1 / 61

V ektor

Prodi Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sriwijaya. V ektor. Abdul Basyir. Topik. Aritmatika Vektor Konsep Geometrik Titik, Garis dan Bidang Perkalian Titik Perpotongan garis dengan: Garis Bidang Poligon. Pengenalan. Apa perlunya belajar vektor?

sofia
Download Presentation

V ektor

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Prodi Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sriwijaya Vektor Abdul Basyir

  2. Topik • Aritmatika Vektor • Konsep Geometrik • Titik, Garis dan Bidang • Perkalian Titik • Perpotongan garis dengan: • Garis • Bidang • Poligon

  3. Pengenalan • Apa perlunya belajar vektor? • Kita butuh untuk mengetahui dimana objek diletakkan dalam dunia nyata. • Ukuran dan orientasi objek • Seberapa jauh objek yang satu dengan yang lainnya • Bagaimana pantulan bekerja • Bagaimana fisika bekerja • Bagaimana sinar cahaya mengenai objek

  4. y y y Kita akan gunakan yang ini x x x z z Pengenalan • Koordinat • 2D • Aturan tangan kiri 3D • Aturan tangan kanan 3D

  5. Vektor • Sebuah vektor mempunyai panjang dan arah • Vektor dinyatakan dengan cara yang sama dengan koordinat titik: • Point (5,10) • Vector (5,10) • Tetapi bagaimana perbedaannya?

  6. P = (5,10) v = (5,10) Vektor Sebuah titik mempunyai lokasi Sebuah vektor tidak mempunyai lokasi Sebuah vektor adalah sebuah lintasan antara satu titik dengan titik yang lain

  7. Q = (8,1) P = (1,10) v Vektor Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan koordinat titik v = Q – P v = (8-1,1-10) v = (7, -9) Dengan kata lain , v mengatakan pada kita bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q

  8. Q = (8,1) P = (1,10) v Vektor • Definisi • Perbedaan antara dua titik adalah sebuah vektor • v = Q-P • Jumlah titik dan vektor adalah titik : • Q = P + v

  9. Vektor • Latihan. • Tentukan vektor yang pergi dari P = (9,10) ke Q = (15,7) ? • v = (6, -3) • Tentukan titik yang dihasilkan dari penambahan vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ? • Q = (10, -18)

  10. Operasi Vektor • Ada dua operasi dasar vektor: • skala • 8v • jika v = (1,2) maka 8v = (8,16) • tambah • v + a • v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)

  11. 2v v 0.5v -0.5v Operasi Vektor • Penskalaan vektor

  12. v v v v+a -a a a v-a Operasi Vektor • Penambahan vektor

  13. Operasi Vektor • Latihan. • Diberikan vektor v = (10,20,5), tentukan: • 2v, 0.5v dan -0.2v? • 2v = (20,40,10) • 0.5v = (5,10,2.5) • -0.2v = (-2, -4, -1) • Diberikan vektor v = (1,1,1) dan a = (8,4,2), tentukan: • v + a, v – a and a – v • v + a = (9,5,3) • v – a = (-7, -3, -1) • a – v = (7, 3, 2)

  14. Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Penambahan vektor skala bersama-sama • 8v + 2a • Definisi • Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,…,vm adalah vektor: • w = a1v1 + a2v2 + … + amvm

  15. Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Contoh • v = (1,2,3) dan a = (1,1,1) • 2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)

  16. Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Kombinasi Affine • Jumlah semua komponen adalah satu • a1 + a2 + … + am = 1 • Contoh:. 3a + 2b – 4c (3+2-4=1) • Penentuan kombinasi affine • (1-t)a + (t)b

  17. Operasi Vektor • Pertanyaan • Tentukan koefisien untuk transformasi affine: • ia + jb + ?c • Berapakah koefisien c? • i + j + ? = 1 • ? = 1 – i – j maka • ia + jb + (1-i-j)c

  18. Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Kombinasi Konvek • Jumlah semua komponen satu … tetapi • Semua koefisien harus diantara 0 dan 1 • Contoh. • a1 + a2 + … + am = 1 dan • 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m • Contoh. • .9v + .1w • .25v + .75w

  19. Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Kombinasi Konvek • Set semua kombinasi konvek dari dua vektor v1 dan v2 adalah: • v = (1-a)v1 + av2

  20. v2 v2 – v1 v a(v2 – v1) v1 Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Kombinasi Konvek • v = (1-a)v1 + av2 can dapat ditulis lagi: • v = v1 + a(v2-v1) • Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v1 ditambah beberapa versi skala dari penggabungan v1 dengan v2

  21. Semua nilai v akan terletak di kawasan ini v3 0.5v3 v2 v1 0.3v2 0.2v1 Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Kombinasi Konvek • Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi: • v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3 • v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3 • v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3

  22. Semua nilai v akan terletak di kawasan ini v3 0.5v2 v2 v1 0.5v1 Operasi Vektor • Kombinasi Linier • Kombinasi Konvek • Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi: • v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3 • v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3 • v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3

  23. Operasi Vektor • Besar • Adalah panjang vektor • Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras • Masih ingatkan akan teorema ini?

