Coq を使った証明 : まとめ

1. Coq を使った証明 : まとめ 稲葉

2. 今日の内容 • 型システム • 対話的証明環境 • Minimal Logic での証明 • 自動証明探索 • Inductive な定義と証明 • 論理演算子 • 「＝」とreduction • CoInductive な定義と証明

3. 型システム （階層構造） nat → nat fun n => n+1など Set list nat [1, 2, 3]など Type P→Q P→Q の証明 Prop odd 3 odd 3 の証明

4. 型システム（２つのプリミティブ） • Product ( → ) • (P->Q) -> (Q->R) -> (P->R) • nat -> nat • Dependent Product ( ∀ ) • forall x:nat, odd x -> even (S x) • forall A:Set, list A -> list A • forall x:nat, int_type_with_bits x • forall x:nat, 0<x -> nat 全称量化命題 Set以外に依存した型 多相型 部分関数

5. 型システム(ユーザー定義の型) • Inductive • 後述 • CoInductive • 後述

6. 対話的証明環境 (1) • Theorem 名前 : 命題. • Lemma 名前 : 命題. • Remark 名前 : 命題. • Fact 名前 : 命題. • …などで証明開始 • Qed. • Defined. • …などで証明おわり。

7. 対話的証明環境 (2) • Restart. • …で証明を振り出しに戻す • Undo. • …で１ステップ戻る • Abort. • …でその定理の証明を破棄 • Suspend. と Resume. • …で、証明を一時中断してTopLevelに帰る

8. 対話型証明環境 (3) • 命題Pを型とするtermは、「命題Pの証明」であった。 • したがって、「命題Pを証明すること」 ＝ 「型Pを持つtermを具体的に構成すること」 • 「仮定(型環境) ├ t : ゴール」 を満たすterm t を対話的に構築する

9. Minimal Logic での証明 (1) • Product と Dependent Product のみの場合 • 使う tactic は、基本的には２つだけ • intro x • H├ A→Bを H,x:A ├ Bに • apply f • H,f:A→B├B’を H,f:A→B├A’に

10. Minimal Logic での証明 (2) • intro 変数名 • intros 変数名… • ゴールが (Dependent) Product の時、ゴールの前件を仮定にもってくる • apply 変数名 • apply 変数名 with (名:= term)… • (Dependent) Product 型を持つ変数を指定すると、その後件とゴールをunifyしてゴールを前件に書き換える

11. Minimal Logic での証明 (3) • 便利機能 • exact H. • apply H と同じ。Hの型がゴールと完全一致するとき使う • assumption. • 仮定の中のどれかが exact. • eapply H. • unify の結果、束縛が完全に決まらず変数が残ってしまう場合、エラーとせずに、変数を残してゴールを変形する。Prolog っぽい動作になる。

12. Minimal Logic での証明 (4) • 便利機能 • cut A • H├ Bを H├Aと H├A→Bに • generalize x • intro しすぎたときに「戻す」 • H,x:A├ Bを H,x:A ├ A→Bに • xがBでFreeならDependent, そうでなければ普通のProduct • generalize (Bのsubterm) という使い方もできる

13. Minimal Logic での証明 (5) • 便利機能 • SearchPattern • 例： SearchPattern (_ ∧_). • 指定したパターンにapply可能な定義のリストを表示 • Set Implicit Arguments. • Dependent Product の引数を省略しても推論してくれるようになるオプション。

14. 自動証明探索 (1) • auto • 「intro」と、「仮定のapply」を使ってひたすら探索 • eauto • autoでのapplyの代わりにeapplyを使う • trivial • auto 1. と同じ • 各tacticには「コスト」が設定されている。introは0, 仮定のapplyは1, …。

15. 自動証明探索 (2) • auto with ヒントデータベース • 仮定だけでなく、ヒントデータベースにある定理のapplyも試みるauto • Hint Resolve 定理名達 : データベース名 • データベースの作成 • Hint ～ ～ ～ ～ • で、apply以外のtacticも探索させられるらしい…

16. Inductive な定義と証明 (1) • Inductive な型定義 • こんな感じ Inductive nat : Set := | O : nat | S : nat -> nat. Inductive list (A:Set) : Set := | nil : list A | cons : A -> list A -> list A.

17. Inductiveな定義と証明 (2) • 同時に、帰納法の公理が定義される Inductive nat : Set := | O : nat | S : nat -> nat. nat_ind : forall P: nat -> Prop, P 0 -> forall n:nat, (P n -> P (S n)) -> forall n:nat, P n

18. Inductive な定義と証明 (3) • Inductive な命題の定義 (同様) • ev0 は even 0 の証明 • ev2 4 (ev2 2 ev0) は even 4 の証明 Inductive even : nat->Prop := | ev0 : even 0 | ev2 : forall n:nat, even n -> even (S(S n)).

