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高等数学

高等数学. (Advanced Mathematics). 数学是科学的大门和钥匙. — 培根. 注：该课件针对同济大学应用数学系编著的 《 微积分 》 （上、下）（面向 21 世纪课程教材）. 理工科高等数学教学参考书：.  1 、 George B. Thomas 等， 《 托马斯微积分 》 （第 10 版）（上、下），高教出版社， 2004. 2 、 Peter V. O’ Neil ， 《 高等工程数学 》 （第 5 版） （上、下册），高教出版社， 2004.

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  1. 高等数学 (Advanced Mathematics) 数学是科学的大门和钥匙. — 培根 注：该课件针对同济大学应用数学系编著的《微积分》 （上、下）（面向21世纪课程教材）

  2. 理工科高等数学教学参考书：  1、George B. Thomas 等，《托马斯微积分》 （第10版）（上、下），高教出版社，2004 2、Peter V. O’ Neil，《高等工程数学》（第5版） （上、下册），高教出版社，2004  3、R.柯朗， F. 约翰，《微积分和数学分析引论》第一卷（1-3册)，科学出版社，2001  4、R.柯朗， F. 约翰，《微积分和数学分析引论》第一卷（1-2册），科学出版社，2001

  3. 5、同济大学数学教研室，《高等数学》（第4版）（上、下册），等教育出版社，19985、同济大学数学教研室，《高等数学》（第4版）（上、下册），等教育出版社，1998 6、同济大学数学应用数学系，武汉科技学院数理系，《微积分》学习指导书，高教育出版社，2001 7、同济大学数学应用数学系，《高等数学 习题集》，高等教育出版社，1996 8、同济大学数学应用数学系，《微积分》 （上、下册），高等教育出版社，1999

  4. 9、钱本昌，《高等数学解题过程的分析和研究》，科学出版社，19969、钱本昌，《高等数学解题过程的分析和研究》，科学出版社，1996 10、菲赫金哥尔茨， 《微积分教程》第一卷（1－3分册），高等教育出版社，1956 11、菲赫金哥尔茨，《微积分教程》第二卷（1－3分册），高等教育出版社，1956 12、菲赫金哥尔茨， 《微积分教程》第三卷（1－3分册），高等教育出版社，1956

  5. 13、张荫南等， 《高等数学》，高等教育出版社，2000 14、萧树铁等，《数学实验》，高等教育出版社，1999 15 、王丽燕等, 《高等数学》，大连理工大学出版社，2002 16、李心灿等， 《高等数学概观》，知识出版社，1989 17、施吉林等，《实验微积分》，高等教育出版社，施普林格出版社，2001

  6. 大学文科数学教学参考书： 1、E. 克拉默著，周仲良等编译, 《大学数学》，复旦大学出版社，1987 2、魏文展，《文科高等数学基础》，华东师范大学出版社，2002  3、萧树铁等，《大学数学》（一、二），高等教育出版社，2000

  7. 第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 (function and limit) 第一节 映射与函数 ( set ) 集 合 映 射 ( mapping ) 函 数 ( function ) 小结 思考题 作业

  8. 映射与函数 一、集合 1. 集合(set)概念与记号 集合 (集) 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该 元素 (简称元) 集合的 元素(element). 通常以大写字母 等表示集合, 以小写字母 等表示集合的元素. 记作 或 否则记

  9. 映射与函数 有限集 只含有限个元素; 集合分类 无限集 不是有限集的集合. 列举法 有限个元素 表示集合方法有两种 描述法 把集合的全部元素一一列出来, 外加花括号. 例 考察由下列元素 组成的集合 可以用列举法将其表示成 列举法有很大的局限性. 例如，xOy平面上适合方程 的点(x,y) 的全体组成的集合，无法用列举法表示

  10. 映射与函数 例 由方程 的根组成的集合 由不超过 如: 的奇数组成的集合, 可用列举法表示为 其元素有50亿个, 要把它们全部写出来, 得用 也可用描述法表示为 很多时间, 且有很多集合, 其元素是 很多纸张! 不可数的, 根本无法一一罗列出来. 更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合, 就是 描述法. 花括号中竖线前的x 是 M 中元素的通用符号, 而竖线后 则是 x 所具有的性质.

  11. 映射与函数 注 “　” “　” N N+ Z 对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上: 数集内排除0的集. 数集内排除0与负数的集. 全体非负整数即自然数的集合 即 N, 全体正整数的集合为 即 全体整数的集合记作 Z,

  12. 映射与函数 R, Z, N+ 全体有理数的集合 即 记作Q, Q 全体复数的集合记作 C, 即 C 全体实数的集合 记作R, R＊为排除0的实数集, R+为全体正实数的集.

