第 6 章二叉树

第6章二叉树 线性结构：每个元素都只有一个前驱和后继结点。现实许多事物的关系没有这么简单，如社会机构组成、城市交通通讯等，事物的联系是非线性的：数据元素具有两个以上的前驱或后继结点。树型结构是一类重要的非线性数据结构，其中以树和二叉树最为常用。本章讨论二叉树的存储结构及其各种操作，并研究树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍几个应用例子。下一章进展到具有一般意义的树结构。

第6章二叉树 • 6.1 二叉树的定义与性质 • 6.2 二叉树的基本操作与存储 • 6.3 二叉树的遍历 • 6.4 线索二叉树 • 6.5 二叉树的应用

6.1 二叉树的定义与性质 6.1.1 基本概念 • 二叉树(Binary Tree)是有限个元素的集合: • 或者为空 • 或者是由一个根结点加上两棵互不相交的二叉树组成（分别称为左子树和右子树）

L R L R 二叉树的五种不同形态 6.1 二叉树的定义与性质 6.1.1 二叉树的基本概念 • 二叉树是有序的。 • 二叉树的子树有左右之分。 • 有5种基本形态。

1层 A 2层 B C height = 4 3层 D E F G 4层 H I J • 结点 • 结点的度 • 树的度 • 分支结点 • 叶结点 • 子女（左右） • 双亲 • 兄弟 • 祖先 • 子孙 • 结点层次 • 树的高（深）度 • 满二叉树 • 完全二叉树

M M O N K H H K L L J J I I 两种特殊的二叉树 • 满二叉树：所有的分支结点都有左右子树，所有的叶子结点都在同一层上。 A A B B C C D F E G D F E G 非满二叉树满二叉树

M O O H K N N H L L J I I A A B B C C D F D F E G G 非满二叉树非满二叉树

K H K H L L J I I 两种特殊的二叉树 • 完全二叉树：叶子结点只出现在最下层和次下层，并且最下层的叶子结点集中在树的左边。 • 满二叉树必定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。 A A B B C C D F E G D F E G 完全二叉树非完全二叉树

二叉树的抽象数据类型 ADT BinaryTree { 数据对象D：具有相同特性的数据元素的集合。数据关系R：若D= Φ，则R=Φ，称BinaryTree为空二叉树；若D!= Φ，则R={H}，H是如下二元关系： (1)在D中存在唯一的根root，它在关系H 下无前驱； (2)若D-{root}!=Φ，则存在D-{root}={Dl，Dr}，且Dl∩Dr=Φ； (3)若Dl=Φ，则Dl中存在唯一的元素xl，<root，xl>∈H，且存在Dl上的关系H1为H的子集；Dr同样； H={<root，xl>，<root，xr>，Hl，Hr}； (4)(Dl，{Hl})是一棵符合本定义的二叉树，称为根的左子树，(Dr，{Hr})是一棵符合本定义的二叉树，称为根的右子树。

2. 二叉树的性质 性质1 二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。利用归纳法容易证得此性质。 (1)i=1时，只有一个根结点。显然，2i-1=20=1。 (2)假定对所有的j，1≤j<i，命题成立，即第j层上至多有2j-1个结点。那么，现在来证明j=i时命题也成立。 (3)由归纳假设：第i-1层上至多有2i-2个结点。由于二叉树的每个结点的度至多为 2，故在第i层上的最大结点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2*2i-2=2i-1。

性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。由性质1，二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。则深度为k的二叉树的结点总数为

性质3对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。性质3对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。设n1为二叉树T中度为1的结点数。因为二叉树中所有结点的度均小于或等于2所以其结点总数为 n=n0+n1+n2 (6—1) 再看二叉树中的分支数。除了根结点外，其余结点都有一个分支进入，设B为分支总数，则n=B+1。由于这些分支是由度为1或2的结点射出的，所以又有B=n1+ 2n2。 n=n1+2n2+1 (6—2) 于是得由式(6—1)和(6—2)得 n0=n2+1

性质4具有n个结点的完全二叉树的深度为[ log2n ]+1。证明：假设深度为k，则根据性质2和完全二叉树的定义有 2k-1-1<n≤2k-1或 2k-1≤n<2k 于是k-1≤log2n<k 因为k是整数，所以 k = [ log2n ]+1。

[i/2] i … i i+1 i+1 … 2i 2i+1 2i+2 2i+3 2i+2 2i+3 2i 2i+1 性质5如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为[log2n]+1)的结点按层序编号(从第1层到第[log2n]+1层，每层从左到右)，则对任一结点i(1≤i≤n)，有 (1)如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲PARENT(i)是结点[ i/2 ]。 (2) 如果2i>n，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。 (3)如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1。 (a)结点i和i+1在同一层上 (b)结点i和i+1不在同一层上完全二义树中结点i和i+1的左、右孩子

