제 3 장 관계 (Relations)

제3장 관계 (Relations) • 이항 관계 (Binary Relations) • 관계의 표현 (Representation of Relations) • 합성 관계 (Composite Relation) • 관계의 성질 (Properties of Relation) • 동치 관계와 분할 (Equivalence Relations and Partitions) • 순서 관계 (Order Relations)

R 3.1 이항 관계 (Binary Relations) 두 집합 A, B 에 대하여 A로부터 B로의 이항 관계 R은 두 집합의 곱집합 A  B 의 부분 집합이다. A  B 의 원소인 순서쌍 (a, b)가 주어졌을 때, aRb는 (a, b)  R의 필요 충분 조건이다. • a R b  (a, b)  Ra b  (a, b)  R • 정의역(domain) • 관계 R 의 순서쌍에서 모든 첫 번째 원소의 집합: dom(R) • Dom(R) = {a | (a, b)  R}  A • 치역(range) • 모든 두 번째 원소의 집합: ran(R) • Ran(R) = {b | (a, b)  R}  B 정의 3.1 두 개의 원소로 구성된 순서쌍(ordered pair)의 집합

기본 개념(계속) • 예제 3.1, 3.2 풀이 [예제 3.3] 두 집합 A={a, b}, B={1, 2}일 때 를 구하고, A 에서 B 로의 관계를 모두 나타내어라. [풀이] 의 모든 부분집합이 A 에서 B 로의 관계이므로 모든 관계의 수는 24=16

역관계 (Inverse Relation) <정의 3.2> 관계 R에 대한 역관계는 R-1로 표기하고, 순서쌍 (a, b)  R 일 때(b, a)  R-1이다. R-1 = {(b, a) | (a, b)  R} • [예제 3.4] 두 집합 A={1, 2, 3}, B={3, 4}에서 관계 R ={(1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}일 때 관계 R 의 역관계 R-1 을 구하여라. [풀이] R-1={(3, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)} 정의 3.2

3.2 관계의 표현 (Representation of Relations) • 관계의 표현 방법 • 서술식 방법 • 예) 집합 A={1, 2, 3}에서 원소 a, b가 a>=b인 관계 R • 나열식 방법 • 예) R = { ((1, 1), (2, 1), (2, 2), (3,1), (3, 2), (3, 3) } • 순서쌍의 원소들간의 관계를 그래프로 표현하는 방법 • 화살표 도표 • 좌표 도표 • 방향 그래프 • 관계행렬

화살표 도표(Arrow Diagram) • 화살표 도표 • a A, b B이고 (a, b)  R 일 경우 집합 A에 있는 원소 a에서 집합 B의 원소 b 로 화살표를 그려서 관계를 표현한다. <예제3.5> 집합 A = {1, 2, 3, 4}, 집합 B = {a, b, c}라 하고 그들 사이의 관계 R = {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, c), (4, b)}일 경우, 관계 R을 화살표 도표를 이용하여 나타내어라. <풀 이> 예제 3.5

좌표 도표(Coordinate Diagram) • a A, b B이고 (a, b)  R일 경우 집합A의 원소를 x축 위의 점으로 표시하고 집합 B의 원소를y축 위의 점으로 생각하여 a와 b가 만나는 곳에 점으로 표시한다. <예제3.6> A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4}이고, 집합 A에서 집합 B로의 관계 R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 3)}일 때, 관계 R을 좌표 도표를 이용하여 표시하여라. <풀 이> 예제 3.6

2 3 4 1 5 방향 그래프 (Directed Graph) • 관계 R이 두 집합 사이의 관계가 아니고 하나의 집합에 대한 관계일 때 집합 A의 각 원소를 그래프의 정점(vertex)으로 표시 (a, b)  R일 경우 a에서 b로 화살표가 있는 연결선(edge)으로 표현 • 루프(loop) • (a, a)가 관계일 때 a 에서 a 로 그리게 되는 에지 <예제3.7> 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}이고, 관계 R = {(a, b) | a>b, a, b  A}이라 할 때, 관계 R에 대한 방향 그래프를 그려라.  예제 3.8 <풀 이> 예제 3.7

