1 / 36

slayt6

Teorem: f:[a,b]  R , g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:. slayt6. Belirli İntegral. Örnek:. a-). b-). c-). slayt7. Belirli İntegral. Çözüm:. a-). b-). c-). slayt8. Belirli İntegral.

skylar
Download Presentation

slayt6

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Teorem: f:[a,b]  R , g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere: slayt6 Belirli İntegral

  2. Örnek: a-) b-) c-) slayt7 Belirli İntegral

  3. Çözüm: a-) b-) c-) slayt8 Belirli İntegral

  4. Belirli İntegralin Uygulamaları Alan Hesabı Dönel Cisimlerin Hacimleri

  5. Alan Hesabı Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız. Teorem: f:[a,b]  R , f(x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a , x=b ve y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı, slayt1 Belirli İntegralin Uygulamaları

  6. 1.Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değer alıyorsa, slayt2 Belirli İntegralin Uygulamaları

  7. 2.Sonuç: f:[a,b] R ,y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise, slayt3 Belirli İntegralin Uygulamaları

  8. slayt4 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek1: f(x)=3x2+6x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.

  9. Çözüm1: Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3x2 +6x=0 denkleminin kökleri 3x(x+2)=0  x1=-2 ve x2=0 dır. Kökler arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan; slayt5 Belirli İntegralin Uygulamaları

  10. Slayt6 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?

  11. Çözüm2: Fonksiyon [1/e,1] arasında negatif, [1,e2] arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan; Slayt7 Belirli İntegralin Uygulamaları

  12. Slayt8 Belirli İntegralin Uygulamaları 3.Sonuç: f:[a,b]R , g:[a,b]R integranellenebilen iki fonksiyon olsun.

  13. Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan; Slayt9 Belirli İntegralin Uygulamaları

  14. Slayt10 Belirli İntegralin Uygulamaları 4.Sonuç:

  15. Örnek1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor: a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0 , x=/6 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını hesaplayınız. slayt11 Belirli İntegralin Uygulamaları

  16. Çözüm1: a. f(x)=sinx , g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki görülmektedir. x[0,/6] aralığında cosx>sinx olduğundan; slayt12 Belirli İntegralin Uygulamaları

  17. b. f(x) = g(x)  sinx = cosx  cos (/2-x) = cosx  x1= /4 , x2= 5/4 . O halde, f(x)=sinx , g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı, slayt13 Belirli İntegralin Uygulamaları

  18. Teorem: g:[c,d]  R , x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı, slayt14 Belirli İntegralin Uygulamaları

  19. Çözüm: Önce integralin sınırlarını bulalım. x=1 için, 1=y2+1 y=0 x=5 için, 5=y2+1 y0 olduğundan, y=2 bulunur. slayt15 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y2+1 eğrisinin x=1 ile x=5 aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2 dir?

  20. 5.Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y) eğrisi, y=c , y=d , ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı; slayt16 Belirli İntegralin Uygulamaları

  21. Çözüm: y2-2y=0  y1=0  y2=2 bulunur. Buna göre taralı alan; slayt17 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi , x=y2-2y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım.

  22. 6.Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı, slayt18 Belirli İntegralin Uygulamaları

  23. Çözüm: x= -y.(y+1).(y-2)=0  y1=-1 , y2=0 , y3=2 bulunur. Verilen bağıntı denkleminde; -1<y<0 için, f(y)>0 olduğundan aranan alanlar toplamı; slayt19 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi , x= -y.(y+1).(y-2) dir. Buna göre,taralı alanların toplamı kaç birim karedir?

  24. 7.Sonuç: x=g(y) , x=f(y) eğrileri arasında kalan y=c , y=d doğruları ile sınırlı alan; slayt20 Belirli İntegralin Uygulamaları

  25. Çözüm: y2=6-y  y2+y-6=0  y1 =-3  y2 =2 bulunur. slayt21 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: x=y2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

  26. Dönel Cisimlerin Hacimleri Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a , x=b ve Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi; slayt22 Belirli İntegralin Uygulamaları

  27. 1.Sonuç: [a,b]aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x) ve y=g(x)olsun. x[a,b] için f(x)g(x)0 ise; y=f(x) ve y=f(x) eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi; slayt23 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek: f(x)=x2 eğrisi, x=0 , x=2 doğruları ve Ox ekseni etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

  28. Çözüm: Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir. slayt24 Belirli İntegralin Uygulamaları

  29. 2.Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c , y=d doğruları ve Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi; slayt25 Belirli İntegralin Uygulamaları

  30. 3.Sonuç: y[c,d] için f(y)g(y)0 ise; x=f(y) ve x=g(y) eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin hacmi; slayt26 Belirli İntegralin Uygulamaları

  31. Çözüm1: y=x2  x=y (x0= dır. Oluşan cismin hacmi; slayt27 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek1: y=x2 parabolü, x=0 , y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

  32. slayt28 Belirli İntegralin Uygulamaları Örnek2: x=y2 eğrisi ve y=x2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

  33. Çözüm2: y=x2  y=(y2)2  y=y4  y-y4 =0  y=0 ve y=1 bulunur. O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y[0,1] da y=x2 parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y2 parabolünün oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur. slayt29 Belirli İntegralin Uygulamaları

  34. Örnek3: x+y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz. slayt30 Belirli İntegralin Uygulamaları

  35. slayt31 Belirli İntegralin Uygulamaları Çözüm3: y=1-x  y=1-2x+x dir. Eğri, eksenleri x=1 ve y=1 de keser.

  36. Bitir

More Related