Уравнения высших степеней.

1. Уравнения высших степеней.

2. Методы решения уравнений: • Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) • Разложение на множители. • Введение новой переменной. • Функционально – графический метод. • Подбор корней. • Применение формул Виета.

3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу.Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

4. Решить уравнение(3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ y = x²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³можно перейти к уравнению 3x +2 = 5x – 9, откуда находим x = 5,5. Ответ: 5,5.

5. Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

6. Решить уравнениеx³ – 7x + 6 = 0 Представив слагаемое 7x в виде x + 6x, получим последовательно: x³ – x –6x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x –1 = 0; x² + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.

7. Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u1; g(x) = u2; … ; g(x) = un, где u1, u2, … , un– корни уравнения p(u) = 0.

8. Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x² получаем

9. Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как корень y1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0,5.

10. Решите уравнение6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

11. Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x),y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

12. Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

13. – уравнение с целыми коэффициентами. где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, Подбор корней • Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. • Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. • Теорема 3: Пусть Если число и дробь то p есть делитель свободного члена an, а q – делитель коэффициента при старшем члене a0.

14. Теорема Безу.Остаток при делении любого многочлена надвучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу • Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; • Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; • Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; • Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; • Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; • Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; • Многочлен делится нацело надвучлен (x – a)тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; • Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

15. Решить уравнение x³ – 5x² – x + 21 = 0 Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7). Ответ:

16. Решить уравнение 2x³ – 5x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8x³ –20x² – 4x + 4= 0 Сделав подстановку 2x = t, получим t³ – 5t² – 2t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1.Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1делится на (x + 0,5): 2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0,находим остальные корни: Ответ:

17. Решить уравнение6x³ + x² – 11x – 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ: удовлетворяют

18. Формулы Виета. уравнения Для корней имеют место формулы:

19. Найти сумму квадратов корней уравнения x³ + 3x² – 7x +1 = 0 По теореме Виета Заметим, что откуда

20. Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.

21. Ответы и указания: 1.Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.

22. 1. Указание. Запишите уравнение в виде 4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x², Разделите обе его части на x². Введите переменную Ответ:x1 = – 8; x2 = – 7,5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и – 6y и запишите его в виде (y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8). Ответ:

23. 14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: –1. 17. Указание. Разделите обе части уравнения на x² и запишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

24. Самостоятельная работа. Решите уравнения: Вариант 1. Вариант 2.

25. Ответы. Вариант 1. Вариант 2.

26. Библиография. • Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003). • Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993). • Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003). • Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2000). • Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9» (М.: Просвещение, 1997). • Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1999). • Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.: Просвещение. 1989). • Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение, 1974). • Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994). • Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», №2, 3, 2003). • Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», №3, 2005).