 14÷2 = 7 《非形式化演繹求解 ─ 試誤法》 令X=6帶進運算 得 2X + 6 = 18 少了 2 所以X=6要再多1

  29. 6.溝通的能力(一般語言與數學語言在數學活動中的功能) C-c-1 瞭解數學語言的內涵(符號、用語、圖表、非形式化演繹) C-c-2 瞭解數學語言與一般語言的異同 C-c-3 能用數學語言與一般語言說明情境與問題 C-c-4 用數學的觀點推測及說明解答的屬性 C-c-5 用數學語言呈現解題的過程 C-c-6用一般語言及數學語言說明解題的過程 C-c-7用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解法的合理性 C-c-8能尊重他人解決數學問題的多元想法

  30. C-c-4 用數學的觀點推測及說明解答的屬性 • 88年聯考因試場的疏忽,後來有98名考生試後加分,採增額分發錄取方式。 • 到底有多少考生屬於增額分發錄取的? • 因為錄取率是60%,而這98名考生屬於一般的高中,所以估計約為98×60%約60名

  31. 7.評析的能力 C-E-1能用解題的結果闡釋原來的情境問題 C-E-2能用解題的結果重新審視情境,提出新的觀點或問題 C-E-3經闡釋及審視情境,能重新評估原來的轉化是否得宜 C-E-4能評析解法的優缺點 C-E-5能將問題與解題一般化

  32. 能力取向的教學觀 1. 從經驗主義移到擬經驗主義觀察、臆測、檢驗、反駁、達到結論之歷程 2.建構主義 1.在特定脈絡中藉由對話最後形成共識 2.認知的功能是在適應,是用來組織經驗的世界 • 由形式化演繹移到非形式化演繹 1.自發性尋找規律 2.知覺性 3.一切有意義的認知組合 4. 有意義的學習1. 能連結於生活脈絡的 2. 學習之後會再發生學習行為 在學習之「歷程」中帶進知識的認識,其目的在教育兒童如何獲得知識與應用知識

  33. 教 學 評 量 ( instruction evaluation) & 測驗 (test) • 教學是有意義及有目標的活動,而要知道在教學之後學生能否在認知、情意及技能上產生如教學目標所期望的改變?教學評量就是要回答這個問題。 教學 評量

  34. 在心理學上,測驗(test)及評量(evaluation)是彼此關係密切但涵意不相同的概念。測驗(test)是包括多個問題所構成的用來鑑別能力或性格差異的工具。因使用的目的不同,測驗有多種形式,教育上應用最多的是學習成就測驗。教學評量( instruction evaluation)是指有系統地收集有關學生的學習行為的資料,加以分析處理之後,再根據預定之教學目標給予價值判斷的歷程。在蒐集學生資料時,可以根據實施測驗的結果。簡單的說,教學評量的概念包括了測驗,但在教學評量的價值判斷時,並不限於測驗所得的資料,而加入平日觀察之所得。

  35. 基本學力測驗 「基本學力測驗」源自於美國高中的升學觀念,是一種比較有彈性的入學方式(其目地是為入學學校提供申請入學者數學科目上的學習成就與表現評估)。它是一套經教育學術機構參照基本學力指標後所發展而成的標準化工具,其標準化的過程是:先由測驗之學者專家組成研究小組,然後進行試題編製的正常程序,如命題、修題、審題、預試、試題分析、再修題、再審題最後再進入題庫備用。

  36. 學(基)測目的 • 國民中學基本學力測驗,希望在維持制度公平的前提下,消除入學考試對國中教育的不利影響,進而充分發展學生的潛能。因此基本學力測驗的命題,會偏重在對學生未來學習與生活有幫助的基礎的知識與能力。因此如果像過去以「過度學習」和「機械示練習」的學習方法,就收不到預期效果的。

  37. 國民中學基本學力測驗 • 基本學力的定義 長久以來,入學方式與評量試題,一直是教育議題的焦點。綜合社會各界對入學方式的看法,我們得到一個結論,那就是傳統聯考制度已不再是選材的適切方式,因而教育部宣布自90學年度起改採基本學力測驗取代傳統高中聯考。 基本學力是一個複合的名詞,它包括「基本」與「學力」兩個觀念。綜合國內外學者們見解的交集,我們可以將基本學力定義為「學習者經由特定系統化的學校教育後所獲得的基本且完整的學習成就、社會能力與發展潛能」。 簡單的說就是對學生未來[學習]與[生活]有幫助的[基礎]的知識與能力。

  38. 國民中學基本學力測驗的精神 • 關於國民中學基本學力測驗的精神,簡單的說未來的考試是原理有範圍,但是場景沒範圍,學生只要真懂學會基本的能力只要真正的了解就能達到預期效果,就能消除過度的競爭。

