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FACTORIZACION

FACTORIZACION. DESCOMPOSICION FACTORIAL. APLICACION RESOLUCION DE PROBLEMAS . MAXIMO COMUN DIVISOR . MINIMO COMUN MULTIPLO . DESCOMPOSICION FACTORIAL . OBSERVA. 5. x. 7. =. 35. PRODUCTO. FACTORES. FACTORES. 35. =. 5. x. 7. PRODUCTO.

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  1. FACTORIZACION

  2. DESCOMPOSICION FACTORIAL APLICACION RESOLUCION DE PROBLEMAS MAXIMO COMUN DIVISOR MINIMO COMUN MULTIPLO PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  3. DESCOMPOSICION FACTORIAL

  4. OBSERVA 5 x 7 = 35 PRODUCTO FACTORES FACTORES 35 = 5 x 7 PRODUCTO DESCOMPOSICION DE UN PRODUCTO EN SUS FACTORES FACTORIZAR PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  5. ¿ QUE SIGNIFICA FACTORIZAR ? DESCOMPONER UN PRODUCTO EN SUS FACTORES FACTORIZA 1 = 1 x 1 ¿ FACTORES ? 1 PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  6. FACTORIZA 13 = 13 x 1 5 = 5 x 1 7 = 7 x 1 11 = 11 x 1 ¿ FACTORES ? 2 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  7. FACTORIZA 20 x 1 30 x 1 10 x 2 15 x 2 20 = 30 = 4 x 5 10 x 3 6 x 5 12 x 1 36 x 1 12 6 x 2 = 18 x 2 36 = 4 x 3 12 x 3 9 x 4 ¿ FACTORES ? 6 x 6 + 2 PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  8. NUMEROS POR SUS FACTORES PRIMO UNITARIO UN FACTOR DOS FACTORES 1 = 1 x 1 5 = 5 x 1 COMPUESTO MAS DE DOS FACTORES • = 15 x 1 • 15 = 5 x 3 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  9. a b RELACION DE DIVISIBILIDAD a b FACTOR O DIVISOR MULTIPLO 5 15 5 es factor o divisor de 15, 15 es múltiplo de 5 PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  10. 5 40 FACTOR O DIVISOR MULTIPLO NUMERO QUE DIVIDE EXACTAMENTE A OTRO NUMERO QUE CONTIENE VARIAS VECES A OTRO 5 FACTOR O DIVISOR DE 40, LO DIVIDE EXACTAMENTE 40 MULTIPLO DE 5, LO CONTIENE 8 VECES PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  11. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD UN NUMERO ES DIVISIBLE POR DOS CUANDO TERMINA EN CERO O CIFRA PAR 2 14 14, TERMINA EN CIFRA PAR 2 48 48, TERMINA EN CIFRA PAR 2 10 10, TERMINA EN CERO 2 11 11, NO TERMINA EN CIFRA PAR O EN CERO PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  12. UN NUMERO ES DIVISIBLE POR TRES CUANDO LA SUMA DE LOS VALORES ABSOLUTOS DE SUS CIFRAS ES MULTIPLO DE TRES 3 45 4 + 5 = 9 , 9 es multiplo de 3 3 99 9 + 9 = 18 , 18 ES MULTIPLO DE 3 3 51 5 + 1 = 6 , 6 ES MULTIPLO DE TRES 3 43 4 + 3 = 7, 7 NO ES MULTIPLO DE TRES PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  13. UN NUMERO ES DIVISIBLE POR CINCO CUANDO TERMINA EN CERO O CINCO 5 35 35, TERMINA EN CINCO 5 80 80, TERMINA EN CERO 5 95 95, TERMINA EN CINCO 5 17 17, NO TERMINA EN CINCO O CERO PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  14. ERATOSTENES MATEMATICO, ASTRONOMO Y GEOGRAFO GRIEGO

  15. Para identificar los números primos, Eratóstenes utilizó un procedimiento consistente en hacer un listado de números y eliminar posteriormente las series de múltiplos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Eliminamos el unitario 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Eliminamos múltiplos de 2, excepto el 2 . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Eliminamos múltiplos de 3, excepto el 3 . 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Eliminamos múltiplos de 5, excepto el 5 . 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Eliminamos múltiplos de 7, excepto el 7 . 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

