Euler e a Análise Combinatória

1. Euler e a Análise Combinatória • Em 1779 Euler apresentou uma solução original para um curioso problema… • E introduziu um novo método de ataque a problemas matemáticos: O Método Recursivo

2. O Problema Quantas maneiras tenho de trocar as quatro rodas do meu carro de forma a que nenhuma fique na mesma posição?

3. O Problema • Ou mais geralmente: Se tiver N pessoas alinhadas quantas maneiras tenho de mudar as suas posições de maneira a que nenhuma fique no mesmo sítio?

4. Euler colocou assim o problema • Dadas N letras a b c d e … quantas maneiras há de as trocar de modo a que nenhuma fique onde estava

5. E começou por baptizar esse número • Número de maneiras para N letras = P ( N )

6. A seguir contou quantas dessas maneiras tinham “b” na primeira posição Uma maneira de por “b” na primeira posição é trocar o “b” com o “a”. Quantas haverá que trocam o “b” com o “a”?

7. E encontrou a resposta… • Tantas quantas as maneiras de trocar as restantes N – 2 letras de modo a que nenhuma fique na mesma posição: b a d f c … • Ou seja: P ( N - 2)

8. E quantas com “b” na primeira posição mas sem o “a” na segunda? b a c d e f … O b está bem mas, das restantes N -1, nenhuma pode ficar na mesma posição…

9. Claro… O número é: P ( N - 1 )

10. Então… • Com “b” na primeira posição há: P ( N - 2) + P ( N - 1) maneiras de fazer a troca…

11. Mas… Na primeira posição podem ficar N – 1 letras: b, c, d, e,… Ora para cada uma delas o número de casos é o mesmo que o que encontramos para “b” , ou seja: P ( N - 2) + P ( N - 1)

12. Finalmente… P ( N ) = = ( N - 1 ) [ P ( N - 2) + P ( N - 1) ] Uma fórmula Recursiva… porque…

13. Recursiva porque… Sabemos onúmero de trocas para N à custa, ou com recurso, ao número de trocas para N – 1 e N – 2…

14. Assim… • Para duas letras é: • Para três letras é: P ( 3) = 2 (c a b) e ( b c a) P ( 2) = 1 (b a)

15. E agora usando a fórmula recursiva… • (2) = 1 • (3) = 2 • (4) = 3 [ 1 + 2 ] = 9 • (5) = 4 [ 2 + 9 ] = 44 … P (12) = 11 [P(11)+P(10)] = = 176,214,841

16. Aqui Euler notou que… • (2) = 1 • (3) = 3 * P (2) -1 = 2 • (4) = 3 [ 1 + 2 ] = 9 = 4 * P (3) + 1 • (5) = 4 [ 2 + 9 ] = 44= 5 * P (4) – 1 Isto é que: P (n) = n * P ( n – 1 ) + (-1)^n Fórmula recursiva mais simples…

17. Da segunda obtém-se facilmente a primeira: P (n) = n * P ( n – 1 ) + (-1)^n P (n-1) = (n-1) * P ( n – 2 ) + (-1)^(n-1) Agora basta somar as igualdades e passar o P (n - 1) para o segundo membro

18. Da primeira obtém-se também a segunda P ( N ) = ( N - 1 ) [ P ( N - 2) + P ( N - 1) ] pode ser reescrito: • ( N ) - N * P ( N - 1) = (- 1 ) [P ( N - 1)+(N-1)* P ( N - 2) ]= • [P ( N - 2)+(N-2)* P ( N - 3) ] = ... = • (-1)^ (N-2)[P (2)-2* P (1)] = (-1)^ (N-2)[1-2*0] =(-1)^N

19. Euler notou que… é fácil provar, por indução, que: • ( N ) = = N! [1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-...+(-1)^ N x1/ N!]

20. Assim a probabilidade de, ao fazer o rearranjo de N objectos, nenhum ficar na mesma posição é: p(N) =P ( N ) / N ! = • = [1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-...+(-1)^ N x1/ N!] • que tende para 1/e quando N --> ∞

21. Isto permite-nos montar uma experiência para calcular um valor aproximado de e recorrendo a uma experiência aleatória. p(5)= 1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5! e dá-nos o valor de 1/e com erro inferir a 1/6! < 0,002 por defeito; donde se tira: 1/(p(5)+0,002) < e < 1/p(5)

22. e logo: 1 / p(5) dá o valor de e com erro inferior a 0,002.

23. Vamos então calcular aproximadamente p(5) sorteando aleatoriamente, e um número suficientemente grande de vezes, os números de 1 a 5 e contando, em cada dessas vezes, em quantas nenhumi saiu na extracção i.

24. Autor - José António Veiga de Faria • fontes: • EulerTheMasterofUsAll de William Dunham • A HistoryofMathmatics de CarlBoyer e UtaMerzbach • Wikipedia