Le problème d’Eshelby ( Proc. R. Soc. Lond. A 241 (1957) 376 )

1. Le problème d’Eshelby (Proc. R. Soc. Lond. A 241 (1957) 376) Champ de déformation pour une inclusion déformée homogènement ? F • Déformations internes et externes supplémentaires, • à l’évidence, les déformations externes sont non-uniformes puisque nulles à l’infini

2. Recherche de la fonction de Green dans le cas d’élasticité anisotrope Les équations maîtresses

3. Cas de la ligne de force parallèle à y. Espace direct : le calcul de Stroh. Phil. M. 3(1958) 625 On choisit On injecte dans On obtient : , équation du sixième degré à coefficients réels non tous nuls Six conjugués deux à deux.

4. Cas de la nappe de force parallèle à y. Espace réciproque : les modes propres On choisit On réécrit les équations maîtresses équations de conformité

5. où la la loi de Hooke a été utilisée sous la forme suivante On injecte les dans et les équations de conformité non tous nuls équation du sixième degré à coefficients réels

6. Quelques remarques à ce stade : • les contraintes et les déplacements décroissent à l’infini : • le cristal est un filtre passe-bas qui sélectionne le de plus petite partie imaginaire • 2) les polarisations sont également sélectionnées par ce processus • sauf cas pathologique où le mode de plus petit n’est pas excité.

7. Les conditions limites. Cas du cristal infini. Deux façons d’écrire les conditions limites. L’une utile pour les calculs dans l’espace direct L’autre utile pour les calculs dans l’espace réciproque Cas du cristal semi-infini. On doit ajouter la condition sur la surface « libre »

8. A ce stade, on a calculé, dans le cas anisotrope, la fonction de Green pour des lignes de force dans l’espace direct et pour des nappes de force dans l’espace réciproque. Pour des objets plus compliqués, on utilise la méthode classique des fonctions de Green, i.e. intégrer le produit de la fonction de Green par la force. Avec les fonctions de Green de l’espace direct, on peut traiter les fils enterrés de section quelconque. Avec les fonctions de Green de l’espace réciproque, on peut traiter tous les objets enterrés. La restriction majeure reste sur la forme des interfaces. On a introduit celles-ci au moment du calcul de la fonction de Green, On ne sait pas traiter les interfaces non-plans, par exemple les fils non-enterrés.

9. On cherche des solutions du type pour l’espace direct pour l’espace réciproque qui satisfont les conditions limites. Dans le cas de l’espace réciproque et pour le cristal semi-infini, on trouve Phys. Rev. 73(2006) 045434 Dans le même esprit Ting introduit des forces  images Pour un calcul dans l’espace direct Q. J. Mech. appl. Math. 45(1992) 119

10. Cas isotrope avec Cristal infini Cristal semi-infini avec forces à la surface Landau et Lifchitz, Théorie de l’élastcité

11. Un peu de physique. 1) Eshelby a montré que dans le cas isotrope et pour le cristal infini, des déformations homogènes dans une inclusion ellipsoïdale conduisait à des déformations homogènes après relaxation. 2) Propriétés de symétrie des tenseurs de rang 2 Les tenseurs de rang 2 de symétrie cubique sont des scalaires. Une contrainte homogène de symétrie cubique est hydrostatique. 2bis) Une contrainte hydrostatique correspond à des forces extérieures normales à l’interface et de module constant. 3) La fonction de Green enterrée dans le cristal semi-infini décroît avec la profondeur d’enterrement. 3bis) Le résultat d’Eshelby pour les inclusions ellipsoïdales, n’est pas conservé pour les inclusions dans un cristal semi-infini.

12. Discussion • Les approximations faites • Elasticité linéaire • Elasticité des milieux continus • Même constantes élastiques pour l’inclusion et la matrice. • Les questions • Validité de a) et de b) • Comparaison entre simulations moléculaires et calcul analytique • 2) Interactions entre objets ?

13. Calcul des déplacements élastiques Cu crystal O/Cu(101) q=0.5 Simulations atomistiques (dynamique moléculaure trempée) Elasticité linéaire des milieux continus Déplacements F=1.0 Nm-1 x 200

14. Elasticité linéaire anisotrope : comparaison entre ALE et AS, le cas N/Cu(001). AS uz ALE =0.85 0.04 0.16 0 0.12 U z -0.04 0.08 * exp(z/16.5) * exp(z/21.7) 0.04 -0.08 x AS U -0.12 0 ux ALE -0.16 -0.04 0 50 100 150 200 250 300 350 x-28*z

15. Elasticité linéaire anisotrope: rôle de l’anisotropie, le cas des faces (001). 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 1/r3 =0.44 B. Croset et al., PR B 76 (2007) 073405.

16. Théorème de la divergence Cas de systèmes biphasés avec contrainte de surface : les forces sont à la lisière Symétrie carrée ou ternaire Les parties de de divergence nulle ne contribuent pas à l’énergie.

17. Utilisation du théorème de la divergence pour des calculs dans l’espace direct Cas anisotrope : deux approximations équivalentes pour les calculs énergétiques I] Pour des calculs d’intégrales le long des lisières II] Pour des interactions entre quadripoles Calcul exact par TF Cas du cuivre (très anisotrope 2C44/(C11-C12)=3.2). Approximation pour p=1