例析中考数学中的动态几何问题

1. 例析中考数学中的动态几何问题 王盛裕 主讲: 浙江省宁波市惠贞书院

2. 纵观近几年的各国各地中考试题，涉及动态几何问题屡见不鲜，这类问题融几何、代数、三角于一体，用到的知识点有相似三角形的性质、勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等，解题过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、转化思想等。纵观近几年的各国各地中考试题，涉及动态几何问题屡见不鲜，这类问题融几何、代数、三角于一体，用到的知识点有相似三角形的性质、勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等，解题过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、转化思想等。 动态几何问题的一般解题方法是：对于定点或定值问题。首先在特殊（极端）情形中求出这个不变量，然后转化为常规的论证题进行证明，对于探索数量关系的问题，要善于模仿，类比和转化，甚至创新，特别考虑运动过程中不同情形时,要应用分类讨论的思想方法。 下面分类举例加以说明，供同学们复习时参考。

3. 一．探索点的位置 例1：如图1，A、B为两定点，O为动点，在AB所在平面上异于O的一侧取点A’和点B’，使∠OAA’＝∠OBB’＝90°，且BB’＝OB，AA’＝OA，设A’B’的中点为O’， （1）想一想，当O在平面上移动时，A’B’的中点O’的位置将怎样变化？ （2）试证明你的结论。

4. 分析：试取动点O的几个特殊位置，可看出O’的位置将不随O点的移动变动，即点O按条件移动时，点O’的位置不变。分析：试取动点O的几个特殊位置，可看出O’的位置将不随O点的移动变动，即点O按条件移动时，点O’的位置不变。

5. 证明：如图2，过O、A’、O’、B’分别作AB的垂线，垂足依次设为C、D、E、F，显然，△AOA’≌△OCA，△BFB’≌△OBC。证明：如图2，过O、A’、O’、B’分别作AB的垂线，垂足依次设为C、D、E、F，显然，△AOA’≌△OCA，△BFB’≌△OBC。 从而AD＝OC＝BF，A’D＝AC，B’F＝BC 又梯形DFB’A’中，显然DE=EF， ∴AE＝AD＋DE＝BF＋EF＝EB 则O’E＝1/2（A’D＋B’F）＝1/2（AC+CB）＝1/2AB 由此可见，无论点O移到何处，O’点必在AB的中垂线上异于O的一侧，且距线段AB为1/2AB处，即△AO’B为一等腰直角三角形，这就是说，A’B’的中点O’的位置始终保持不变。（当点O移动到AB上侧时，则点O’的位置将移动到AB的下边，且两个位置关于AB对称。）

6. 二．探索角的 大小 例2：已知，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C， （1）当点P在AB延长线上的位置如图3所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP度数。 （2）当点P在AB延长线上的位置如图4和图5所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留痕迹）。设此角平分线交AC于D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP度数。

7. 猜想：∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。猜想：∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。 分析与证明：测量得，三个图中的∠CDP的度数都为45°，于是猜想：∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化，下面进行证明： 如图6所示，连接BC， ∵ AB是直径 ∴∠ACB＝90°， 又∵ PC是⊙O 的切线 ∴∠1＝∠A， 而∠2＝∠3，∠4＝∠1＋∠2， ∠CDP＝∠A＋∠3 ∴∠CDP＝∠4＝（180°－90°）÷2＝45° 评析：以动手为基础的手脑结合的研究形式是最基本的，也是最重要的科学研究形式，上述题目完全模拟了这一科学形式，都以动手作图，测度线段成角度的大小为猜想的依据，突出了几何实验能力和数学结论的形成过程的考察，实践性强，是典型的数学实验题，解答时，需认真作图测量，大胆猜想。

8. 三．探索线段的长短 例3：如图7，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G， （1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度； （2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。