  13. 映射与函数 2. 集合(set)的关系及集合的运算 (1) 集合的关系 子集 两个集合 一般地, 则称 记作 子集, 或 (读作B包含A). (读作A包含于B) 集合相等 则称 记作 集合A与B相等, 如 则

  14. 映射与函数 真子集 则称 真子集, 记作 如 Q R. N Z 空集 不含任何元素的集合称为 空集. 如 规定 今后在 空集为任何集合的子集. 一般都是 提到一个集合时, 如不加特别声明, 非空集.

  15. 映射与函数 2. 集合(set)的关系及集合的运算 (2) 集合的运算 并集, 集合的基本运算有三种: 交集, 差集. 或者属 由所有属于A 设 A, B 是两个集合, 于B元素 组成的集合, 并集, 称为A与B的 记作 A∪B , 即 A∪B

  16. 映射与函数 集合的基本运算有三种: 并, 交, 差. 由所有既属于A 又属于B元素 组成的集合, 称为A与B的 记作 交集, A∩B, 即 A∩B 推广 两个集的并与交可推广到任意多个集 并与交. 由所有属于A 而不属于B的元素 组成的集合, 称为A与B的 差集, 记作 即

  17. 映射与函数 注 例如, 则 A∩B A∪B 研究某个问题时所考虑的对象的全体 全集或基本集, 并把差积 称为 并用 I 表示, 特别称为A的 余集或补集. 记作 集合 例如, 在实数集R中, 的余集

  18. 映射与函数 3. 集合(set)的运算法则 为任意三个集合, 则下列法则成立: (1) 交换律 A∪B =B∪A, A∩B =B∩A ; = A ∪( B ∪C ) , ( A∪B ) ∪C (2) 结合律 ( A∩B ) ∩C = A ∩( B ∩ C ) ; (3) 分配律 ( A∪B )∩C = ( A ∩ C )∪( B ∩ C ) , = ( A ∪C ) ∩( B ∪ C ) ; ( A∩B )∪C (4) 对偶律 (A∪B)C = AC ∩ BC , (A∩B)C = AC ∪BC ;

  19. 映射与函数 A∪ A∩ = 法国数学家、哲学家(Descartes 1596~1650年) (5) 幂等律 A∪A = A, A∩A = A; = A, (6) 吸收律 4. 直积 (乘积集或笛卡儿乘积) 设 A,B 是两个集合, 则称 为 A, B 的 直积. 如, 又如, 即为xOy面上 全体点的集合, 常记作 即

  20. 映射与函数 5. 区间(interval) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. 称为 开区间, 闭区间, 称为

  21. 映射与函数 称为 半开半闭区间. 有限区间 无限区间 全体实数的集合R也可记作 是无限区间.

  22. 映射与函数 注 区间长度的定义 称为区间的 两端点间的距离(线段的长度) 长度. 今后在不需要辨明所论区间是否包含 有限区间、 简单地 端点、 无限区间的场合, 称它为 “区间”, 常用I 表示.

  23. 映射与函数 3. 邻域(neighbourhood) 数集 邻域, 记作 即 几何表示

  24. 映射与函数 有时简记为 去心(空心) 即 两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形 区域. 如, 即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 和闭区间 轴上的投影分别为闭区间

  25. 映射与函数 “ ” “ ” 4. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号 Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写 表示 “任取 ”, 或“任意给定”. 表示 “存在 ”,“至少存在一个”, 或“能够找到”. 如实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样叙述的: 任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个 自然数n, 用逻辑符号 练习 将阿基米德公理改写:

  26. 映射与函数 “ ” “ ” 符号 表示 “蕴含 ”,或 “推出”. 符号 表示 “等价 ”,或 “充分必要”. 5. 绝对值(absolute value) 运算性质 绝对值不等式

  27. 映射与函数 二、映射 (mapping) 定义域 即 记 1. 映射概念 定义 如果存在 设 X、Y 是两个非空集合, 一个法则f , 使得对 通过f , 在Y中有唯一 确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X到 Y 的映 记作 射 (或算子), 并记作 即 并称y为x(在映射f下)的 像, x称为y的 原像.

  28. 映射与函数 注 三个要素: (1) 构成一个映射必须具备以下 ① 集合X, 即定义域 ② 集合Y, 即值域的范围: 有唯一确定的 对应法则f , 使对 ③ 与之对应. (2) 对 元素 x 的像y是唯一的; 而对 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 是Y 的一个子集, 不一定

  29. 映射与函数 2. 几类重要映射 设映射 值域 即Y 中任一元素y 都是X中某 元素的像, 则称f 是 满射. 若 必有 则称f 是 单射. 若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是 一 一 映射 (或双射).

  30. 映射与函数 例 设 对应关系: 对定义域内的任一x , 既非满射, 又非单射; 满射, 非单射; 单射, 非满射; 满射, 单射, 即为一一映射.

