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第 4 讲

第 4 讲. 带电粒子在复合场中的运动. 一、带电粒子在复合场中运动的基本分析 1 ． 这里所说的复合场是指电场、磁场和重力场并存 ( 或其中某两场并存 ) 的区域，带电微粒在这些复合场中运动时，必须同时考虑受电场力，洛伦兹力和重力 ( 或其中某两种力 ) 的作用．. 2 ．常见的运动情况 (1) 当带电粒子在复合场中所受的合外力为 0 时，粒子将做 匀速直线运动或静止 . (2) 当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做 匀加 ( 减 ) 速直线运动 .

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第 4 讲

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  1. 第4讲 带电粒子在复合场中的运动

  2. 一、带电粒子在复合场中运动的基本分析 1．这里所说的复合场是指电场、磁场和重力场并存(或其中某两场并存)的区域，带电微粒在这些复合场中运动时，必须同时考虑受电场力，洛伦兹力和重力(或其中某两种力)的作用．

  3. 2．常见的运动情况 (1)当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止. (2)当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做匀加(减)速直线运动. (3)当带电粒子所受合外力充当向心力时，带电粒子做匀速圆周　运动．由于通常情况下，重力和电场力为恒力，所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛伦兹力充当向心力．

  4. (4)若带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则粒子将做变加速曲线运动，这类问题可以考虑从能量关系处理．

  5. 二、应用带电粒子在复合场中运动的典型仪器 1．速度选择器 如图8­4­1，粒子所受重力可忽略不计，运动方向相同而速率不同的正离子组成的离子束射入相互正交的匀强电场和匀强磁场所组成的场区中。 图8­4­1

  6. 2．磁流体发电机 如图8­4­2所示是磁流体发电机示意图，其原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差． 图8­4­2

  7. 3．电磁流量计 电磁流量计原理：如图8­4­3所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动，导电液体中的自由电荷(正负离子)在　洛伦兹力作用下横向偏移，上端a聚集负电荷，下端b聚集正电荷，a、b间出现电势差． 图8­4­3

  8. 1．“电偏转”和“磁偏转”有什么区别？ 解答：“电偏转”与“磁偏转”分别是利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向．由于磁场和电场对电荷的作用具备不同的特征，使得两种偏转也存在以下几个方面的差别．

  9. (1)受力特征的差别 在“磁偏转”中，质量为m，电荷量为q的粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中时，所受的磁场力(即洛伦兹力)FB＝qvB与粒子的速度v有关，FB所产生的加速度使粒子的速度方向发生变化，而速度方向的变化反过来又导致FB的方向变化，FB是变力． 在“电偏转”中，质量为m，电荷量为q的粒子以速度v0垂直射入电场强度为E的匀强电场中时，所受到的电场力FE＝qE与粒子的速度v0无关，FE是恒力．

  10. (4)动能变化的差别 在“磁偏转”中，由于FB始终与粒子的运动速度垂直，所以其动能的数值保持不变． 在“电偏转”中，由于FE与粒子的运动速度方向间的夹角越来越小，所以其动能将不断增大，且增大得越来越快．

  11. 2．如何处理带电粒子在复合场中的一般曲线运动？ 解答：(1)与洛伦兹力相关的曲线运动往往很复杂，无法用动力学的观点去处理，而从能量的角度分析，再抓住洛伦兹力不做功的特点，思路显得简捷、清晰． (2)由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．

  12. 1．带电粒子在复合场中的直线运动 例1：某空间区域存在匀强电场和匀强磁场，匀强电场的电场强度为0.5N/C，一带电量为q＝＋10－3C，质量为m＝3×10－5kg的油滴从高5m处落入该区域后，恰好做匀速直线运动(忽略空气阻力的作用)，求匀强磁场的磁感应强度的最小值．(重力加速度g＝10m/s2)

  13. 解析：带电油滴进入电场和磁场区域后做匀速直线运动，所以油滴处于受力平衡状态，油滴受力如图所示，由于进入场区时速度竖直向下，所以磁场力一定在水平方向上，与重力垂直，所以电场力只能沿斜上方，电场力F在水平方向的分力等于磁场力f，在竖直方向的分力等于重力G.解析：带电油滴进入电场和磁场区域后做匀速直线运动，所以油滴处于受力平衡状态，油滴受力如图所示，由于进入场区时速度竖直向下，所以磁场力一定在水平方向上，与重力垂直，所以电场力只能沿斜上方，电场力F在水平方向的分力等于磁场力f，在竖直方向的分力等于重力G.

  14. F＝qE＝0.5×10－3N＝5×10－4N ① mg＝3×10－4N ② 设F与竖直方向的夹角为θ，竖直方向上有 mg＝Fcosθ ③ 水平方向上有：f＝Fsinθ ④ ①②③④式可得：f＝4×10－4N

  15. 方法点拨：解决带电粒子在复合场中的直线运动问题，核心是理解和运用物体做直线运动的条件：合外力为零(做匀速直线运动)或合外力方向与速度方向相同(做加速直线运动)、合外力方向与速度方向相反(做减速直线运动)．方法点拨：解决带电粒子在复合场中的直线运动问题，核心是理解和运用物体做直线运动的条件：合外力为零(做匀速直线运动)或合外力方向与速度方向相同(做加速直线运动)、合外力方向与速度方向相反(做减速直线运动)．

  16. 变式训练1：(2009·北京)如图8­4­4所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场．一带电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O′点(图中未标出)穿出．若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相同初速度由O点射入，从区域右边界穿出，则粒子b( )