  16. A este procedimiento se le conoce con el nombre de Criba de EratOstenes NUmeros primos menores de 100 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 NUMERO PRIMO DOS FACTORES UNIDAD MISMO NUMERO PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  17. FACTORIZACION CONSISTE EN DESCOMPONER EN FACTORES FACTORIZACION PARCIAL FACTORIZACION TOTAL FACTORES PRIMOS Y COMPUESTOS FACTORES PRIMOS 24 = 12 x 2 24 = 2 x 2 x 2 x 3 Factorización incompleta PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  18. FACTORIZACION TOTAL UTILIZA EXCLUSIVAMENTE FACTORES PRIMOS Divisiones sucesivas con factores primos, en forma ordenada , hasta obtener cociente unitario. Factores primos 48 2 24 2 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 12 2 Cocientes Utilizando potencias 6 2 3 3 48 = 24 x 3 1 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  19. FACTORIZACION TOTAL Factores primos Factores primos 36 2 40 2 Cocientes 18 2 20 2 Cocientes 9 3 10 2 3 3 5 5 1 1 36 = 2 x 2 x 3 x 3 40 = 2 x 2 x 2 x 5 Utilizando potencias Utilizando potencias 36 = 22 x 32 40 = 23 x 5 PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  20. FACTORIZACION TOTAL 90 2 64 2 45 3 32 2 15 3 16 2 5 5 8 2 1 4 2 2 2 1 90 = 2 x 3 x 3 x 5 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 90 = 2 x 32 x 5 64 = 26 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  21. FACTORIZACION TOTAL Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse 16 2 44 2 54 2 8 2 22 2 27 3 4 2 11 11 9 3 2 2 1 3 3 1 1 16 = 2 x 2 x 2 x 2 44 = 2 x 2 x 11 54 = 2 x 3 x 3 x 3 54 = 2 x 33 16 = 24 44 = 22 x 11

  22. FACTORIZACION TOTAL Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse 28 2 45 3 72 2 14 2 15 3 36 2 7 7 5 5 18 2 1 1 9 3 3 3 1 28 = 2 x 2 x 7 45 = 3 x 3 x 5 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 16 = 22 x 7 54 = 23 x 32 45 = 32 x 5

  23. FACTORIZACION TOTAL Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse 98 2 63 3 150 2 49 7 21 3 75 3 7 7 7 7 25 5 1 1 5 5 1 98 = 2 x 7 x 7 63 = 3 x 3 x 7 150 = 2 x 3 x 5 x 5 44 = 32 x 7 98 = 2 x 72 150 = 2 x 3x 52 MENU

  24. MULTIPLO NUMERO QUE CONTIENE VARIAS VECES A OTRO SE OBTIENEN MULTIPLICANDO M CONJUNTO DE LOS MULTIPLOS M6 = ( 0, 6 , 12, 18 , 24, 30, 36, 42, 48, … ) Se multiplica por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. … CONJUNTO INFINITO CERO MULTIPLO UNIVERSAL

  25. OBSERVA M4 = ( 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, … ) M20 = ( 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, … ) 0, 20, 40 SON MULTIPLOS COMUNES MENOR DE LOS MULTIPLOS COMUNES DIFERENTE DE CERO 20 20 ES EL MINIMO COMUN MULTIPLO DE 4 Y 20 PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  26. OBSERVA M15 = ( 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … ) M12 = ( 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … ) 0, 60, 120 SON MULTIPLOS COMUNES MENOR DE LOS MULTIPLOS COMUNES DIFERENTE DE CERO 60 ¿ QUE SIGNIFICA MINIMO COMUN MULTIPLO ? MENOR DE LOS MULTIPLOS COMUNES DIFERENTE DE CERO PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  27. Factorizacion total se utiliza para encontrar el minimocomunmultiplo. POR EJEMPLO 1) Determinar el mínimo común múltiplo de 18, 36 y 24 Acomodamos los elementos verticalmente 18 36 24 2 Simultáneamente descomponemos en factores 9 18 12 2 9 9 6 2 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 9 9 3 3 m.c.m. = 23 x 32 3 3 1 3 m.c.m. = 72 1 1 Intervienen todos los factores primos