  31. 映射与函数 练习 (1) 如图, 令由X 到Y 的对应关系为 则f 是一个从X 到Y 的映射. 满射, 单射, 即为一一映射. (2) 令 则f 是一个从X 到Y 的映射. 满射, 单射, 即为一一映射.

  32. 映射又称为 算子。 根据集合X、Y的 不同情形, 在不同的数学分支中,映射 又有不同的惯用名称 非空集X到数集Y的映射称为 泛函 非空集X到它自身的映射称为 X上的变换 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为 定义在X上的函数

  33. 映射与函数 必有 则称f 是 单射. 2. 逆映射与复合映射 设有单射 则由定义, 适合 可定义一 有唯一的 于是, 的新映射g, 即 个从 规定 这 x 满足 记作 这个映射g称为 f 的逆映射, 其定义域 值域

  34. 映射与函数 2. 逆映射与复合映射 设有两个映射 由 其中 可确定出从 X到Z 的一个 它将 映成 对应法则, 显然 这个对应法则是从 X到Z 的一个映射, 此映射称为由g和f 构成的 复合映射, 记作 即

  35. 映射与函数 例 设有映射 和映射 则映射g和f 构成的复合映射 有

  36. 映射与函数 注 三、函数(function) 1.常量(constant quantity)与变量(variable) 在某过程中数值保持不变的量称为 常量; 而在过程中数值变化的量称为 变量. 一个量是常量还是变量,不是绝对的, 而是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法: 在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量.

  37. 映射与函数 初等数学,就其总体来说是 “常量的数学”, 从现在开始, 进入变量的数学 ——微积分.

  38. 映射与函数 2. 函数概念 设数集 定义 则称映射 通常简记为 为定义在D上的函数, 定义域(domain) 因变量 自变量 总有唯一 定义中, 按对应法则f , 确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的 函数值, 记作 函数关系 range 函数值 全体组成的集合称为 函数f 的值域, 记作 即

  39. 映射与函数 注 (1) 含义的区别. 自变量x和因变量y之间的对应法则; 与自变量x对应的函数值; 定义在D上的函数, 应理解为由它所确定的函数f. (2) 函数的记号: 除常用的f 外, 可任意选取, 如 等, 相应地, 函数可记作: 等, 也可记作: 在同一个问题中, 讨论到几个不同的函数时.

  40. 映射与函数 (3) 对应的函数值y总是唯一的, 这种函数称为 单值函数, 否则称为 多值函数. 如 约定: 是多值函数, 它的两个单值支是: 今后无特别说明时, 函数是指单值函数. (4) 构成函数的 两个要素: 定义域 与对应法则f . 如 是两个不同的函数. (因为定义域不同).

  41. 映射与函数 的 这是由 (5) 函数的表示法只与定义域和对应法则有关, 而与用什么字母无关, 即 无关特性, 简称函数表示法的 表达式求解 的有效方法. 练习 答案

  42. 映射与函数 练习 解 利用函数表示与变量字母无关的特性. 代入原方程得 令 即 代入上式得 令 即 三式联立

  43. 映射与函数 定义域一般有两种: (1) 实际问题(几何或物理问题); 由问题的实际意义所确定. (2) 在纯数学的研究中 (函数由一个公式 自变量所能取的使算式有意义的一切 表示的). 实数组成的集合, 这种定义域称为 自然定义域. 函数的定义域常用区间来表示, 又可称为: 定义区间.

  44. 映射与函数 例 求下列函数的定义域: 定义域是 解 定义域是

  45. 映射与函数 常用的函数关系表示法 是多种多样的. 公式法(解析法); 主要有三种形式 图形法; 表格法. 各种表示法,都有其优点和不足. 也可用语言描述. 公式法(解析法) 便于进行理论分析和计算; 图形法 形象直观,富有启发性,便于记忆; 表格法 便于查找函数值, 但它常常是不完全的. 今后以公式法为主, 配合使用图形法和表格法.

  46. 映射与函数 函数的图形(图象) 取自变量在横轴上 在平面直角坐标系中, 因变量在纵轴上变化, 则函数的图形是指 变化, 中的集合 平面点集: 通常是一条或几条 曲线(包括直线).

  47. 映射与函数 我国部分工薪人员应纳多少税 例 按国家规定,个人月收入x不超过880元不纳税, 超过880元而小于1380元的部分按 5％纳税,而 超过1380元小于2000元的部分按 10％纳税,则 个人月收入x与交纳所得税 y 的函数关系为 除了可用一个数学式子表示函数外,有些函数随着自变量取不同的值, 函数关系也不同, 这种函数称为 分段函数.

  48. 映射与函数 例

  49. 映射与函数 几个今后常引用的函数 例 绝对值函数 定义域 值域

  50. 映射与函数 例 符号函数 值域 定义域 对 有 或

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