Л Е К Ц И Я (тема 3. 3.) ТЕМА: “ПОСТЪПАТЕЛНО И ВЪРТЕЛИВО ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО”

1. Л Е К Ц И Я(тема 3. 3.)ТЕМА: “ПОСТЪПАТЕЛНО И ВЪРТЕЛИВО ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО” • УЧЕБНИ ВЪПРОСИ: • 1. Теоретични основи на кинематиката на твърдо тяло. • 2. Транслационно движение – определение и свойства. • 3. Ротационно движение около постоянна ос – определение, скорости иускорения.

2. Постъпателно и въртеливо движение на твърдо тяло

3. Основни въпроси 1. Теоретични основи на кинематиката на твърдо тяло 1.1 Основна теорема на кинематиката на твърдо тяло. 1.2 Брой независими параметри определящи положението на тялото. 1.3. Подвижен триедър, неизменно свързан с тялото. 1.4. Посочни косинуси и връзката между тях. 1.5. Ойлерови ъгли. 1.6. Степени на свобода. 2. Транслационно движение 3. Ротационно движение около постоянна ос

4. z C M B A O y x 1.Теоретични основи на кинематиката на твърдо тяло1.1 Основна теорема в кинематиката на твърдо тяло “Достатъчно е да се познава движението само на три точки от тялото, за да можем да определим движението и на всяка друга негова точка.” Доказателство: (xM – xА) + (yM – yA) + (zM– zA) = a (xM - xB) + (yM – yB) + (zM – zB) = b (xM – zC) + (yM – yC) + (zM – zc) = c [1] Уравненията [1] съдържат 3 неизвестни, т.е. хм умzм, които могат да бъдат определени, а следователно и положението на произволната т.М. тялото е абсолютно твърдо и разстоянието между точките е постоянно. За определяне положението на тялото Т трябва да познаваме деветте координати: xA, yA, zA; xB, yB, zB; xC, yC, zC. c c b 2 2 2 2 b a 2 2 2 2 2 2 2 2

5. z C M B A O y x 1.2 Брой независими параметри, определящи положението на тялото в пространството Тези девет величини са свързани помежду си с три зависимости [2], които показват, че разстоянията АВ, АС, ВС (а1, b1, c1) остават непроменени с течение на времето. От тези три зависимости можем да определим три от деветте координати от останалите шест, така че положението на тялото в пространството се определя от (зависи от) шест параметъра. • (xA – xB) + (yA – yB) + (zA– zB) = a1 • (xA - xC) + (yA – yC) + (zA – zC) = b1 [2] • (xB – zC) + (yB – yC) + (zB – zC) = c1 c1 b1 a1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6. z1 y1 M О1 x1 1.3 Подвижен триедър, неизменно свързан с тялото • Можем да изучим движението на едно тяло, като използваме методите на аналитичната геометрия. • Избираме един правоъгълен триедър О1x1 y1 z1, неизменно свързан с тялото и се стремим да определим положението на този триедър във всеки момент t. • За тази цел е достатъчно да познаваме положението на т. О1 във функция на времето, т.е. координатите й xO1, yO1, zO1и деветте посочни косинуса на координатните оси на подвижната координатна система спрямо осите на неподвижната – О x y z. z O y x

7. 1.4 Посочни косинуси и връзката между тях. • Деветте посочни косинуси на осите О1x1, O1y1,O1z1 спрямо Оxyz са: λ1, μ1, ν1; λ2, μ2, ν2; λ3, μ3, ν3;. • Удобно е тези девет величини да бъдатподредени по следния начин: • От математиката е известно, че тези девет величини са свързани с шест зависимости: 2 2 2 λ1 + μ1+ ν1= 1, λ1 λ2 + μ1 μ2 + ν1 ν2 = 0, λ2 + μ2+ ν2 = 1, λ1 λ3 + μ1 μ3 + ν1 ν3 = 0, [3] λ3 + μ3+ ν3 = 1, λ3 λ2 + μ3 μ2 + ν3 ν2 = 0. Координатите на точка М (xM, yM, zM) спрямо неподвижната координатна система – триедъра O x y z – се дават със следните релации: xM= xo1 + xM1. λ1 + yM1. λ2 + zM1. λ3 yM= yo1 +xM1. μ1 + yM1. μ2 + zM1. μ3zM = zo1 + xM1. ν1 + yM1. ν2 +zM1. ν3 2 2 2 2 2 2

8. z O y x 1. 5 Ойлерови ъгли • Ойлер е показал, че деветте посочни косинуса могат да се изразят посредством 3 ъгъла, които в негова чест са наречени “Ойлерови ъгли” • За определяне положението на тялото се избират следните 6 параметъра: трите координати на т. О1 и трите Ойлерови ъгли. В точка О1 се построява координатна система с оси успоредни на XYZ – О1 ξ ηζ. Правата nе пресечница на равнината О1 ξ ηи равнината О1 X1Y1. • Ойлеровите ъгли са: • ψ = ξ^n – ъгъл на прецесията; • θ = ζ^z1 – ъгъл на нутацията; • φ = n^x1 – ъгъл на собственото въртене • ψ лежи в ξ ηиеперпендикулярна на ζ • θ лежи в ζz1и е перпендикулярна на n • φ лежи в X1Y1и е перпендикулярна на z1 ζ z1 y1 θ O1 η φ ψ ξ x1 Ойлеровите ъгли нарастват по посока, обратна на часовата стрелка. n

9. 1.6 Степени на свобода • Степени на свобода. • Положението на едно свободно движещо се тяло в тримерното пространство зависи от шест параметъра, на които можем да даваме произволни стойности. Казваме, че това движение е с (има) шест “степени на свобода”. Те могат да се изразят като три ротации и три транслации около трите оси на неподвижната координатна система. • Ако ограничим свободата на на движение на тялото, като му наложим някакви “връзки”, тогава броят на степените на свобода е по-малък. Така, ако тялото има постоянна (неподвижна) точка, тогава то има наложени 3 връзки (ограничения) – трите транслации по координатните оси и следователно 3 степени на свобода – три ротации около тези оси. Сумата на наложените ограничения и степените на свобода винаги е 6. Други примери ?

10. 2. Транслационно движение • 2.1 Определение • Тялото извършва транслационно движение, ако всяка негова права остава постоянно успоредна сама на себе си . • 2.2 Свойства на транслационното движение • всички точки на тялото описват еднакви криви, които могат да се получат една от друга чрез успоредно пренасяне • всички точки на тялото имат еднакви скорости и еднакви ускорения, т.е. ако познаваме движението (път, скорост, ускорение) на една точка от тялото, следва че познаваме движението на всички останали точки от тялото. • тялото няма ъглова скорост ω = 0

11. z O y x 3. Ротационно движение около постоянна ос. 3.1Определение: Тяло, на което са му наложени 5 (пет) ограничения (връзки) и има една степен на свобода – възможност за извършване на въртене около една от координатните оси – се движи ротационно. 3.2Свойства на ротационното движение: -Тялото има две постоянни точки О1 и О2, следователно има и постоянна ос О1О2, всички точки на която остават неподвижни по време на движение. -Всяка точка от тялото описва окръжност с център, лежащ върху оста на въртене. -Всяка равнина, образувана от оста на въртене и коя да е точка извън тази ос, извършва ротация с една и с една и съща ъглова скорост – тази на тялото ω. О2 О1 3.3 Скорости и ускорения VAi = ωx ri, vAi = ω.ri; посоката ? аАi = an + at; an = ω . r; at = є.r; посоката? ъгъл μ ? 2

12. Въпроси