2 4 6 1 1 1 0 M = 2 1 0 0 3 0 1 1 관계 행렬 • A = {a1, a2, ..., an} B = {b1, b2, ..., bm} M[i, j] = 1 if (ai, bj)  R 0 if (ai, bj)  R <예제3.9> 집합 A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}에 대한 관계 R의 순서쌍들의 집합이 다음과 같다.R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 4), (3, 6)}관계 R을 관계 행렬로 표현하여라.  예제 3.10<풀 이> { 예제 3.9

3.3 합성 관계 (Composite Relation) <정의 3.3> 합성 관계 세 집합 A, B, C에서 R1 A  B, R2  B  C라 하면, 집합 A에서 집합 C로의 합성 관계 R1R2또는R1 R2는 다음과 같이 정의된다.R1R2 = {(a, c) | aA, c C, (a, b)  R1이고 (b, c)  R2} <예제3.11> 집합 A, B, C가 각 각 A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, C = {x, y, z} 이고, 집합 A에서 집합 B로의 관계를 R, 집합 B에서 집합 C로의 관계를 S라 한다. R과 S가 다음과 같을 때 합성 관계 R·S를 화살표 도표를 사용하여 나타내어라. R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a), (4, b), (4, c)} S = {(a, x), (b, y), (c, x), (c, z)} 정의 3.3 예제 3.11

합성관계(계속) • 관계행렬을 이용한 합성관계  예제 3.12 R  S R  S

<예제3.13> 집합 A = {a, b, c, d}이고 , A에 대한 관계 R이 R = {(a, c), (b, b), (b, d), (c, b), (d, a) } 일 때 R·R을 관계 행렬을 이용하여 구하여라. 방향그래프로 그리면?? 예제 3.13

<정의 3.4> Rn n  1일 때 Rn은 다음과 같이 정의한다.Rn = R if n = 1 R·Rn-1 if n > 1 <예제3.14> 집합 A = {1, 2, 3, 4}에 대한 관계 R이 다음과 같이 주어졌 을 때 R2와 R3를 구하여라.R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}<풀 이> 관계 R에 대한 방향 그래프를 그리면 이 된다. 정의 3.4 예제 3.14

R2와 R3는 각 정점에서 길이가 2 또는 3인 경로를 갖는 정점을 찾아서 화살표를 가진 연결선으로 이어 주면 된다. R2와 R3에 대한 방향 그래프는 아래와 같다.

<정리 3.1>집합 A에 대한 관계를 R이라 하면 다음이 성립한다. ( 1 ) Rx Ry = Rx+y ( 2 ) (Rx )y = Rxy , x, y N <정리 3.2> 집합 A, B, C, D에서 R이 A에서 B로의 관계, S가 B에서 C로의 관계, 그리고 T가 C에서 D로의 관계를 나타낼 때 다음의 두 식이 성립한다. ( 1 ) R • ( S• T ) = ( R • S ) • T ( 2 ) ( R • S ) -1= S -1 • T -1 정리 3.1 정리 3.2

항등 관계 (Identity relation) <정의3.5>집합 A에 대한 항등 관계 IA는 다음과 같이 정의된다.IA = {(a, a) | aA} IAR = RIB = R <예제3.15> A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}이고, 집합 A에서 집합 B로의 관계가 R과 S로 나타내어진다.R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 2)} S = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}이 경우 다음을 구하여라. (1) IA (2) IB (3) IAR (4) R·S (5) (R·S)-1 (6) (R·S)·R 정의 3.5 예제 3.15

3.4 관계의 성질 (Properties of Relation) • 집합 A 에 대한 관계 R • 반사관계(Reflexive relation) • 모든 a∈A 에 대하여 aRa 일 때의 R • 비반사관계(Irreflexible relation) • 모든 a∈A 에 대하여 일 때의 R • 대칭관계(Symmetric relation) • 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb이면 bRa일 때의 R • 반대칭관계(Antisymmetric relation) • 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb이고 bRa이면 a=b일 때의 R • 추이관계(Transitive relation) • 모든 a, b, c∈A에 대하여 aRb이고 bRc이면 aRc일 때의 R