9. 分析与解： （1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？一下子还看不出来，但它向我们暗示信息：可以从观察不变量入手，经观察图形可知，半径OP是长度保持不变的线段。综合已知条件：G是△POH的重心，于是延长HG交OP于E，又因为△OPH是直角三角形，故有：GH＝2/3HE＝2/3×1/2OP＝2，故线段GH是保持长度不变的线段，且GH＝2。 （2）延长PG交OH于F，易知F是OH的中点，且GP＝2/3PF，由勾股定理知：OH＝ ，所以，FH=1/2OH＝1/2 ，y＝GP＝2/3PF＝2/3 （3）△PGH是等腰三角形，要分三种情况加以分类讨论： (Ⅰ) 当GP＝PH，即 ＝x，解得：x＝　　（负的舍去） (Ⅱ) 当GP＝GH，即 ＝2，解得：x＝0（不合题意舍去） (Ⅲ) 当PH＝GH，即x＝2，　　符合题意 综上：当x＝2或x＝ 时，△PGH是等腰三角形。

10. 四．探索图形之间的位置关系 例4：如图8，一个以AB为直径的半圆，过AB上任一点C作CD⊥AB交⊙O于D，图形DCB的内切⊙P和CD，半圆O和直径AB分别切于E、F、G， （1）判别A、E、F之点的位置关系，并证明你的结论； （2）若半圆O的半径为2，C为动点，AC＝x，内切⊙P的面积为S，求S关于x的函数关系式。 （3）当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

11. 分析与解： （1）∵半⊙O与⊙P相切于F， ∴O、P、F三点共线， 连结OF、PE、FE、FA， ∵PE∥AB ∴∠EPF＝∠AOF 又△EPF和△AOF都是等腰三角形 故∠PFE＝∠OFA 从而，A、E、F三点共线。

12. （2）连结AD、BD、BF、PG 　　　由射影定理得：AD2＝AC·AB 　　　易证△ACE∽△AFB　　所以AC·AB＝AE·AF 　　　另由切割线定理知：AG2＝AE·AF 　　　∴AD2＝AG2 即AD＝AG＝ 易证四边形CGPE是正方形，　 ∴PG＝CG＝AG－AC＝ ∴S＝πPG2＝π（ ）2 （3）显然，⊙P的半径r≤1/4AB＝1，当r取最大值1时，此时， ＝1， 　即x＝1时，S有最大值，最大值为π

13. 五．探索线段间的数量关系 例5：如图9，已知平行四边形ABCD形外有一直线l，过平行四边形ABCD的四个顶点分别作直线l的垂线，垂足分别是A1、B1、C1、D1， （1）请你猜想四条垂线段A A1、BB1、CC1、DD1有什么关系，并证明你的结论。 （2）当直线l平行向上移动到使A、B、D在l’的一侧，C在直线l’的另一侧（如图10） 四条垂线段有什么关系，并证明你的结论。

14. 分析与解： （1）A A1、BB1、CC1、DD1有如下结论： A A1＋CC1＝BB1＋DD1 　　连结AC、BD交于O，过O作OO1⊥l交l于O1 　　显然，A A1∥BB1∥CC1∥DD1∥OO1 　　∵ABCD是平行四边形 　　∴AO＝CO，BO＝DO 　　∴A1O1＝C1O1，B1O1＝D1O1 ∴OO1同时是梯形A A1 CC1和梯形BB1DD1的中位线 ∴A A1＋CC1＝2OO1＝BB1＋DD1

15. （2）A A1、BB1、CC1、DD1有如下关系，A A1－CC1＝BB1＋DD1 如图10，分别延长A A1、BB1、CC1、DD1交直线l于A2、B2、C2、D2， 　　　∵l∥l’ 　　　∴A1 A2＝B1B2＝C1 C2＝D1D2 另外由（1）的结论有：A A2＋CC2＝BB2＋DD2 　　　即：A A1＋A1 A2＋C1 C2－CC1＝BB1＋B1B2＋DD1＋ D1D2 　　　故A A1－CC1＝BB1＋DD1 拓展：请同学们思考下列问题：当l’继续向上平行移动到B、C和A、D分别在l’的两侧，此时结论又将如何？

16. 六．探索不同位置时的面积关系 例6：如图11，有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题： （1）当t＝3秒时，求S的值； （2）当t＝5秒时，求S的值； （3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。

