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等差数列的性质

等差数列的性质. AAAAAAAAAAAAA 每一项与 它前一项的 差. 如果一个数列从第 2 项起，. 等于同一个常数. 知识回顾. d. =a n +1 - a n. 等差数列. a n =a 1 + ( n- 1) d. 等差数列各项对应的点都在同一条直线上. 【 说明 】 AAA ① 数列 { a n } 为等差数列 . a n +1 - a n =d. 或 a n +1 = a n +d. ② 公差是 唯一 的常数。. 复习巩固：. 一、判定题：下列数列是否是等差数列？. √.

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  1. 等差数列的性质

  2. AAAAAAAAAAAAA 每一项与 它前一项的差 如果一个数列从第2项起， 等于同一个常数. . . . . . . 知识回顾 d =an+1-an 等差数列 an=a1+(n-1)d 等差数列各项对应的点都在同一条直线上. 【说明】 AAA①数列{ an }为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d ②公差是 唯一 的常数。

  3. 复习巩固： 一、判定题：下列数列是否是等差数列？ √ ①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； ③. 1，2，1，2，………………； ④. 1，2，4，6，8，10， ……； ⑤.a, a, a, a, ……， a，……； √ × × √

  4. 二、填空题： -4 (1)等差数列8，5，2，…，的第5项是AA AAAAAAA (2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A an = -5+(n-1).(-4) 10 (3)已知{an}为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n = 【说明】 在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个， 可求出 另外一个 简言之————“知三求四”

  5. 等差数列的性质 an+1- an=d an+1=an+d 1. {an}为等差数列   an= kn + b （k、b为常数）   an=a1+(n-1) d 2. a、b、c成等差数列  b为a、c 的等差中项AA 2b= a+c   【说明】 3.更一般的情形，an= ，d= am+(n - m) d am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？

  6. 例题分析 例1.梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. 分析： 解法一: 用{an}题中的等差数列，由已知条件，有 a1=33 ，a12=110 ，n=12 又a12=a1+(12—1)d　　即　　110＝33＋11d 所以 d=7 因此， a2=33+7=40 a3=40+47 …………a11=96+7=103 答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、 61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.

  7. a4= 17 a4= 11 a7= 11 a7= 17 分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 例题分析 例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 (3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. 分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ① 　　又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得 ∴d= _2或2, 从而a14= _3或31 或

  8. 课堂练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 B 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1)   若a59=70，a80=112，求a101； (2)   若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q d=2, a101=154 d= -1, ap+q=0

  9. 研究性问题 1. 若a12=23，a42=143，an=263，求n. n=72 d= 4 2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3? a 3=27 a 3= a 10+(3-10)d 3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6 设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12 4. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40 提示： 300< <500 d=5, an=78+5n n=45，46，…，84

  10. 一、知识巩固 an+1- an=d an+1=an+d 1. {an}为等差数列   an= kn + b （k、b为常数）   an=a1+(n-1) d 2. a、b、c成等差数列  b为a、c 的等差中项AA 2b= a+c   【说明】 3.更一般的情形，an= ，d= am+(n - m) d am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？ = = = 5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2…

  11. 思考题：如何求下列和？ ①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=； ②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=； ③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=. n2 n(n+1)

  12. 二、学习新课 ㈠等差数列前n 项和Sn==. =an2+bn a、b 为常数 Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an(1) (1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an) Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)

  13. ㈡【说明】 倒序相加法 ①推导等差数列的前n项和公式的方法叫； 梯形的面积公式 ②等差数列的前n项和公式类同于； n Sn=an2+bn ③{an}为等差数列，这是一个关于的 没有的“” 常数项 （ 注意 a 还可以是 0） 二次函数 例1已知数列{an}中Sn=2n2+3n， 求证：{an}是等差数列.

  14. 三、课堂练习 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表： 95 500 100 2 2 15 604.5 0.7

  15. 例2如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支例2如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支 铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最 上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

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