哥德爾不完備性定理

1. 哥德爾不完備性定理 Gödel’s Incompleteness Theorems

2. 序 希爾伯特的23個數學問題 The Hilbert Challenge 目標: 不完備性定理的內容與歷史緣由

3. 連續統假設 算術公理之完備性 歐氏體積之定義 直線與最短距離 李群 物理之公理化 某些數的超越姓 黎曼猜想與哥德巴赫猜想 一般形式的互反律 丟番圖方程 任意二次形式 克羅內克的青春之夢 圖算法 不變量的有限性 舒伯特的計數演算 曲線的拓樸 ; 邊界圈的個數 平方和的函數 多面體的全等, 基本域與裝球問題 偏微分方程的正則性 變分法與邊界條件 黎曼 – 希爾伯特問題 單值化定理 變分法中的新方法 The Hilbert Challenge

4. 就最初淺的意義而言，公理是指一些“我們先 決接受為真”的東西，用以作為我們討論一門 科學的起點． Ｅｘ１ 　對於物理學而言，“能量守恆”是一條公理 Ｅｘ２ 　對於歐氏幾何而言，“平行線永不相交”是 　一條公理 何謂公理

5. 由於公理可以說是一系列存而不證的假設，所 以我們希望公理是越少越好． 而若是有一條公理，它能夠由其他的公理所推 出來，那這條公理就是多餘的． 因此，公理之間應該是互相獨立的，也就是說， 你不能由其中若干條推出另一條出來 公理應該要是互相獨立的

6. 作為一門科學的基礎，一套公理應該要容許我 們能夠對這門科學下的每條命題加以判別為真 或為假． 因此，一個公理系統應該是完備的，應該能夠 對系統下的每條命題加以證明或否證．也就是 說，不應該容許不可判定命題的出現，例如： 公理系統應該要是完備的 “本命題不可被證明”

7. 請注意以下兩者的差別： “本命題是假的” 是既不真也不假，“沒有真假值”的句子． “本命題不可被證明” 是不能被證明為真也不能被證明為假． 它可能還是有真假值．

8. 希爾伯特想知道說，我們的數學體系究竟是 不是完備的？是否在數學中，存在有不可判 定命題？ 他認為數學體系是完備的，並嘗試去證明． 他的想法是，幾何可以用座標體系一一對應 到數域上，而整個數域又以算術：整數和加 減乘除為基礎，因此，只要證明算術系統是 完備的，就能證明整個數學體系是完備的．

9. 證明皮亞諾算術公理系統是完備的，進 而證明整個數學系統是完備的 第二問題　算術公理的完備性

10. 在自然數集合大小與實數集合大小之間， 沒有其他的集合大小 就算是完備的又如何？ 如果是完備的，希爾伯特想要用它來證明像 是第一問題之類的東西 第一問題　　連續統假設

11. Ｅｘ．　自然數和偶數是一樣多的 什麼是集合的大小？ 當我們說兩個集合一樣大時，是指說兩 個集合的元素之間，存在一種一一對應． １，２，３，４，５，．．． ２，４，６，８，１０，．．．

12. Ｅｘ．　正有理數和自然數是一樣多的   

13. Ｅｘ．(0,1)實數和自然數是不一樣多的 0.247126……………… 0.173281……………… 0.666519……………… 0.27692………………   0.311923……………… 0.39183……………… 0.218826………………

14. 如果第二問題成立，則當我們要證明在自然 數集合大小與實數集合大小之間，沒有其他 的集合大小時，只要先在公理中多假設有第 三種大小的存在，然後推出一個不可判定命 題便能證明

15. 皮亞諾公理系統是不完備的，也就是說， 在算術系統中，我們總是能夠找到一個不 可判定命題 哥德爾第一不完備性定理

16. 為了限制符號的數量，將算術系統轉換為量化邏輯的公理系統為了限制符號的數量，將算術系統轉換為量化邏輯的公理系統 討論在這樣的系統中，什麼樣的命題是可以確實被寫出來的　（可表達性定理） 將所有可以被寫出來的命題與證明編號，並藉此提供一個判別某證明Ａ是否為一個命題Ｂ的一個證明的方法 藉由2,3, 實際寫出句子：“本命題不可被證明”藉此證明不完全性定理 證明思路