17. 解：（1）如图12，设t秒后PQ交CD于M点，此时QC＝t秒×1＝t厘米，解：（1）如图12，设t秒后PQ交CD于M点，此时QC＝t秒×1＝t厘米， 过点P作PE⊥l，垂足为E，在等腰△PQR中， ∵PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm ∴QE＝RE＝4cm，PE＝3cm ∵MC∥PE　　　　　∴MC∶PE＝QC∶QE ∴MC∶3＝t∶4　　　∴MC＝3/4t（cm） ∴S＝S△MQC＝1/2QC×MC＝3/8t2 当t＝3秒时，S＝27/8cm2

18. （2）如图13，当t＝5秒时，Q点正好运动了QC＝BC＝5cm，Q点与B点重合，设PR交CD于N，则CR＝QR－QC＝8－5＝3（cm）（2）如图13，当t＝5秒时，Q点正好运动了QC＝BC＝5cm，Q点与B点重合，设PR交CD于N，则CR＝QR－QC＝8－5＝3（cm） ∵PE∥NC　　∴NC∶PE＝CR∶ER　　　∴NC＝9/4（cm） ∴S＝S△PQR－S△NCR＝ ×3×8－ ×3×9/4 ＝ （cm2）

19. （3）如图14，当5≤t≤8时，QC＝t cm， QB＝QC－BC＝（t－5）cmRC＝QR－QC＝（8－t）cm 可求得：S△MQB＝3/8（t－5）2S△CNR＝3/8（8－t）2 ∴S＝S△PQR－S△MQB－S△NCR ＝1/2×3×8－3/8（t－5）2－3/8（8－t）2 ＝-3/4t2+39/4t-171/8∴当t＝13/2时，S最大，且S的最大值为165/16cm2 评析：本题在求解过程中用到了多种数学思想方法，一般与特殊的转化、常量与变量的转化、动态与静态的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、几何　问题转化为代数中的函数问题等等。

20. 下面练习供同学们练习： 1．如图15，在⊙0中，P是直径AB上一个动点，在AB同侧作AA’⊥AB，BB’ ⊥AB，且AA’＝AP，BB’＝BP，连结A’B’，当点P从点A移动到点B时，A’B’的中点位置（　　） （A）在平分AB的某直线上移动 （B）在垂直AB的某直线上移动 （C）在AmB上移动 （D）保持固定不移动

21. 2．如图16，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是两圆的外公切线，B、C是切点，那么不论两圆的大小如何，对于∠BAC总有等量∠BAC＝90°，现在⊙O1不动，使⊙O2向左或向右移动，2．如图16，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是两圆的外公切线，B、C是切点，那么不论两圆的大小如何，对于∠BAC总有等量∠BAC＝90°，现在⊙O1不动，使⊙O2向左或向右移动， （1）若使⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P（如图17），试判断是否存在相应的等量关系，说出你的结论，并给予证明。 （2）如图18，使⊙O1与⊙O2相交，其它条件同（1），是否仍存在相应的等量关系呢？请说出你的结论，并给予证明。

22. 3．如图19，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ现直线A以C相交于点D，3．如图19，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ现直线A以C相交于点D， （1）设AP的长为x，△PCQ的面积为8，求出S关于x的函数关系； （2）当AP的长为何值时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。

23. 4．如图20，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上是点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连结BC，4．如图20，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上是点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连结BC， （1）求证：PE∥BC； （2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图21，其它条件不变，在图21中画出完整的图形，此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论。

24. 5．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离分别为h1、h2、h3，5．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离分别为h1、h2、h3， △ABC的高为h， （1）若点P在△ABC内部时（如图22），请你猜想h1、h2、h3与h的数量关系，并证明你的结论。 （2）当点P运动到如图23的区域时，其他条件同（1），此时h1、h2、h3与h的关系如何？（不必证明） （3）当点P运动到如图24的区域时，此时h1、h2、h3与h的关系如何？（不必证明）

25. 6．如图25所示，菱形OABC的连长为4cm，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点的运动时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y厘米，请你回答下列问题，6．如图25所示，菱形OABC的连长为4cm，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点的运动时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y厘米，请你回答下列问题， （1）当x＝3时，y的值是多少？ （2）就下列各种情形，求y与x之间的函数关系式： 　　①0≤x≤2　　　②2≤x≤4　　　③4≤x≤6　　　④6≤x≤8 （3）在给出的直角坐标系中，用图像表示②中的各种情形下y与x的关系。