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變異數分析 ( 二 )

變異數分析 ( 二 ). Analysis of Variance ( 二 ). 學習目標. 1. 因子實驗設計 (factorial design) 2. 解說因子間的交互作用項 3. 兩因子變異數分析 analysis of variance (ANOVA) 4. ANOVA 假設之檢驗 常態分配之檢驗 變異數一致性之檢驗. 實驗設計與資料分析. 實驗設計 : 由研究者設定條件後 , 執行實驗以觀察結果是否受該條件之影響 設定條件稱為「處理」方式 (treatments) 同類型處理方式稱為一個「因子」 (factor)

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變異數分析 ( 二 )

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Presentation Transcript

  1. 變異數分析(二) Analysis of Variance (二)

  2. 學習目標 • 1. 因子實驗設計(factorial design) • 2. 解說因子間的交互作用項 • 3. 兩因子變異數分析analysis of variance (ANOVA) • 4. ANOVA假設之檢驗 • 常態分配之檢驗 • 變異數一致性之檢驗

  3. 實驗設計與資料分析 • 實驗設計: 由研究者設定條件後, 執行實驗以觀察結果是否受該條件之影響 • 設定條件稱為「處理」方式(treatments) • 同類型處理方式稱為一個「因子」(factor) • 每因子內之處理方式亦稱為「水準」(levels) • 變異數分析: 檢定不同處理對實驗結果產生的差異或效應

  4. 各種實驗設計

  5. 實驗設計專有名詞 • 1. 實驗單位(experimental units/subjects) • 2. 處理(treatments): 實驗中所設定或選取之條件 • 3. 控制因子(factors):由數種處理或水準組成 • 4. 處理效應(effect): 每一種處理對實驗結果產生之影嚮 • 5. 觀測結果(observations)

  6. 實驗設計三原則 • 1. 隨機(randomization)取樣 • 不同實驗模型,設計不同隨機方式取得樣本 • 2. 複製(replications)樣本 • 在相同處理下, 重複實驗以取得的重複樣本 • 3. 區集(blocking)技巧 • 在不同處理下選取同質性高之實驗單位 • 實驗中,僅處理方式不同外,其它因素無法影嚮實驗結果

  7. 多因子實驗設計 • 1.實驗中使用兩個或以上的因子(factors) • 每一個因子有2個以上的水準(levels) • 2. 實驗單位隨機指派到不同處理 • 任何水準之組合(level combination)成為一個處理 • 3. 主效應(main effect)﹕各別因子之效應 • 4. 交互(interact)效應﹕因子之間交互效應 • 5. 使用ANOVA分析檢定交互效應及主效應之不同與否

  8. 多因子實驗設計的優點 • 1. 節省時間並可了解每單一因子的主要影響或主要效應(main effects) • 2. 引進多因子變數模型，可控制混淆影響(confounding effects) • 3. 可檢測各個因子之間的交互作用(interaction effects)

  9. 兩因子實驗設計範例 因子2 （ 訓練方式） 因子 Level 1 Level 2 Level 3 水準 J J J 19 hr. 20 hr. 22 hr. Level 1 (高) J J J 因子 1 11 hr. 17 hr. 31 hr. L L L ( 動機 ) 27 hr. 25 hr. 31 hr. Level 2 (低) L L L 29 hr. 30 hr. 49 hr.

  10. 兩因子變異數分析Two-Way ANOVA

  11. 圖示兩因子反應變數圖 • 第一種狀況 • 兩條反應線重疊且平行於X軸 • A因子對於反應變數無效應 • B因子對於反應變數無效應

  12. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第二種狀況 • 兩條反應線平行且平行於X軸 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數無效應

  13. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第三種狀況 • 兩條反應線重疊但不平行於X軸 • A因子對於反應變數無效應 • B因子對於反應變數有效應