17. 淺介量化邏輯 將算術系統表成量化邏輯 介紹可表達性定理的數個特例 將系統下的所有證明編號並給出一個判別證明的方法 利用3,4 寫出“這個命題不可被證明”這一個句子，藉此證明哥德爾第一不完備性定理 介紹流程

18. 壹 量化邏輯 Quantificational Logic 目標: 淺介量化邏輯

19. 命題：可以判別真假的句子 名詞 定理：可以被證明為真的命題 公理：先決被認定為真的命題 Ｅｘ．　０是非負整數 Ｅｘ．　５是非負整數 Ｅｘ．　這句話是假的

20. ～　　非　　　　　Ｅｘ．　～Ｐ Λ　　且　　　　　Ｅｘ．　ＰΛＱ Ｖ　　或　　　　　Ｅｘ．　ＰＶＱ 　　蘊含　　　　Ｅｘ．　ＰＱ 　　　對於所有 Ｅｘ．　　 　　　存在　　　　Ｅｘ．　 邏輯符號

21. 真值表

22. Ｅｘ．　命題：　　Ａ　Ｖ　～　Ａ 命題的真假

23. 簡化符號 等價於 等價於 等價於 等價於 所以我們事實上只需要三種符號：

24. 原論證：若ｎ是整數且ｎ不可被２整除，則 　　　　ｎ是奇數 前提１　ｎ是整數　　　　　Ａ 前提２　ｎ不可被２整除　　Ｂ 結論　　ｎ是奇數　　　　　Ｃ 因此原論證可表為： 　　　　　１．Ａ 　　　　　２．Ｂ　／∴Ｃ 量化邏輯下的論證

25. 量化邏輯下的證明 １．ＡＢ ２．ＢＣ ３．Ａ　　　　　　　　　　／∴Ｃ ４．Ｂ　　　　　　　　　　１，３，ＭＰ ５．Ｃ　　　　　　　　　　２，４，ＭＰ

26. 將數學證明轉為邏輯證明的例子 若ｎ是整數且ｎ不可被２整除，則ｎ是奇數 原證明　引入定理一： 　　　　　“若ｎ是整數，則ｎ是奇數或ｎ是偶數” 　　　　由前提一知　“ｎ是奇數或ｎ是偶數” 　　　　再引入定理二： 　　　　　“若ｎ是偶數，則ｎ可被２整除” 　　　　由前提二知　“ｎ不是偶數” 　　　　因此　“ｎ是奇數”

27. １．Ａ（ｎ是整數） ２．Ｂ（ｎ不可被２整除） 　　　／∴Ｃ 　　令Ｄ＝ｎ是偶數 ３．Ａ（ＣＶＤ）　　　　　　定理一 ４．ＣＶＤ　　　　　　　　　　３，１，ＭＰ ５．Ｄ～Ｂ　　　　　　　　　定理二 ６．～Ｄ　　　　　　　　　　　５，２，ＭＴ ７．Ｃ　　　　　　　　　　　　４，６，ＤＳ 請注意，證明是一組“無矛盾的命題序列”

28. 量化邏輯下的公理系 邏輯符號　如　～，Ｖ， 語句符號　如　Ａ，Ｂ，Ｃ．．． 個體常元　如　０，１，２．．． 個體變元　如　ｘ，ｙ 函數符號　如　ｎ（ｘ）＝ｘ＋１ 關係符號　如　ｅ（ｘ，ｙ）表ｘ＝ｙ 公理　　　如　ｎ（ｘ）＝ｎ（ｙ）ｘ＝ｙ

