Simetrik olmayan (Eğik) Eğilme Unsymmetric Bending

1. Simetrik olmayan (Eğik) EğilmeUnsymmetric Bending Unsymmetric Bending

2. Chapter Outline • PureBending • UnsymmetricBendingforsymmetriccross-section • UnsymmetricBendingforunsymmetriccross-section • Inertiamoments– principalinertiamoments Unsymmetric Bending

3. PureBending Basit Eğilme • Analysis of pure bending has been limited to members subjected to bending couples acting in a plane of symmetry. • Members remain symmetric and bend in the plane of symmetry. • The neutral axis of the cross section coincides with the axis of the couple. Unsymmetric Bending

4. Unsymmetric Bendingfor Symmetric Cross-section Simetrik Kesitli Kirişlerde Ansimetrik Eğilme • We will now consider situations in which the bending couples do not act in a plane of symmetry. • Cannot assume that the member will bend in the plane of the couples. Unsymmetric Bending

5. UnsymmetricBendingforsymmetriccross-section • We wishto determine the conditions under which the neutral axis of a cross section of arbitrary shape does not coincides with the axis of the couple as shown. • The resultant force and momentsfrom the distribution of elementary forces in the section must satisfy • Neutral axis passes through centroid.

6. Determination ofstress distributionduetoMz

7. Determinationofstress distributionduetoMy

8. Resultantstress: Superpositionmethod

9. UnsymmetricBendingforsymmetric «T» cross-section • Superposition is applied to determine stresses in the most general case of unsymmetrical bending. • Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes. Unsymmetric Bending

10. Superpose the component stress distributions Combinedstress,

11. Along the neutral axis, normal stressmust be zero. Thus Unsymmetric Bending

12. Example 4.08 A 180 Nmcouple is applied to a rectangular wooden beam in a plane forming an angle of 30 deg. with the vertical. Determine the maximum stress in the beam, the angle that the neutral axis forms with the horizontal plane. Unsymmetric Bending

13. Solution • Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes and calculate the corresponding maximum stresses. • Combine the stresses from the component stress distributions. Unsymmetric Bending

14. Determine the angle of the neutral axis. the angle of the neutral axis Unsymmetric Bending

15. Resolve the couple vector into components and calculate the corresponding maximum stresses. Unsymmetric Bending

16. Determine the angle of the neutral axis. Unsymmetric Bending

17. Unsymmetric Bending

18. Unsymmetric Bending

19. Distribution of the streeses in the cross-section. Unsymmetric Bending

20. Örnek: Şekildeki kirişin A, B, C ve D noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. y x F=10 kN C B D z h=80 mm b=60 mm L=1 m A

21. F=10 kN y Çözüm: Kesit özellikleri (atalet momentleri): B h=80 mm x M A b=60 mm

22. Eğilme momenti bileşenleri: F=10 kN y B h=80 mm x M A b=60 mm Unsymmetric Bending

23. F=10 kN y Tarafsız Eksen (TE) TE B h=80 mm x M A b=60 mm Unsymmetric Bending

24. A noktasındaki gerilme: F=10 kN y TE B h=80 mm x M A b=60 mm Unsymmetric Bending

25. B noktasındaki gerilme: F=10 kN y TE B h=80 mm x M A b=60 mm Unsymmetric Bending

26. C noktasındaki gerilme: F=10 kN C y TE B h=80 mm x M A b=60 mm Unsymmetric Bending

27. Dnoktasındaki gerilme: F=10 kN C y TE B D x M A Unsymmetric Bending

28. Unsymmetric Bending

29. Unsymmetric Bending

30. Unsymmetric Bending

31. Unsymmetric Bending

32. Bendingfor unsymmetriccross-section • In general, the neutral axis of the section will not coincide with the axis of the couple. Unsymmetric Bending

33. Simetrik Olmayan Kirişlerde Eğilme

34. Unsymmetric Bending

35. veya Unsymmetric Bending

36. ve veya Unsymmetric Bending

37. σz gerilme fonksiyonu sıfıra eşitlenirse Tarafsız Eksen (TE) denklemi ve Tarafsız Eksenin açısı bulunur. Tarafsız Eksenin x ekseni ile yaptığı açı: TE Unsymmetric Bending

38. Unsymmetric Bending

39. Unsymmetric Bending

40. A Şekilde kesiti ve yükleme durumu verilen kiriş için: Ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz. Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bulunuz. Kesitteki eğilme momentinin değeri M=20 kNm olduğuna göre bileşenlerini bulunuz. Tarafsız Ekseni belirleyiniz. A, B ve C noktalarındaki gerilmeleri hesaplayınız. Kiriş kesitindeki ekstremum gerilmeleri belirleyerek emniyetli olup olmadığını irdeleyiniz. Örnek: G B C Unsymmetric Bending

41. Kesitin ağırlık merkezinin yeri: Unsymmetric Bending

42. Atalet Momentleri: Paralel Eksen Teoremi Y y Ci xi C x yi X O Unsymmetric Bending

43. Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenlerine kesitin atalet momentleri: Y Paralel Eksen Teoremi ile X Unsymmetric Bending

44. A Eğilme momentinin bileşenleri: G B C Unsymmetric Bending

45. Gerilme Denklemi: Unsymmetric Bending

46. Tarafsız Eksen Denklemi: Tarafsız Eksen Denklemi, Gerilme denklemi sıfıra eşitlenerek bulunur: T.E. Tarafsız Eksenin eğim açısı : Unsymmetric Bending

47. Kesitteki gerilmeler: A(-35;115)noktası T.E. A B(-35;-65) noktası C(85;-65) noktası B C Kesit kontrolü Olduğundan kiriş emniyetlidir.

48. Örnek:şekildeki ‘L’ kesitli kirişin C noktasına P=4 kNluk eğik bir kuvvet uygulanmaktadır. Ҩ=60 olduğuna göre: Kesitin ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz. Atalet momentlerini hesaplayınız. T.E. Tarafsız ekseni bulunuz. Maximum çeki ve bası gerilmelerini hesaplayınız. Unsymmetric Bending

49. Çözüm: Ağırlık merkezinin yeri Atalet momentleri Ix =2.783x106 mm4 Iy =1.003x106 mm4 Ixy =-0.973x106 mm4 Unsymmetric Bending

50. Momentin bileşenleri Unsymmetric Bending