  14. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第四種狀況 • 兩條反應線平行但不平行於X軸 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  15. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第四種狀況 • 兩條反應線平行但不平行於X軸 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  16. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第四種狀況 • 兩條反應線平行但不平行於X軸 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  17. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第五種狀況 • 兩條反應線不平行 • A B兩因子間有交互作用 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  18. 什麼是交互作用項? • 欲解釋A因子的效應需透過B因子的水準 • 如:在B1下A2-A1=2 • 在B2下A2-A1=5 • 在B3下A2-A1=8 • 或欲解釋B因子的效應需透過A因子的水準 • 如:在A1下B2-B1=5 • 在A2下B2-B1=8 • 在A1下B3-B1=10 • 在A2下B3-B1=16等

  19. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第五種狀況 • 兩條反應線不平行 • A B兩因子間有交互作用 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  20. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第五種狀況 • 兩條反應線不平行 • A B兩因子間有交互作用 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  21. 圖示兩因子反應變數圖(續) • 第五種狀況 • 兩條反應線不平行 • A B兩因子間有交互作用 • A因子對於反應變數有效應 • B因子對於反應變數有效應

  22. 兩因子實驗資料列表 因素 B 第k個觀察值 因素A 1 2 ... c Xijk X X ... X 1 111 121 1c1 X X ... X 112 122 1c2 因素Ａ之水準 i X X ... X 2 211 221 2c1 X X ... X 因素Ｂ之水準 j 212 222 2c2 : : : : : X X ... X r r11 r21 rc1 X X ... X 水準組合稱為Cell r12 r22 rc2

  23. 兩因子ANOVA之理論 • 1. 模式(model) ﹕ • xijk代表觀測值必須是連續變數 • x值=總平均+A因素主效應+B因素主效應+交互效應+誤差項 • xijk = µ + Ai + Bj + ABij + Ijk • (A因子水準 i=1, …,r ﹔B因子水準j=1, …, c ; 樣本數 k=1, …,n’ )

  24. 兩因子實驗資料列表 因素 B 第k個觀察值 因素A 1 2 ... c Xijk X X ... X 1 111 121 1c1 X X ... X 112 122 1c2 因素Ａ之水準 i X X ... X 2 211 221 2c1 X X ... X 因素Ｂ之水準 j 212 222 2c2 : : : : : X X ... X r r11 r21 rc1 X X ... X 水準組合稱為Cell r12 r22 rc2

  25. 兩因子ANOVA之理論(續) • 2. 假設條件(assumptions)﹕ • 誤差項為常態機率分配,期望值為0 ﹔誤差值之間獨立 • ijk~ N(0, 2) ，ijk independent ijk • 2須要估計 • 誤差項以上的假設條件, 必須正式以統計量檢定, 或以殘差分析檢查其是否符合

  26. 兩因子變異數分析總變異量的分割 Total Variation 總變異量SS(Total) 因為Ａ因子水準間差異所產生的變異量Variation due to Treatment A (SSA) 因為Ｂ因子水準間差異所產生的變異量Variation due to Treatment Ｂ(SSB) 因為Ａ、Ｂ因子水準間交互所產生的變異量 Variation due to AB Interaction (SSAB) 因為隨機樣本取樣間差異所產生的變異量Variation due to Random Sampling (SSE)

  27. Two-Way ANOVA Total Variation Partitioning

  28. Total Variation

  29. Factor A Variation Sum of Squares Due to Factor A = the difference among the various levels of factor A and the grand mean

  30. Factor B Variation Sum of Squares Due to Factor B = the difference among the various levels of factor B and the grand mean

  31. Interaction Variation Sum of Squares Due to Interaction between A and B = the effect of the combinations of factor A and factor B

  32. Random Error Sum of Squares Error = the differences among the observations within each cell and the corresponding cell means

  33. 兩因子ANOVA表 Source of Degrees of Sum of Mean F Variation Freedom Squares Square A 因子 r - 1 SS(A) MS(A) MS(A) (Row) MSE B 因子 c - 1 SS(B) MS(B) MS(B) (Column) MSE AB 交互作用 (r-1)(c-1) SS(AB) MS(AB) MS(AB) (Interaction) MSE Error 誤差 N - rc SSE MSE Same as other designs C. Total 總和 N - 1 SS(Total)

  34. 兩因子變異數分析檢定假設 • 1. Ａ和Ｂ因素間無交互作用 • H0: ABij = 0 for any (i, j) • 2. 因素Ａ各水準間平均數無差異 • H0:m1..= m2..=... = mr.. • 3. 因素B各水準間平均數無差異 • H0:m.1. = m.2. =... = m.c.