29. 貳 算術系統與皮亞諾公理 EA and Peano Axioms 目標:將算術系統表成量化邏輯

30. ０是一個非負整數 每個非負整數ｎ，都有不同於ｎ的後繼元素ｎ‘ 不存在非負整數ｎ，使得ｎ‘為０ 對於任意非負整數ｍ和ｎ，如果ｍ‘＝ｎ’，那麼ｍ＝ｎ 對於任何含有０的非負整數集合Ｓ，如果對任意的ｎ屬於Ｓ，都有ｎ‘屬於Ｓ，那麼Ｓ含有所有的非負整數 上述五條公理確立了非負整數集. 皮亞諾的五條算術公理

31. “＝”這個符號蘊含著兩個公理： ｘ＝ｘ ｔｋ＝ｘ 　ｆ（ｔ１，ｔ２．．ｔｋ．．，ｔｎ） 　＝ｆ（ｔ１，ｔ２．．ｘ．．，ｔｎ） 　其中ｆ是任意函數或關係 以上兩條相等公理確立了　＝　的性質 關係符號：＝

32. ０是一個非負整數 　個體常元　０ 每個自然數ｎ，都有不同於ｎ的後繼ｎ‘ 　函數　ｘ‘ 不存在非負整數ｎ，使得ｎ‘為０ 　公理： 將皮亞諾公設表成量化邏輯

33. 對於任意非負整數ｍ和ｎ，如果ｍ‘＝ｎ’，那麼對於任意非負整數ｍ和ｎ，如果ｍ‘＝ｎ’，那麼 ｍ＝ｎ  對於任何含有０的非負整數集合Ｓ，如果對任意 的ｎ屬於Ｓ，都有ｎ‘屬於Ｓ，那麼Ｓ含有所有 的非負整數 　

34. 函數符號：＋和＊ “＋”的性質由以下兩條性質確立： “＊”的性質由以下兩條性質確立：

35. 一階算術系統 １．運算符號　～　　　　（　）　， ２．語句字母　Ａ　Ｂ　Ｃ　．．． ３．個體常元　０　１　２　．．． ４．個體變元　ｘ１　ｘ２　．．． ５．函數符號　‘　＋　＊ ６．關係符號　＝ ７．公理　　　相等公理二條 　　　　　　　皮亞諾公理三條 　　　　　　　加法公理二條 　　　　　　　乘法公理二條

36. 備註．嚴謹的一階算術系統 １．運算符號　～　　　　（　）　， ２．語句字母　Ａ　Ｂ　Ｃ　．．． ３．個體常元　０　．．． ４．個體變元　ｘ１　ｘ２　．．． ５．函數符號　n(x) a(x,y) m(x,y) ６．關係符號　e(x,y) ７．公理　　　相等公理二條 　　　　　　　皮亞諾公理三條 　　　　　　　加法公理二條 　　　　　　　乘法公理二條

37. 參 可表達性定理 目標: 了解什麼樣的句子是可以被寫出來的

38. 何謂可表達? 一個ｋ元關係ｗ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ）可表達 若且唯若有一個ｋ元命題Ｗ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ） 使得﹔ ｗ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ）成立 若且唯若 Ｗ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ）為真

39. Ｅｘ．　“ｘ2≦ｘ1”可以用下列命題表示： Ｅｘ．　“ｘ１＝Ｍａｘ｛ｘ｜Ａ（ｘ）｝”可表為：

40. Ｅｘ．　“ｘ１｜ｘ２”這個關係可以表為： Ｅｘ．　 “ｐ是質數”這個關係可以表為：

41. 可表達性定理 可表達性定理保證： 若關係“ｘｎ＋３ ＝ｇ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ） ” 與關係“ｘｎ＋３ ＝ｈ（ｘ１，ｘ２．．．．ｘｎ＋２ ） ” 都可表達，而遞迴函數ｆ滿足﹔ ｆ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ， ０） 　　＝ｇ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ） ｆ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ，ｙ＋１ ） ＝ｈ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ， ｙ，ｆ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ，ｙ）） 則關係： “ｘｎ＋３ ＝ｆ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ，ｘｎ＋１ ）”可表達