  28. 2) Determinar el mínimo común múltiplo de 15, 18 y 30 Acomodamos los elementos verticalmente 15 18 30 2 Simultáneamente descomponemos en factores 15 9 15 3 5 3 5 3 m.c.m. = 2 x 3 x 3 x 5 5 1 5 5 m.c.m. = 2 x 32 x 5 1 1 m.c.m. = 90 Intervienen todos los factores primos PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  29. 3) Determinar el mínimo común múltiplo de 45, 90 y 120 Acomodamos los elementos verticalmente 45 90 120 2 Simultáneamente descomponemos en factores 45 45 60 2 45 45 30 2 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 45 45 15 3 m.c.m. = 23 x 32 x 5 15 15 5 3 5 5 5 5 m.c.m. = 360 1 1 1 Intervienen todos los factores primos PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  30. 4) Determinar el mínimo común múltiplo de 42, 63 y 126 Acomodamos los elementos verticalmente 42 63 126 2 Simultáneamente descomponemos en factores 21 63 63 3 7 21 21 3 m.c.m. = 2 x 3 x 3 x 7 7 7 7 7 m.c.m. = 2 x 32 x 7 1 1 1 m.c.m. = 126 Intervienen todos los factores primos PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  31. 5) Determinar el mínimo común múltiplo de 75, 15 y 150 Acomodamos los elementos verticalmente 75 15 150 2 Simultáneamente descomponemos en factores 75 15 75 3 25 5 25 5 m.c.m. = 2 x 3 x 5 x 5 5 1 5 5 m.c.m. = 2 x 3 x 52 1 1 m.c.m. = 150 Intervienen todos los factores primos PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  32. MINIMO COMUN MULTIPLO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse Mínimo común múltiplo de 12, 30 y 20 Mínimo común múltiplo de 14, 70 y 35 12 30 20 2 14 70 35 2 6 15 10 2 7 35 35 5 3 15 5 3 7 7 7 7 1 5 5 5 1 1 1 1 1 m.c.m. = 2 x 2 x 3 x 5 m.c.m. = 2 x 5 x 7 m.c.m. = 22 x 3 x 5 m.c.m. = 60 m.c.m. = 70

  33. MINIMO COMUN MULTIPLO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse Mínimo común múltiplo de 10, 30 y 20 Mínimo común múltiplo de 14, 70 y 35 10 30 20 2 14 70 35 2 5 15 10 2 7 35 35 5 5 15 5 3 7 7 7 7 1 5 5 5 5 1 1 1 1 1 m.c.m. = 2 x 2 x 3 x 5 m.c.m. = 2 x 5 x 7 m.c.m. = 22 x 3 x 5 m.c.m. = 70 m.c.m. = 60

  34. MINIMO COMUN MULTIPLO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse Mínimo común múltiplo de 24, 40 y 20 Mínimo común múltiplo de 13, 26 y 65 24 40 20 2 13 26 65 2 12 20 10 2 13 13 65 5 6 10 5 2 13 13 13 13 3 5 5 3 1 1 1 5 1 5 5 1 1 m.c.m. = 2 x 5 x 13 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 m.c.m. = 23 x 3 x 5 m.c.m. = 130 m.c.m. = 120 MENU

  35. MAXIMO COMUN DIVISOR

  36. FACTOR O DIVISOR NUMERO QUE DIVIDE EXACTAMENTE A OTRO D CONJUNTO DE LOS DIVISORES D36 = ( 1, 2 , 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ) CONJUNTO FINITO UNIDAD FACTOR UNIVERSAL PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  37. OBSERVA D24 = ( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ) D20 = ( 1, 2, 4, 5, 10, 20 ) 1, 2, 4 SON DIVISORES COMUNES MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES 4 4 ES EL MAXIMO COMUN DIVISOR DE 24 Y 20 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  38. OBSERVA D45 = ( 1, 3, 5, 9, 15, 45 ) D90 = ( 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 ) 1, 3, 5, 9, 15, 45 SON DIVISORES COMUNES MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES 45 ¿ QUE SIGNIFICA MAXIMO COMUN DIVISOR ? MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  39. Factorizacion total se utiliza para encontrar el mAXIMOcomun DIVISOR POR EJEMPLO 1) Determinar el máximo común divisor de 18, 36 y 24 Acomodamos los elementos verticalmente 2 18 36 24 Simultáneamente descomponemos en factores 9 18 12 2 Identificamos divisores comunes 9 9 6 2 m.c.d. = 2 x 3 3 9 9 3 3 3 1 3 m.c.d. = 6 1 1 Intervienen algunos factores primos

