профиль - физико-математический секция – математика

1. Министерство образования и науки, молодежи и спорта УкраиныЗапорожское территориальное отделениеМалой академии наук профиль - физико-математический секция – математика Линейная и квадратичная функции в приблизительных вычислениях Научно-исследовательская работаученика 10-А классакоммунального заведенияДнепрорудненская гимназия «София»Шевченко Павла Юрьевичанаучный руководитель - учитель математикиПатрушева Маргарита Полиевктовна

2. Вступление Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Наш ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность — только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью. Цель работы - рассмотреть примеры применения линейной регрессии и интерполяции при решении исследовательских задач, в прогнозировании реальных процессов.

3. Пример использования линейной регрессии Некая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предыдущие годы были собраны следующие данные:

4. Решение Найдем линейную теоретическую функцию регрессии y = a + bx и параметры линейной регрессии (коэффициенты регрессии) a и b, используя метод наименьших квадратов. Для этого надо решить следующую систему уравнений: В этом случае n = 5 - число наблюдений и: Подставив эти значения в вышеуказанные уравнения: Решив эту систему относительно a и b, получим a = 4,2 и b = 0,31. Таким образом, ожидаемые продажи составит 4,2 плюс 0,31 умножить на рекламный бюджет миллионов долларов. y = 4,2 + 0,31x – искомая функция линейной регрессии.

5. На графике наблюдения и функция регрессии выглядят следующим образом: реклама продажа

6. Применение регрессии в прогнозировании Задача 1

8. Последовательно проведенные вычисления и построены регрессионные зависимости для всех предметов. Результаты данного численного эксперимента приведены в сводной таблице:

9. Пример по алгебре

10. Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам: Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид: Найдем коэффициент детерминации по формуле: n i n i

11. Проведем регрессионный анализ в режиме Регрессия MS Excel. Работа с программой представлена ​​на следующих рисунках:

12. ; . Сгенерируем нужны результаты по регрессионной статистике и представим их в таблице: Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии следующим образом:

13. Далее, построим график регрессии, и нанесем диаграмму рассеяния для интерпретации выставленных оценок учителем, относительно среднего балла учеников.

14. Пример по трудовому обучению

15. Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам: Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид: Найдем коэффициент детерминации по формуле: n i n i

16. Проведем регрессионный анализ в режиме Регрессия MS Excel для подтверждения расчетных данных. Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии следующим образом: . ;

17. Задача 2

19. Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам: Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид: Найдем коэффициент детерминации по формуле: n i n i ; .

20. Рассчитаем приблизительное время движения до районного центра г. Васильевка (21,7 км) по найденным уравнением регрессии:

21. Задача 3 Зависимость уровня тревожности человека от количества времени,затрачиваемого им на компьютерные игры.

22. Главная задача этого раздела подтвердить или опровергнуть следующую гипотезу: уровень тревожности игрока находится в прямой зависимости от количества времени, затрачиваемого им на компьютерные игры.

23. Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам: Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид: Найдем коэффициент детерминации по формуле: n i n i ;

24. Тогда, легко подсчитать, что до первого интервала будут принадлежать следующие значения: Аналогично, рассчитаем для других интервалов: Второй : Третий: Четвертый: Пятый:

25. Нахождение оптимального объема производства сыра на ЗАО «Днепрорудненский сыродельный комбинат»

26. Важнейшей составляющей конкурентоспособности продукции является её стоимость. Поэтому чрезвычайно важно определить оптимальный объем производства, обеспечивающий минимум совокупных издержек. Под оптимальным объемом производства продукции понимается такой объем, который обеспечивает выполнение заключенных договоров и обязательств по производству продукции в установленные сроки с минимумом затрат и максимально возможной эффективностью. Версия о том, что постоянное увеличение производства ведет к снижению себестоимости единицы, справедлива лишь в теории. Практический опыт показывает отсутствие линейной зависимости между объемом выпуска и совокупными затратами.

27. Добиться оптимального объема производства можно, в данном случае, применяя методику построения интерполяционного полинома. Полином - это многочлен. Интерполяция - это метод нахождения числа, что находится внутри какого-то интервала, путем приближения. В книге Иванова Ю.Б. «Конкурентоспособность предприятия» предлагается следующая схема построения интерполяционного полинома:1. Группировка опытных данных по объему производства таким образом, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию. Сразу же определяем шаг этой прогрессии.2. На основании теоремы Вейерштрасса (конечная разность n-го порядка является конечная разность конечной разности (n-1) порядка) вычисляем конечные разности по совокупным затратам для каждого исследуемого периода.3. Рассчитываются параметры полинома по формуле: где – конечная разность n-го порядка; n –уровень полинома; 4. Полученный полином рассмотрим, як функцию от х. Обозначим его у=f(x).

28. Ниже представлены данные по наращиванию выпуска сыра в 2011году с 1000 до 1800кг и динамика совокупных затрат при этом. Построим конечные разности и посмотрим, каков предельный уровень полинома:

29. Полином достиг предельного уровня – четвертого. Схема полинома имеет следующий вид:

30. Поскольку четвёртые разности постоянные, искомая функция выразится, как полином четвертой степени: + (х-1,3) При вычислении параметров a1, a2, a3, a4 учтем, что h = 0,1, тогда: Искомый полином имеет следующий вид: Найдем минимум функции затрат f(x): Ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы. Поскольку фактический выпуск в 1,8 тонн превзошел оптимальный в 1,638 тонн, то можно говорить о перепроизводстве размером 162 кг.

31. Вывод Работая над работой пришли к следующим выводам: разные причины побуждают людей прибегать к помощи функций. Функции раскрывают понимание этого мира. Но более точный результат мы получим, если воспользуемся статистической зависимостью, которая наглядным способом описывает реальные процессы. Поэтому приблизительные расчеты являются одной из актуальных частей математики. Например, многие аспекты в прогнозировании базируется на нахождении линейной регрессии.Относительно квадратичной функции, то еще с древних времен люди пытались пользоваться свойствами этой функции. Сейчас, многое побуждает людей не останавливаться, а продолжать познания этого раздела в математике. Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости и т.д.) или понести наименьшие потери (времени, материала, энергии) - желание вполне понятно и естественно. Поэтому рассмотрены примеры исследовательских задач играют большую роль в экономике, технике, прогнозировании.