3.4 관계의 성질 (Properties of Relation) <정의 3.6> 반사 관계(Reflexive relation) 집합 A에 있는 모든 원소 x에 대하여 xRx이면, 즉 (x, x) R이면 관계 R을 반사 관계라고 한다. • 그림 3.2 정의 3.6

비반사 관계 (Irreflexive relation) • 집합 A의 모든 원소 aA에 대하여 (a, a) R인 관계 <예제3.18> A = {a, b, c}이고 관계 R1과 R2가 다음과 같을 때 이 관계가 반사 관계인지 비반사 관계인지를 구분하여라. (1) R1 = {(a, b), (a, c), (b, a), (c, a), (c, b)} (2) R2 = {(a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}<풀 이> (1) R1의 경우는 (a,a), (b,b),혹은 (c,c)의 순서쌍이 포함되어 있지 않으므로 비반사 관계이다. (2) R2의 경우는 (b,b)와(c,c)가 포함되어 있으나 (a,a)가 포함되어 있지 않으므로, 반사 관계도 비반사 관계도 아니다. 예제 3.18

대칭 관계 (Symmetric relation) <정의 3.7> 집합 A에 있는 원소 x, y에 대하여 (x, y)  R일 때 (y, x)  R이면 관계 R을 대칭 관계라고 한다. • <그림 3.3> <예제3.19> x, y가 자연수의 집합 N의 원소일 때 다음의 관계들이 대칭 관계인지 아닌지를 구별하여라. (1) R1 = {(x, y) | x  N, y  N, x + y = 20} (2) R2 = {(x, y) | x  N, y  N, x  y} (3) R3 = {(x, y) | x  N, y  N, x = y} 정의 3.7 예제 3.19

반대칭 관계 (Antisymmetric relation) <정의 3.8>집합 A에 있는 모든 원소 x, y에 대하여 (x, y)  R이고 (y, x)  R일 때 x = y인 관계를 만족하면, 관계 R을 반대칭 관계라고 한다. <예제3.20> 다음의 관계들이 반대칭 관계인지 아닌지를 구별하여라. (1) R1 = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 4)} (2) R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 1)} (3) R3 = {(a, b) | a N, b N, a  b}<풀 이> (1) R1의 경우는 a b 일 때, (a,b)  R1 이면, (b,a)R1이므로, 반대칭 관계이다. (2) R2의 경우는 (1, 3) R2 이고, (3, 1) R2 이나 1  3이므로, 반대칭 관계가 아니다. (3) R3의 경우는 a =b 일 때, (a,b)  R3 가 되고, a b 일 때, (a,b)  R3 이면, (b,a)R3이므로, 반대칭 관계이다 정의 3.8 예제 3.20

추이 관계 (Transitive relation) <정의 3.9>집합 A에 있는 원소 x, y, z에 대하여 관계 R이 (x, y)  R이고 (y, z) R이면 (x, z)  R인 관계를 만족하면 관계 R을 추이 관계라고 한다. <예제3.21> 다음의 방향 그래프로 표현된 관계들이 추이 관계인지를 구별하여라. 정의 3.9 예제 3.21

1 2 3 4 1 1 1 0 0 M = 2 1 1 0 0 3 0 0 1 1 4 0 0 1 1 <예제3.22> 집합 A = {1, 2, 3, 4}일 때 다음의 관계들에 대하여 그 관계가 반사, 대칭, 반대칭, 추이 관계인지를 구별하여라. (1) R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} (2) R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)} (3) (4) R4 예제 3.22

반사 클로우저(reflexive closure) • 반사 클로우저 (reflexive closure) • 관계 R 을 포함하고 반사적이며, R 이 포함된 모든 반사관계 안에 포함됨 • R 이 집합 A 에 대한 관계일 때 R 의 반사클로우저 • [Example] 집합 A={a, b, c, d}에 대한 관계 R={(a, b), (a, c), (c, b), (d, a), (d, d)}의 반사클로우저를 구하여라. [풀이] {(a, b), (a, c), (c, b), (d, a), (d, d)}∪{(a, a), (b, b), (c, c)} ={(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (c, b), (c, c), (d, a), (d, d)}