  24. h a b Operasi Vektor • Besar • Teorema Pitagoras:

  25. v Koordinat y Koordinat x Operasi Vektor • Besar • Teorema Pitagoras:

  26. Operasi Vektor • Besar • Teorema Pitagoras: • Contoh: Berapakah besar v = (5,10)? • |v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) = sqrt(125) • 11.18

  27. Operasi Vektor • Latihan • Tentukan |v| untuk: • v=(1,-2,5), w=(10,3,1) dan t=(1,1,1) • |v| = 5.5677 • |w| = 10.488 • |t| = 1.732

  28. Q = (8,1) P = (1,10) v Operasi Vektor • Besar

  29. Operasi Vektor • Besar • Kadang kala sangat berguna untuk menskala vektor menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah satu. • Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â. • Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang vektor. • â = a/|a|

  30. Operasi Vektor • Besar • Contoh: • Berapakah vektor normal a = (1,5,3) ? • |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916 • â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916) = (0.169, 0.845, 0.5)

  31. Operasi Vektor • Latihan • Normalisasikan: • a = (2,4,6) • g = (1,1,1) • h = (0,5,1) • Jawab (dengan pembulatan)  • â = (0.26,0.53,0.8) • ĝ = (0.6,0.6,0.6) • ĥ = (0,1,0.2)

  32. Operasi Vektor • Perkalian titik • Digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dalam grafika komputer. • Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan vektor.

  33. Operasi Vektor • Perkalian titik • Dihitung dengan perkalian dan penambahan nilai baris dengan nilai kolom.. • Definisi • Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:

  34. Operasi Vektor • Perkalian titik • Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2) • Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan: • (v1w1+v2w2) • Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠ w akan menghasilkan : • 2*3 + 1*5 = 11 • Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan menghasilkan : • 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2

  35. Operasi Vektor • Perkalian titik • Operasi Properti • Simetri: v ٠ w = w ٠ v • Linier: (v + t) ٠ w = v ٠ w + t ٠ w • Homogen: (sv) ٠ w = s(v ٠ w) • |v|2 = v ٠ v

  36. c Ө e Өc Өe Operasi Vektor Perkalian titik Sudut antara dua vektor. • Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari sudur antara dua vektor atau perpotongan garis. • Diberikan 2 vektor e dan c, sudut antara vektor ini dihitung sbb:. • e = (|e|cos Өe,|e|sin Өe) • c = (|c|cos Өc,|c|sin Өc) • Perkalian titik e ٠ c adalah • |e||c|cos(Өc - Өe) • atau e ٠ c =|e||c|cos(Ө) • Dengan Ө adalah sudut diantara 2 vektor

  37. c Ө e Өc Өe Operasi Vektor Perkalian titik • e ٠ c =|e||c|cos(Ө) • Kedua sisi dibagi dengan |e||c| : • (e ٠ c)/|e||c| =|e||c|cos(Ө)/|e||c| • ĉ ٠ ê = cos(Ө) • Jadi:: • Sudut antara dua vektor adalah perkalian titik antara dua vektor yang ternomalisasi

  38. c e Ө Operasi Vektor Perkalian titik Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2) • cos(Ө) = ĉ ٠ ê • ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62) = (5,6) / 7.8 = (0.64,0.77) • ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22) = (8,2) / 8.25 = (0.8,0.24) • ĉ ٠ ê = 0.8248 • Ө = cos-1(0.8248) = 34.43

  39. e c e c e c Operasi Vektor • Perkalian titik • Tegaklurus atau orthogonal atau normal.? • Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor ini adalah 90 derajad. • jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90o • jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus • jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90o

  40. (0,1,0) (1,0,0) (0,0,1) Operasi Vektor • Perkalian titik • Vektor-vektor yang berada pada sumbu koordinat adalah tegak lurus: Cara penulisan: vektor satuan

  41. j=(0,1,0) i=(1,0,0) k=(0,0,1) Operasi Vektor • Perkalian titik • Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai kombinasi skalar dari 3 vektor satuan: • (a,b,c) = ai + bj + ck • (3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)

  42. C c A v Kv Operasi Vektor • Perkalian titik • Proyeksi sebuah vektor ke vektor lain • Proyeksi vektor c ke v • Gambar garis dari C ke v sehingga tegaklurus dengan v • Kv adalah proyeksi orthogonal c ke v

  43. Operasi Vektor • Perkalian Silang • Hasil perkalian silang dua vektor adalah sebuah vektor yang tegak lurus dengan dua vektor tersebut.

  44. Operasi Vektor • Perkalian Silang • Diberikan a = (ax,ay,az) dan e = (ex,ey,ez), tentukan perkalian silang antara vektor ini dalam vektor satuan • a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex) • Atau dengan matrik yaitu penentuan determinan:

  45. Operasi Vektor • Perkalian Silang • How do you use this to calculate the dot product? • Take each item in the top row and multiply by the difference of the products of the items in the other columns.

  46. Operasi Vektor • Perkalian Silang • i(ayez-azey) • j(axez-azex) • k(axey-ayex) Now add them together: a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex) …. and you have the CROSS PRODUCT!!!

  47. a x e a e Operasi Vektor • Perkalian Silang • a x e adalah tegaklurus baik dengan a maupun e • panjang a x e sama dengan luas parallelogram yang dibatasi oleh a dan e • Gunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah a x e

  48. Operasi Vektor • Perkalian Silang • Penentuan Normal ke bidang • Dengan tiga titik dapat ditentukan normal ke bidang. • P1, P2, P3 -> v = P2-P1, w = P3-P1 • Tentukan v x w untuk menghitung normal n. • Perkalian vektor n dengan sembarang nilai skalar akan menghasilkan normal ke bidang juga.

  49. Koordinat Homogen • Beberapa sistem grafika dan OpenGL menyatakan titik dan vektor dalam koordinat homogen. • Ini berarti dalam koordinat 2D mempunyai 3 nilai (x, y, v) • Dan dalam 3D, 4 nilai (x, y, z, v)

  50. Koordinat Homogen • Untuk titik v = 1 • Untuk vektor v = 0 • Cth. Titik (2,4) menjadi (2,4,1). • Cth. Vektor (3,5) menjadi (3,5,0). • Cth. Titik (3,4,1) menjadi (3,4,1,1). • Cth. Vektor (3,6,7) menjadi (3,6,7,0).

More Related