Dissenys factorials dos o més factors creuats

1. Dissenys factorialsdos o més factors creuats Llicenciatura de Biologia Disseny d’Experiments i Anàlisi de Dades Jordi Ocaña Rebull

2. Dissenys factorials creuatsContingut: • Dos factors fixos creuats • Model, mitjanes i estimació dels paràmetres • Sumes de quadrats i ANOVA • Cas d’una rèplica per casella • Blocs en dissenys multifactorials • Models o dissenys amb factors aleatoris • 2 factors aleatoris • components de la variància, correlació intraclàssica • Sumes de quadrats i ANOVA • Models mixtos: 1 factor fix, 1 factor aleatori Dissenys factorials creuats

3. Disseny de dos factors creuats: estructura de les dades • Disseny no balancejat de dos factors, A i B, amb a i b nivells respectivament): • Si és balancejat, Dissenys factorials creuats

4. Disseny de dos factors creuats: model lineal Dissenys factorials creuats

5. Fertilitzant*VarietatDades de l’exercici 13 de dissenys multifactorials Dissenys factorials creuats

6. Disseny de dos factors creuatsSumes, mitjanes i estimació de paràmetres Dissenys factorials creuats

7. Disseny de dos factors creuatsDescomposició de la suma de quadrats Dissenys factorials creuats

8. Disseny de dos factors creuatsQuadrats mitjans i esperances Dissenys factorials creuats

9. Disseny de dos factors creuatsContrastos sobre els paràmetres del model • És significatiu l’efecte del factor A? • És significatiu l’efecte del factor B? • És significativa la interacció? Dissenys factorials creuats

10. Disseny de dos factors creuatsTaula ANOVA Dissenys factorials creuats

11. Disseny de dos factors creuatsEstadístics F sota normalitat dels errors • Si els residus són iid, tots : • Significació del factor A: • Significació del factor B: • Significació de la interacció: • Per tant, els valors crítics o els p-valors s’obtindran d’una simple consulta de la taula F. Dissenys factorials creuats

12. Fertilitzant*VarietatSegons Statgraphics 7.0 • El factor fertilitzant i la interacció són clarament significatius. Dissenys factorials creuats

13. Fertilitzant*Varietatdiagrames de dispersió de residus (programa S-Plus 4.5) Dissenys factorials creuats

14. Fertilitzant*VarietatNormalitat dels residus (S-Plus 4.5) Dissenys factorials creuats

15. És preferible un disseny multifactorial que anàlisis separades factor a factor • Més eficient: rèpliques ocultes (hidden replication). • Possibles conclusions absurdes si factors per separat: Dissenys factorials creuats

16. Cas d’una rèplica per casella • La discussió anterior fa pensar en la importància de les interaccions. • Si n=1, SSE té 0 g.d.ll. i 2 no és estimable a no ser quesuposem que no hi ha interacció. En aquest cas utilitzarem SSE = SST- (SSA+ SSB) amb (a-1)(b-1) g.d.ll. i sense possibilitat de separar el residu de les possibles interaccions. • F = MSA/{(SST- (SSA+ SSB))/((a-1)(b-1))} amb distribució F(a-1, (a-1)(b-1)) permet aleshores provar la significació d’A (i similarment de B). Dissenys factorials creuats

17. Cas d’una rèplica per casella:és significativa la interacció? • És un problema difícil pel cas n = 1. Hi ha la prova de Tukey, solament vàlida sota un model restrictiu de la interacció: g ij = g ai bj. • En aquest cas, si H0g = 0 és certa, Dissenys factorials creuats

18. Blocs en dissenys multifactorials • Sovint no és possible aleatoritzar totalment, volem controlar factors addicionals no directament interessants o tenim restriccions experimentals. • El disseny de l’exemple Fertilitzant*Varietat no és, en realitat, totalment aleatoritzat: “Es considera una àrea de sembra molt gran que es divideix en 12 zones igual de grans. Les 12 combinacions de fertilitzant i varietat s’assignen a l’atzar a les zones. Per a mesurar l’error experimental, cada zona es divideix en quatre subzones que reben totes el mateix tractament.” Dissenys factorials creuats