대칭 클로우저(symmetric closure) • 대칭클로우저(symmetric closure) • 관계 R 을 포함하고 대칭적이며, R 이 포함된 모든 대칭관계 안에 포함됨 • R 이 집합 A 에 대한 관계일 때 R 의 대칭 클로우저 • [Example] 집합 A={0, 1, 2, 3}에 대한 관계 R={(0, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}의 대칭클로우저를 구하여라. [풀이] {(0, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}∪{(1, 0), (2, 1)} ={(0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}

추이 클로우저(Transitive closure) • 관계 R의 추이 클로우저 (transitive closure) : R* • 임의의 정점에서 적어도 길이가 하나 이상인 경로로 도달할 수 있는 정점들의 집합 R* = Rn = R  R2  R3  ... <예제3.23> 집합 A = {1, 2, 3, 4}이고 관계 R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4)}일 때 R2와 R*를 구하여라.<풀 이> R2= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 4)} R*= R  R2 R3 …이므로, R*= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 이다.   i=1 예제 3.23

3.5 동치 관계와 분할 <정의3.10> 동치 관계 • 관계 R이 반사적, 대칭적, 추이적일 때 이를 동치 관계라고 한다. • 반사관계: 모든 a∈A 에 대하여 aRa 일 때의 R • 대칭관계: 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb이면 bRa일 때의 R • 추이관계: 모든 a, b, c∈A에 대하여 aRb이고 bRc이면 aRc일 때의 R <예제3.24> 집합 A = {1, 2, 3, 4}이고 A에 대한 관계가 다음과 같다.R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}R이 동치 관계임을 보여라. <예제3.25> 집합 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}이고 R = {(x, y)  SS | x -y는 2로 나누어 진다}일 때, 관계 R이 동치 관계임을 보여라. 정의 3.10 예제 3.24 예제 3.25

동치류 (Equivalence classes) 집합 A에 대한 동치 관계를 R이라 하면, 집합 A의 각 원소x에 대하여 [x]를 R에 대한 x의 동치류라 하 고 [x] = {y | (x, y)  R} 로 정의한다. • 몫집합(quotient set): • 집합 A의 동치류의 모임 A / R = {[x] | x  A} <예제3.26> 집합 S와 그에 대한 관계 R이 예제3.25와 같을 때 각 원소의 동치류를 구하고, 몫집합 S / R 을 구하여라. 정의 3.11 예제 3.26

[Example] 관계 R1, R2가 동치관계인지 판별하고, 동치관계일 경우 동 치류를 구하여라. (1) 집합 {1, 2, 3, 4}에 대한 관계 R1={(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)} (2) 집합 {1, 2, 3, 4, 5}에 대한 관계 R2={(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} [풀이] (1) 동치관계 동치류: [1]=[3]={1, 3}, [2]=[4]={2, 4} (2) 동치관계 동치류: [1]=[3]=[5]={1, 3, 5}, [2]={2}, [4]={4}

분할 (Partitions) <정의3.12>공집합이 아닌 집합 A의 분할은 A의 부분 집합의 모임 {A1, A2, ..., An}을 말하며, 다음 조건을 만족시킨다. (1) Ai , 1 i  n (2) A = Ai (3) Ai  Aj = , i  j <예제3.27> A = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A의 부분 집합이 A1 = {1}, A2 = {2, 3, 5}, A3 = {4}일 때 이들이 집합 A의 분할이 되는 지를 밝혀라. <정리 3.3>집합 A에 대한 동치 관계가 R일 때 A의 몫집합 A / R은 집합 A의 분할 이다. 정의 3.12 n  i=1 예제 3.27 정리 3.3

3.6 순서 관계 (Order Relations) <정의 3.13> 부분 순서 관계(partially ordered relation, partial order) 집합 A에 대한 관계 R이 반사 관계, 반대칭 관계, 추이 관계가 성립하면 관계 R을 부분 순서 관계라 한다. • 반사관계 : 모든 a∈A 에 대하여 aRa 일 때의 R • 반대칭관계 : 모든 a, b∈A 에 대하여 aRb이고 bRa이면 a=b일 때의 R • 추이관계: 모든 a, b, c∈A에 대하여 aRb이고 bRc이면 aRc일 때의 R • R이 A에 대한 부분 순서 관계이면 순서쌍 (A, R)을 부분 순서 집합(partially order set, paset)이라 한다. <예제3.29> 다음의 관계들이 부분 순서 관계임을 보여라. (1) 자연수의 집합(N)에 대한 관계 (2) 집합 S의 부분 집합간의 포함 관계  정의 3.13 예제 3.29

