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教学目的与要求： 1. 使学生深刻理解微分中值定理及分析意义与几何意义 . 2. 通过学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的 能力，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法 .

第四章微分中值定理及导数的应用 §4.1 中值定理. 教学目的与要求： 1. 使学生深刻理解微分中值定理及分析意义与几何意义 . 2. 通过学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的 能力，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法 . 3. 使学生学会应用中值定理研究函数在某区间上的某些整体 性质 . 如单调性，有界性等 . 重点： 中值定理 难点： 用辅助函数解决有关中值问题 . 课时： 2 学时. 定义 1. 1 、费马 (Fermat) 定理. 设函数 在点 的某领域 内有定义，并且.

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教学目的与要求： 1. 使学生深刻理解微分中值定理及分析意义与几何意义 . 2. 通过学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的 能力，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法 .

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  1. 第四章微分中值定理及导数的应用 §4.1中值定理 教学目的与要求： 1.使学生深刻理解微分中值定理及分析意义与几何意义. 2.通过学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的 能力，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法. 3.使学生学会应用中值定理研究函数在某区间上的某些整体 性质.如单调性，有界性等. 重点：中值定理 难点：用辅助函数解决有关中值问题. 课时：2学时

  2. 定义1

  3. 1、费马(Fermat)定理 设函数 在点 的某领域 内有定义，并且 在 处可导且 是的极值点， 那么

  4. 证：不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有 ，从而 当 有 当 有

  5. 根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到 所以

  6. 几何解释(如下图):

  7. 证明

  8. 3、拉格朗日(Lagrange)中值定理

  9. 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为

  10. 作辅助函数 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.

  11. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.

  12. 拉格朗日中值公式的几种表达形式 推论1 推论2

  13. 例1: 证: 由上式得

  14. 例2 证:

  15. 4、柯西(Cauchy)中值定理

  16. 几何解释: 作辅助函数 证

  17. 例3 分析: 结论可变形为 证

  18. gg

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