19. Blocs en dissenys multifactorials • Fixem-nos que no és totalment aleatoritzat, cada zona i,j és un bloc que pot tenir el seu efecte, descrit per un paràmetre dij. Un model més realista seria: • En dependre dels mateixos índexs, dij no es pot estimar separadament de la interacció. Si dij no és constant i nul (cosa que no podem provar) tenim una font de biaix i/o variabilitat no mesurable, confosa amb la interacció. Dissenys factorials creuats

20. Blocs en dissenys multifactorials • Un disseny també amb blocs, més adequat, seria: “Es considera una àrea de sembra molt gran que es divideix en 4 zones igual de grans. Cada zona es divideix en 12 subzones. Per cada una de les 4 zones, els 12 tractaments s’assignen a l’atzar a les 12 subzones” • Cada una de les 4 “rèpliques” s’associa a un “bloc zona”. El model és ara: • Interaccions amb el factor bloc s’han de suposar inexistents o confoses amb l’error (1 sola rèplica), però l’efecte principal dk és analitzable. Dissenys factorials creuats

21. Experiments factorials amb factors aleatoris • Suposem que A i B són factors aleatoris, és a dir els seus nivells són mostres aleatòries de mida a i b, respectivament, de poblacions més grans. Ara el model és: amb Ai, Bj, Iij i eijk v.a. independents. Dissenys factorials creuats

22. Factors aleatoriscomponents de la variància i correlació intraclàssica • La independència de les v.a. dels factors i del residu fa que la variància de les observacions es descomposi en les components de la variància: • Per altra banda hi ha dependència entre observacions: Dissenys factorials creuats

23. Dos factors aleatorissignificació dels factors i de la interacció • Ara els contrastos de més interès són: • Iguals sumes de quadrats i quadrats mitjans, però: • I els estadístics F adients són, respectivament: Dissenys factorials creuats

24. Dos factors aleatorisexemple • Producció de suc, 4 tarongers i 5 dies, tots agafats a l’atzar (els tarongers són, però, els mateixos tots els dies). Per cada taronger i dia s’agafen a l’atzar tres taronges. És significatiu el factor “taronger”? I el factor “dia”? Hi ha interacció? Dissenys factorials creuats

25. Taula ANOVA per producció de sucsegons Statgraphics 7.0 • Cap factor significatiu. Si anàlisi pròpia de factors fixos: conclusió errònia, “dia” significatiu. Dissenys factorials creuats

26. Dos factors aleatorisestimació de components de la variància • Estimadors puntuals: • A l’exemple (i valors amb validesa dubtosa): i la covariància entre taronges del mateix arbre i dia: Dissenys factorials creuats

27. Dissenys o models mixtosun factor aleatori i un factor fix • Suposem que A és fix i B aleatori i el model: Tota interacció amb un terme aleatori sempre és aleatòria. (1) i (2) fan que algunes expressions siguin més senzilles; a causa de (2) es coneix com model restringit. Dissenys factorials creuats

28. Un factor fix, un factor aleatoricontrastos sobre els paràmetres • Contrastos: • Esperances dels quadrats mitjans: • Estadístics F: Dissenys factorials creuats

29. Producció de sucdia: factor fix; taronger: factor aleatori • Si “dia” és fix, el factor “taronger” s’acosta més a la significació (i “dia” igualment no significatiu): Dissenys factorials creuats

30. Tres o més factors • Teoria anterior generalitzable a tres o més factors, p.e. tres factors fixos amb totes les interaccions: Dissenys factorials creuats

31. Fertilitzant*VarietatSegons Statgraphics 7.0 • El factor fertilitzant i la interacció són clarament significatius. Dissenys factorials creuats

32. Taula ANOVA per producció de sucsegons Statgraphics 7.0 • Cap factor significatiu. Si anàlisi propi de factors fixos: conclusió errònia, “dia” significatiu. Dissenys factorials creuats

33. Producció de sucdia: factor fix; taronger: factor aleatori • Si “dia” és fix, el factor “taronger” s’acosta més a la significació (i “dia” igualment no significatiu): Dissenys factorials creuats