  35. Two-Way ANOVA:The F Test Statistic F Test for Factor A Main Effect H0: 1 .= 2 . = ••• = r . H1: Not all i . are equal Reject if F > FU F Test for Factor B Main Effect H0: 1 = . 2 = ••• =  c H1: Not all . j are equal Reject if F > FU F Test for Interaction Effect H0: ij = 0 (for all i and j) H1: ij  0 Reject if F > FU

  36. F-檢定統計量之臨界值 若是各處理母體間平均數差異大, 則F = MST / MSE» 1. Reject H 0 a Do Not Reject H 0 F 0 F a ( p - 1 , n - p ) 總是使用單尾檢定呦Always One-Tail!

  37. PERT PERT PERT VO-5 VO-5 VO-5 SUAVE SUAVE Alone Group Class 例題﹕店面大小和架上位置的周銷售額 • 你是銘傳行銷公司的分析師，你想要了解產品在架上不同位置會對產品的銷售產生何種的影響。今隨機抽選了三種大小的店面、配合了四種不同的架位。並選取架位配合店面大小各重複兩店。使用 a = .05，檢定所有各種效應並下結論。

  38. 例題 (續二) - 資料展示

  39. 平均銷售量之交互作用圖

  40. 例題 (續三) - ANOVA表（僅展示部份） Source of Degrees of Sum of Mean F Variation Freedom Squares Square A 1,828.09 (店面大小) B 367.447 17.09 (擺設位置) AB 88.91 (交互作用) Error(誤差) 12 21.500 C. Total 3,277.34

  41. 例題 (續四) - ANOVA表 Source of Degrees of Sum of Mean F Variation Freedom Squares Square A 3 - 1 = 2 1,828.09 914.045 42.51 (Store size) B 4 - 1 = 3 1,102.34 367.447 17.09 (Shelf loc.) AB 6 88.91 14.818 0.69 (Interaction) Error 12 258.00 21.500 C. Total 23 3,277.34

  42. 例題 (續五) - 交互作用(店面與架位) • 1. H0: ABij = 0 (交互效應) • 2. Ha: ABij≠0 • 3. a = .05 • n1 = 6 n2 = 12 • 4. Critical Value(s): 5. 在Ho的 test statistic: 6. Decision: MS(AB) F* = = 0.69 MSE 在 a = .05下 不拒絕Ｈo a = .05 結論:並無證據顯示店面與架位有交互作用 F 0 3.00

  43. 例題 (續六) - 主效應(店面) • 1. H0: m1.. = m2.. = m3.. • 2. Ha: Not all equal • 3. a = .05 • n1 = 2 n2 = 12 • 4. Critical Value(s): 5. 在Ho的 test statistic: 6. Decision: MS(A) F* = = 42.51 MSE 在 a = .05下 拒絕Ｈo a = .05 結論:有充分證據顯示店面大小會影響銷售額 F 0 3.89

  44. 例題 (續七) - 主效應(架位) • 1. H0: m.1. = m.2. = m.3. • 2. Ha: Not all equal • 3. a = .05 • n1 = 3 n2 = 12 • 4. Critical Value(s): 5. 在Ho的 test statistic: 6. Decision: MS(B) F* = = 17.09 MSE 在 a = .05下 拒絕Ｈo a = .05 結論:有充分證據顯示架位不同會影響銷售額 F 0 3.49

  45. 兩因子ANOVA分析 利用EXCEL • 工具 | 資料分析 | 雙因子變異數分析:重複試驗 • Example in excel spreadsheet

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