  39. 基本學力測驗應有的特色 基測中心標榜的 1.原創性 (不曾在(台灣?)其它考試及參考書中出現) 2.生活化試題 3.基本教義 (核心的、系統化的)消除「過度學習」和「機械示練習」) 4.難易適中(整張考卷還是個題?) 5.鑑別度(要鑑別什麼?) 我們所要求的必須還有: 7. 創意 激勵教學創新 8.參照能力指標,能測驗出七大數學能力其中的一些

  40. 基本學力測驗試題檢核表 • ( ) 參照能力指標: • ( ) 生活化:能自然呈現事物情境 • ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式 2.辨識樣式 3.形式及非形式化演繹 4.轉化(換) 5.解題6.溝通7.評析 • ( )創意 • ( )符合基本教義 • ( )難易度 • ( )鑑別度(整張試卷)

  41. 民國91年國民中學第2次學測數學試題 • 計算9+(-2) ×[18-(-3) ×2] ÷4= (A) –3 (B) 3 (C) 21 (D) 42 (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  42. 民國91年國民中學第2次學測數學試題: 5. 如圖,橫列有9個方格,直列有7個方格。若將每個方格內都填入一個數字,使得橫列方格內的數字由左到右成等差數列,直列方格內的數字由上到下也成等差數列。已知共同方格內的數字是42,求 a–b=? 26 b 42 70 a (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析 ( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  43. 民國91年國民中學第2次學測數學試題 24. 小方拿了一張長80公分,寬50 公分的紙張,剛好剪出n個正方形(其面積大小可以不相同)。請問n的最小值是多少? 3 5 10 40 (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析 ( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  44. 林福來教授的題目: 《試題》如圖所示 直線L平行M,已知A,B區域等寬,請問何者的面積最大?(1)A (2) B (3) 一樣大 (4)無法比較 L A C M 能力指標:N-3-21 能在情境中理解等量公理 (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  45. 林福來教授的題目: 《例題》 • 下圖是兩個等面積的橢圓和圓形,這兩個圖形有共同的白色相交部份,那麼下列何者正確: • (1) 藍色面積比較大(2)紅色面積比較大(3)藍色紅色面積一樣大(4)無從比較 (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  46. 《例題》 • 如圖,兩個正方形的邊長皆為10CM,而A正方形對角線交點恰是B正方形的一個頂點,求兩正方形重疊部分的面積是多少? (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  47. ◎數學兼哲學家伽利略,於公元1632年出版《對話錄》一書觸怒教廷,他在70歲時,接受宗教法庭審判且於該年被判終身監禁。出版《對話錄》一書到在獄中過世是伽利略人生中最灰暗的10年。年輕的伽利略發明十倍率的望遠鏡,並在隔年就發現木星的歐羅巴衛星。發現歐羅巴衛星到接受審判剛好是他被監禁時間的三倍。事實上,發明望遠鏡到出版《對話錄》一書是伽利略的黃金歲月,這段時間正好是他發現衛星時年齡的一半。試問:伽利略再哪一年發現歐羅巴衛星?◎數學兼哲學家伽利略,於公元1632年出版《對話錄》一書觸怒教廷,他在70歲時,接受宗教法庭審判且於該年被判終身監禁。出版《對話錄》一書到在獄中過世是伽利略人生中最灰暗的10年。年輕的伽利略發明十倍率的望遠鏡,並在隔年就發現木星的歐羅巴衛星。發現歐羅巴衛星到接受審判剛好是他被監禁時間的三倍。事實上,發明望遠鏡到出版《對話錄》一書是伽利略的黃金歲月,這段時間正好是他發現衛星時年齡的一半。試問:伽利略再哪一年發現歐羅巴衛星? 能力指標:A-4-3 能用一次式解決生活情境中的問題 (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析 ( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

  48. 國中基本學力測驗的定位 「國中基本學力測驗」的成績,學理上應解讀為 已達到某種水準以上」或是「每位國中畢業生都要得到的分數」?

  49. 民國90年國民中學第一次學測數學試題: 〈試題〉如圖,有甲、乙、丙、丁四種不相似之矩形,已知邊長均為正整數。其中有兩個甲,一個乙、兩個丙、一個丁。今將這六個圖形,拼成一個大的矩形,則其兩鄰邊的長分別為多少? x x b (A) 2x+1 , x+b (B) 2x+b , x+1 (C) x+2b , 2x+1 (D) x+1 , 2x+2b 甲 甲 x 乙 x x x x b 丙 1 丙 1 丁 1 (檢核項目)( )參照能力指標( ) 生活化:能自然呈現事物情境 ( ) 能測驗出七大數學能力其中的一些 1.察覺樣式2.辨識樣式3.形式及非形式化演繹 4.轉化5.解題 6.溝通7.評析( )創意 ( )符合基本教義 ( )難易度 ( )鑑別度

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