  17. A．穿出位置一定在O′点下方 B．穿出位置一定在O′点上方 C．运动时，在电场中的电势能一定减小 D．在电场中运动时，动能一定减小 图8­4­4

  18. 解析：a粒子要在电场、磁场的复合场区内做直线运动，则该粒子一定做匀速直线运动，故对粒子a有：Bqv＝Eq，即只要满足E＝Bv无论粒子带正电还是负电，粒子都可以沿直线穿出复合场区，当撤去磁场只保留电场时，粒子b由于电性不确定，故无法判断从O′点的上方或下方穿出，故AB错误；解析：a粒子要在电场、磁场的复合场区内做直线运动，则该粒子一定做匀速直线运动，故对粒子a有：Bqv＝Eq，即只要满足E＝Bv无论粒子带正电还是负电，粒子都可以沿直线穿出复合场区，当撤去磁场只保留电场时，粒子b由于电性不确定，故无法判断从O′点的上方或下方穿出，故AB错误； 粒子b在穿过电场区的过程中必然受到电场力的作用而做类平抛的运动，电场力做正功，其电势能减小，动能增大，故C项正确D项错误．

  19. 2．带电粒子在复合场中的匀速圆周运动 例2:(2010·安徽卷)如图8­4­5(1)所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场[如图8­4­5(2)所示]，电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．

  20. (1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小； (2)求电场变化的周期T； (3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值． 图8­4­5

  21. 3．带电粒子在复合场中的一般曲线运动 例3：如图8­4­7，与水平面成37°倾斜轨道AB，其延长线在C点与半圆轨道CD(轨道半径R＝1m)相切，全部轨道为绝缘材料制成且放在竖直面内．整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场．一个质量为0.4kg的带电小球沿斜面下滑，至B点时速度为vB＝ m/s，接着沿直线BC(此处无轨道)匀速运动到达C处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且刚好到达D点，从D点飞出时磁场消失，不计空气阻力，g＝10m/s2，cos37°＝0.8，求：

  22. (1)小球带何种电荷． (2)小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点距C点的距离． (3)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功． 图8­4­7

  23. 方法点拨：带电粒子在复合场中的一般曲线运动问题属于综合性很强的应用问题，解决这类问题的关键，一是要正确分析受力情况，特别要注意洛伦兹力的大小和方向会随速度的大小和方向的变化而变化；二是要正确分析运动情况，特别要注意洛伦兹力随速度变化后又要反过来引起运动状态的变化；三是要正确分析各个力的做功情况，特别要注意洛伦兹力在任何时候都不做功的特点．方法点拨：带电粒子在复合场中的一般曲线运动问题属于综合性很强的应用问题，解决这类问题的关键，一是要正确分析受力情况，特别要注意洛伦兹力的大小和方向会随速度的大小和方向的变化而变化；二是要正确分析运动情况，特别要注意洛伦兹力随速度变化后又要反过来引起运动状态的变化；三是要正确分析各个力的做功情况，特别要注意洛伦兹力在任何时候都不做功的特点．

  24. 例4：(2010·北京卷)利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图8­4­9(a)，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场B中，在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应．例4：(2010·北京卷)利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图8­4­9(a)，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场B中，在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应．

  25. 其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是c、f间建立起电场EH，同时产生霍尔电势差UH.当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，EH和UH达到稳定值，UH的大小与I和B以及霍尔元件厚度d之间满足关系式UH＝ RH，其中比例系数RH称为霍尔系数，仅与材料性质有关． (1)设半导体薄片的宽度(c、f间距)为l，请写出UH和EH的关系式；若半导体材料是电子导电的，请判断图8­4­9(a)中c、f哪端的电势高．

  26. (2)已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e，请导出霍尔系数RH的表达式．(通过横截面积S的电流I＝nevS，其中v是导电电子定向移动的平均速率)．

  27. (3)图8­4­9(b)是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着m个永磁体，相邻永磁体的极性相反．霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近．当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号图象如图8­4­9(c)所示．

  28. ①若在时间t内，霍尔元件输出的脉冲数目为P，请导出圆盘转速N的表达式． ②利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程．除此之外，请你展开“智慧的翅膀”，提出另一个实例或设想．

  29. (3)①由于在时间t内，霍尔元件输出的脉冲数目为P，则：P＝mNt 圆盘转速为N＝P/mt ②提出的实例或设想合理即可

  30. 方法点拨：应用带电粒子在复合场中的运动的仪器这类问题，虽然物理情境各不相同，但是设计原理都是一样的，都是利用电场力和洛伦兹力的作用．所以，运用相关物理规律，分析仪器的工作原理，明确工作过程，是解决这类问题的关键．方法点拨：应用带电粒子在复合场中的运动的仪器这类问题，虽然物理情境各不相同，但是设计原理都是一样的，都是利用电场力和洛伦兹力的作用．所以，运用相关物理规律，分析仪器的工作原理，明确工作过程，是解决这类问题的关键．

  31. 变式训练4：如图8­4­10所示，电容器两极板相距为d，两板间电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B1，一束电荷量相同的带正电的粒子从图示方向射入电容器，沿直线穿过电容器后进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场，结果分别打在a、b两点，两点间距离为ΔR.设粒子所带电荷量为q，变式训练4：如图8­4­10所示，电容器两极板相距为d，两板间电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B1，一束电荷量相同的带正电的粒子从图示方向射入电容器，沿直线穿过电容器后进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场，结果分别打在a、b两点，两点间距离为ΔR.设粒子所带电荷量为q， 且不计粒子所受重力．求：打在 a、b两点的粒子的质量之差 Δm是多少？ 图8­4­10

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