  40. 2) Determinar el máximo común divisor de 15, 18 y 30 Acomodamos los elementos verticalmente 15 18 30 2 Simultáneamente descomponemos en factores 3 15 9 15 Identificamos divisores comunes 5 3 5 3 m.c.d. = 3 5 1 5 5 1 1 m.c.d. = 3 Intervienen algunos factores primos PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  41. 3) Determinar el máximo común divisor de 45, 90 y 120 Acomodamos los elementos verticalmente 45 90 120 2 Simultáneamente descomponemos en factores 45 45 60 2 Identificamos divisores comunes 45 45 30 2 m.c.d. = 3 x 5 45 45 15 3 15 15 5 3 5 5 5 5 m.c.d. = 15 1 1 1 Intervienen algunos factores primos PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  42. 4) Determinar el máximo común divisor de 42, 63 y 126 Acomodamos los elementos verticalmente 42 63 126 2 Simultáneamente descomponemos en factores 3 21 63 63 Identificamos divisores comunes 7 21 21 3 m.c.d. = 3 x 7 7 7 7 7 1 1 1 m.c.d. = 21 Intervienen algunos factores primos PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  43. 5) Determinar el máximo común divisor de 75, 15 y 150 Acomodamos los elementos verticalmente 75 15 150 2 Simultáneamente descomponemos en factores 3 75 15 75 Identificamos divisores comunes 25 5 25 5 m.c.d. = 3 x 5 5 1 5 5 1 1 m.c.d. = 15 Intervienen algunos factores primos PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  44. MAXIMO COMUN DIVISOR Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse Máximo común divisor de 12, 30 y 20 Máximo común divisor de 14, 70 y 35 12 30 20 2 14 70 35 2 6 15 10 2 7 35 35 5 3 15 5 3 7 7 7 7 1 5 5 5 1 1 1 1 1 m.c.d. = 2 m.c.d. = 2 x 5 x 7 m.c.d. = 2 m.c.d. = 70 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  45. MAXIMO COMUN DIVISOR Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultados da un click en el botón izquierdo del mouse Máximo común divisor de 24, 40 y 20 Máximo común divisor de 13, 26 y 65 24 40 20 13 26 65 2 2 12 20 10 2 13 13 65 5 6 10 5 2 13 13 13 13 3 5 5 3 1 1 1 5 1 5 5 1 1 m.c.d. = 13 m.c.d. = 2 x 2 m.c.m. = 13 m.c.d. = 4 PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA MENU

  46. APLICACION RESOLUCION DE PROBLEMAS

  47. PROBLEMA 1 En un parque de diversiones, por su aniversario, cada tercer visitante recibe una gorra gratis; cada quinto visitante recibe un cartel y cada décimo visitante recibe una camiseta. ¿ Qué número de visitante será el primero que recibe los tres regalos ?. MINIMO COMUN MULTIPLO 3 5 10 2 3 5 5 3 m.c.m. = 2 x 3 x 5 1 5 5 5 m.c.m. = 30 1 1 El visitante número 30, será el primero en recibir los tres regalos PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  48. PROBLEMA 2 ¿ Qué longitud debe tener una alfombra para que pueda cortarse indistintamente en un número exacto de partes de 12, 15 y 20 decímetros de largo ?. MINIMO COMUN MULTIPLO 12 15 20 2 6 15 10 2 m.c.m. = 2 x 2 x 3 x 5 3 15 5 3 m.c.m. = 60 5 5 1 5 1 1 La longitud de la alfombra debe ser 60 decímetros PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

  49. PROBLEMA 3 3 3 Calcular la raíz cúbica de 729. 729 3 243 3 32 36 729 = = 81 3 27 3 9 3 9 3 3 1 En una radicación, los exponentes se dividen PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO

  50. PROBLEMA 4 Una persona camina un número exacto de pasos avanzando 60 cm , 80 cm y 100 cm. ¿ Cuál es la mayor longitud posible de cada paso?. 60 80 100 2 MAXIMO COMUN DIVISOR 30 40 50 2 m.c.d. = 2 x 2 x 5 15 20 25 2 m.c.d. = 20 10 25 15 2 5 25 15 3 5 25 5 5 5 1 1 5 1 20 cm es la mayor longitud de cada paso PROFRA. LUISA EUGENIA GALICIA CAREGA

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