부분순서관계(계속) • 부분순서관계는 관계 ≤를 일반화하는 것 • 집합 A 에 대한 관계 R 이 부분순서관계일 때 (a, b)∈R 을 나타내기 위해서 ‘ ’를 사용하여 라고 나타냄 • ‘a가 b보다 우선한다(a precedes b)’라는 의미 • 비교 가능 집합 A 에 대한 관계 R 이 부분순서관계고 a, b∈A 일 때 • 또는 이면 a와 b는 비교가능(comparable) • 또는 이면 a와 b는 비교불가능(noncomparable)

부분순서관계 • 선형 순서 집합(linearly ordered set) • 집합 A의 모든 두 원소가 비교 가능한 집합 • 선형순서관계(linear order relation) • 집합 A 에 속하는 원소들의 모든 쌍이 비교가능할 때의 R <예제3.30> 부분 순서 집합 (N, )에서 자연수 2와 5는 비교 가능한가? 또, 7과 4는 비교 가능한가? <풀 이> 2  5이기 때문에 2와 5는 비교 가능하다. 4  7이기 때문에 7과 4 역시 비교 가능하다. 예제 3.30

4 4 4 4 3 3 3 3 1 3 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 하세 도표 반사제거 추이제거 하세 도표 (Hasse diagram) • 부분 순서 집합을 그림으로 나타내는 방법 • 방향 그래프의 일종으로 화살표는 표시하지 않음 • 화살표는 모든 아크의 윗쪽을 향하는 것으로 약속 • 순환(cycle)은 표시하지 않음if xy, and there is no z such that xzy 예제) 방향그래프

하세 도표 (Hasse diagram) • Motivation • trying to draw the graph, • would result in a graph that would be very "busy". • carry a lot of redundant information • Recall the requirements on a partial order: • a ≤ a (반사: reflexivity) • if a ≤ b and b ≤ c then a ≤ c (추이: transitivity) • if a ≤ b and b ≤ a then a = b (반대칭: antisymmetry) • Remove redundant information • reflexivity and transitivity • do not need the edges to the other predecessors

1 5 3 2 4 6 <예제3.31> 집합 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}일 때 나누어짐에 관한 관계, 즉, x, y가 A의 원소일 때 mod(x, y) = 0 (x는 y로 나누어 나머지가 0이 된다)이 되는 관계에 대한 방향 그래프와 하세 도표를 그려라. 예제 3.31 1 5 3 2 4 6

부분순서관계(계속) • [예제 3.32] 집합 {a, b, c}에 대한 멱집합(power set)을 A 라고 할 때 부분순서집합 에 대한 하세도표를 그려라. [풀이]

부분순서관계(계속) • [정의15] 부분순서집합 가 있을 때 • 극대원소(maximal element) • A 의 원소 a 에 대하여 인 원소 b 가 A 에 존재하지 않을 때 원소 a • 극소원소(minimal element) 인 원소 b 가 A 에 존재하지 않을 때 원소 a

부분순서관계(계속) • [정의16] • 최대원소(greatest element) • 부분순서집합 A 의 모든 원소 b 에 대하여 인 A 의 원소 a • 최소원소(least element) • 부분순서집합 A 의 모든 원소 b 에 대하여 인 A 의 원소 a

부분순서관계(계속) • [예제48] 다음의 하세도표에서 극대원소, 극소원소, 최대원소, 최소원소를 찾아라. • (2) (3)

부분순서관계(계속) [풀이] (1) 극대원소: 5 극소원소: 1과 2이다 최대원소: 5 최소원소: 없음 (2) 극대원소: e 와 f 극소원소: a 최대원소: 없음 최소원소: a (3) 극대원소: I 극소원소: a, b, c 최대원소: I 최소원소: 없음

제 3 장 관계 (Relations)