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习题课二 算符

习题课二 算符. 1. 算符的定义. 转置算符：. 逆算符. 能唯一地解出 Ψ ，则可定义算符 A 的逆算符 A -1 为. 复共轭算符. 厄米共轭算符. 厄米算符. 2. 基本対易关系. 3. 算符的函数. 4. 厄米算符的性质 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数 在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符 厄米算符的本征值是实数 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交. 5. 不确定性关系. 共同本征函数. 的共同本征函数. 6. 对易子与厄米算符的计算性质. 练习.

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习题课二 算符

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  1. 习题课二 算符 1. 算符的定义 转置算符： 逆算符 能唯一地解出Ψ，则可定义算符A的逆算符A-1为 复共轭算符 厄米共轭算符 厄米算符 2. 基本対易关系

  2. 3. 算符的函数 4. 厄米算符的性质 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数 在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符 厄米算符的本征值是实数 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 5. 不确定性关系 共同本征函数

  3. 的共同本征函数 6. 对易子与厄米算符的计算性质

  4. 练习 1.证明： 或 2.证明： 3.证明 因为

  5. 4.证明： 证明： 与r无关 显然, 而 同理

  6. 则 而 同理 则

  7. 5.证明动能算符可表示成 是径向动量算符 证明：注

  8. 3.2解：对 对r·p有 是厄米算符 可以证明： 类似可证明： 均不是厄米算符

  9. 3.3证明：

  10. 若 同理可证

  11. 3.4证明：反对易关系 则 3.6 A, B为矢量算符，F为标量算符，则

  12. 3.7证明： 3.9证明：利用Jacobi恒等式 则有

  13. 3.10证明： 径向动量算符 (1) 利用 (2)

  14. 则 即 在球坐标下

  15. 则在球坐标下有 (3) 即 (4)

  16. 3.11 解：对一维谐振子有 因此有 在能量本征态下 由不确定性关系 则 令

  17. 得 代入(3)得 即振子的基态能量是 3.12证明：体系的Hamilton为 则 即 所以在离散能量本征态Ψ下

  18. 3.13证明：由不确定性度关系可知 则上式可化为 若 则

  19. 由上题可知，在离散的能量本征态下有 则 即 在离散的能量本征态下，坐标和能量虽不对易，但可同时 确定。 3.14证明： 设 由対易关系 得 则

  20. 3.15解： 按照3.14 有 则 因为 所以

  21. Note: 则 所以 所以

  22. 3.16 解：(a)lz的可能测值为 对应的概率分别是 (b)l2的可能测值是 对应的概率分别是

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