只要先证明(2)和(3)，便可以从(2)和(3)导出(1)。 • 对于i=1，由完全二叉树的定义，其左孩子是结点2。若2>n，即不存在结点2，此时结点i无左孩子。结点i的右孩子也只能是结点3，若结点3不存在，即3>n，此时结点i无右孩子。 • 对于i>1可分两种情况讨论： (1)设第j (1≤j≤[log2n] )层的第一个结点的编号为i(由二叉树的定义和性质2可知i=2j-1)，则其左孩子必为第j+1层的第一个结点，其编号为2j=2(2j-1)=2i，若2i>n，则无左孩子；其右孩子必为第j+1层的第二个结点，其编号为2i+1，若2i+1>n，则无右孩子； (2)假设第j(1≤j≤[log2n])层上某个结点的编号为i(2j-1≤i<2j-1)，且2i+1<n，则其左孩子为2i，右孩子为2i+1，则编号为i+1的结点是编号为i的结点的右兄弟或者堂兄弟，若它有左孩子，则编号必为2i+2=2(i+1)，若它有右孩子，则其编号必为2i+3=2(i+1)+1。

6.2 二叉树的操作与存储结构 6.2.1 二叉树的存储一、顺序存储结构用一组连续的存储单元按照从上到下、从左到右的次序存放二叉树的结点。 #define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉树的最大结点数 typedef DataType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //0号单元存储根结点 SqBiTree bt；

H K L J J I A A B B C C D F E G D F E (a)完全二叉树 (b)一般二叉树 0 1 2 3 4 5 A B C E F J ？二叉树的顺序存储结构

D H I J • 完全二叉树的顺序存储可利用数组下标确定结点之间的逻辑关系。 • 一般二叉树则不能。可增加空结点来实现。 A B C 缺点：浪费存储空间。 D G F E 建立二叉树

PARENT DATA LCHILD RCHILD lchild data rchild lchild data parent rchild 二、链式存储结构 • 二叉树的链表中的结点包含三个域：数据域和左、右指针域。二叉链表 • 为了便于找到结点的双亲，则增加一个指向双亲结点的指针域。三叉链表二叉树的结点含有两个指针域的结点含有三个指针域的结点

A B C D 单支树的二叉链表 A B C D • 容易证得，在含有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。

A A B B C D C D E F E F D C B A G F E G G (1)二叉链表 (2)三叉链表 • 可以利用这些空链域存储其它有用信息，从而得到另一种链式存储结构—线索链表。

二叉树的链表存储表示： typedef struct BiTNode { DataType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; }BiTNode, *BiTree；

6.2.2 二叉树的基本操作及实现 InitBiTree(&T)；操作结果：构造空二叉树T。 DestroyBiTree(&T)；初始条件：二叉树T存在。操作结果：销毁二叉树T。 CreateBiTree(&T，definition) 初始条件：definition给出二叉树T的定义。操作结果：按definition构造二叉树T。 ClearBiTree(&T)；初始条件：二叉树T存在。操作结果：将二叉树T清为空树。 BiTreeEmpty(T)；初始条件：二叉树T存在。操作结果：若T为空二叉树，则返回TRUE，否则FALSE。 BiTreeDepth(T)；初始条件：二叉树T存在。操作结果：返回T的深度。 ………………………………………

常用的操作算法 • //建立空二叉树 int Initiate(BiTree *bt) { bt=new BiTNode; if(!bt) return 0; bt->lchild=NULL; bt->rchild=NULL; return 1; }

常用的操作算法 • //建立已生成左右子树的二叉树 int Create(DataType x, BiTree lbt, BiTree rbt) { BiTree p; p=new BiTNode; if(!p) return NULL; p->data=x; p->lchild=lbt; p->rchild=rbt; return p; }

A B D F G E 常用的操作算法 • //给二叉树的某结点插入一个左孩子 BiTree InsertL(BiTree bt, DataType x, BiTree parent) { BiTree p; if(parent==NULL) { cout<<“插入错误”<<endl; return NULL； } p=new BiTNode; if(!p) return NULL; p->data=x; p->lchild=NULL; p->rchild=NULL; if(parent->lchild==NULL) parent->lchild=p; else { p->lchild=parent->lchild; parent->lchild=p; } return bt; }

A B D F G E 常用的操作算法 • //删除二叉树中某结点的左子树 BiTree DeleteL(BiTree bt, BiTree parent) { BiTree p; if(parent==NULL||parent->lchhild==NULL) { cout<<“删除错误”<<endl; return NULL； } p=parent->lchild; parent->lchild=NULL; delete p; return bt; }

6.3 遍历二叉树 • 二叉树的应用：查找结点，对全部结点逐一进行某种处理。 • 遍历二叉树(Traversing Binary Tree)：按某条路径访问树中每个结点，每个结点均被且仅被访问一次。 • 二叉树的每个结点都可能有两棵子树，因此要找一种规律，使二叉树上的结点线性排列，便于遍历。

根据二叉树的递归定义： 根结点、左子树和右子树。以L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树，则有六种遍历方案： DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD 若限定先左后右，则只有前三种情况：先序遍历，中序遍历和后序遍历。

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