19. Inductive な定義と証明 (4) • 同時に、帰納法の公理 even_ind : forall P: nat -> Prop, P 0 -> forall n:nat, (even n -> P n -> P SSn) -> forall n:nat, even n -> P n

20. Inductive な定義と証明 (5) • 基本的に使うtacticは、intro, apply ともう２つ • elim H. • H は変数名(仮定や定理の証明など)。 • H の型が Inductive T のとき、かなり賢く 「apply T_ind. 」してくれるtactic • pattern ; apply T_ind with …; try exact H. • case H. • T_ind を使わず、単純にInductive定義のコンストラクタごとに場合わけ。「帰納法の仮定」なし

21. Inductive な定義と証明 (6) • 便利機能 • induction H. • 「intro ; intro ; … ; elim H」 と同じ • intros [H1 H2 H3 …] • 「intro X; case X; intros H1 H2 H3 …」 と同じ • intros [H1 | H2 | H3 | …] • 「intro X; case X; (intros H1 | intro H2 | …)」 と同じ

22. Inductive な定義と証明 (7) • 便利機能 • constructor N. • 「apply N番目のコンストラクタ」 と同じ • split • 「constructor 1」 と同じ （コンストラクタ１個のとき専用） • left • 「constructor 1」 と同じ （コンストラクタ２個のとき専用） • right • 「constructor 2」 と同じ　（コンストラクタ２個のとき専用） • exists t • 「constructor 1 with t」 と同じ (１個専用)

23. Inductive な定義と証明 (8) • 便利機能 • discriminate H. • 仮定 H: A = B があって A と B が違うコンストラクタ • discriminate. • ゴールが ~(A=B). で A と B が違うコンストラクタ • injection H. • H:c x=c y├Gを H:c x=c y├x=y→Gに • inversion H. • H:P x のとき。P xの全ての可能なコンストラクタの前件を仮定にもってくる。１個もなければ証明終了。

24. Inductive な定義と証明 (9) • inversion なしで • ~(even 1)の証明 • forall n:nat, even n -> n<>1なら even_ind で証明できる • discriminate なしで • H:0=S 0 ├ False の証明 • (fun n:nat => match n with 0->True | S _-> False) (S 0) = Falseは証明できる。rewrite。

25. 論理演算子 (1) • Inductive True : Prop := • I : True. • Inductive False : Prop := . • Inductive and (A B: Prop) : Prop := • conj : A -> B -> and A B • Inductive or (A B: Prop) : Prop := • or_introl : A -> or A B • or_intror : B -> or A B. • Inductive ex (A:Type)(P:A->Prop) : Prop := • ex_intro : forall x:A, P x -> ex A P. • Inductive eq (A:Type)(x:A) : A->Prop := • refl_equal : eq A x x.

26. 論理演算子 (2) • Definition not (P:Prop) := P->False. • not に関する証明に便利な tactic. • apply False_ind. • ゴールをFalseに変える • absurd P. • ゴールがFalseのとき、それをPと~Pの２つに変える • contradiction • 現在の仮定の中から型がFalseのものを探す

27. 「＝」とreduction (1) • 「H : A = B」 のとき… • rewrite H. • ゴール内の A を B に置き換える • rewrite <- H. • ゴール内の B を A に置き換える • 実は elim H • rewrite H in H2. • 仮定H2内の A を B に置き換える

28. 「＝」とreduction (2) • unfold t. • ゴールの subterm t の定義を展開 • unfold t in H. • 仮定の subterm を unfold. • red. • ゴールが _→…→_→(c t … t) なら unfold c. • simpl. cbv… lazy… compute…. • がんばってδβιζ変換 • pattern t at 場所. • ゴールの t をラムダ抽象。tが複数あるときは指定できる

29. CoInductive な定義と証明 (1) • Inductiveな定義と文法はほぼ同じ • ただし帰納法のための公理は定義されない • Base Case がなくてもよい CoInductive Llist (A:Set) : Set := | Lnil : Llist A | Lcons : A -> Llist A -> Llist A.

30. CoInductive な定義と証明 (2) • 基本的に使うtacticは、intro, apply と • elim, induction は使えない • case, discriminate, injection, inversion は使える • cofix • 現在の(CoFixpointな述語による)ゴールを、そのまま仮定部にコピーする。ただし、その仮定は「apply コンストラクタ」の直下でしか使えない