42. Ｅｘ．　函數ｆ（ｐ，ｘ）＝ｐｘ可以用函數：Ｅｘ．　函數ｆ（ｐ，ｘ）＝ｐｘ可以用函數： 　　　　　　ｇ（ｐ）＝１ 　　　　　　ｈ（ｐ，ｘ）＝ｐ＊ｘ 表成遞迴： 　ｆ（ｐ，０）＝ｇ（ｐ） 　ｆ（ｐ，ｎ＋１）＝ｈ（ｐ，ｆ（ｐ，ｎ）） 又關係　“ｕ＝１”　及　“ｕ＝ｐ＊ｘ”顯然都可 表達，故由可表達性定理知： ｕ＝ｐｘ　可表達

43. 可表達性定理的簡略證明 引理一　若ｒ（ｘ１，ｘ２）表示ｘ１除ｘ２的餘數， 　　　　則“ｘ３ ＝ｒ（ｘ１，ｘ２）”可用： 引理二　若：ｂ（ｘ１，ｘ２ ，ｘ３ ） 　　　　　　＝ｒ（ｘ１， １＋（ｘ３ ＋１）ｘ２ ） 　　　　則由引理一知ｂ可表達，記它的表達式為 　　　　Ｂ（ｘ１，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ）

44. 引理三　　　 對於任何一個序列ｎ１，ｎ２．．．ｎｋ 存在適合的ｕ，ｖ，使得：ｂ（ｕ，ｖ，ｉ）＝ｎｉ 證明：令ｊ＝max（ｋ，ｎ１，ｎ２．．．ｎｋ） ｖ＝ｊ！ 　考察數列＜ｕｉ＞＝１＋（ｉ＋１）ｖ，ｉ≦ｋ 　顯然它們兩兩互質（Ｋｅｙ．　反證法） 　既然如此，由於：ｎｉ≦ｊ≦ｖ＜ｕｉ 　根據中國剩餘定理，存在一個數ｕ＜ｕ１ｕ２．．．ｕｋ 　使得：ｒ（ｕ，ｕｉ）＝ｎｉ 　即ｂ（ｕ，ｖ，ｉ）＝ｎｉ

45. 現在，可以直接驗證，如果： ｆ由ｇ（ｘ１．．．ｘｎ） 與ｈ（ｘ１．．．ｘｎ，ｙ，ｚ） 遞迴而成而ｇ可用Ｇ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ，ｘｎ＋１） ｈ可用ｈ（ｘ１，ｘ２．．．，ｘｎ＋２，ｘｎ＋３ ）表示 則ｆ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ， ｙ ）可以用：

46. 備註．完整的可表達性定理 所有由： 零函數　　Ｚ（ｘ）＝０ 後繼函數　Ｓ（ｘ）＝ｘ＋１ 射影函數　Ｕｉｎ（ｘ１，ｘ２．．．ｘｎ）＝ｘｉ 經由有限次： 遞迴 合成　 　f (x) , g (x)  f ( g (x)) 最小數 f (x) = min “ g(x)=0 “ 所得到的函數必定是可表達的

47. 肆 哥德爾數 Gödel Numbers 目標:將所有可以被寫出來的命題與證明編號，並藉此提 供一個判別某證明Ａ是否為一個命題Ｂ的一個證明 的方法

48. 為了寫出“這句話不可被證明”這樣一個句子，為了寫出“這句話不可被證明”這樣一個句子， 我們必須能夠掌握公理系統下所有的證明． 在此，我們引入哥德爾數這個方法，來為一 個公理系統中的所有命題與證明編號

49. 一．將符號編號 運算符號　（ ３ 　　　　　） ５ 　　　　　， ７ 　　　　　～ ９ 　　　　　 １１ 　　　　　　 １３ 個體變元　ｘｋ ７＋８ｋ （ｘ１１５　ｘ２２３　．．．） 個體常元　ａｋ ９＋８ｋ （０ １７　　１２５　．．．）

50. 函數符號　ｆｋ １１＋８ｋ （在此只有　‘　　１９　　＋　　２７ 　　　　　　＊　　３５　 關係符號　Ｐｋ　１３＋８ｋ （在此只有　＝　　２１　） 注意到這種表示法是一對一的