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第九章

第九章. 线性系统的状态空间分析与综合. 用传递函数表示系统数学模型的局限性. 1 ）只描述系统输入与输出的关系 , 不涉及系统内部的状态 变量 2 ）无法表示时变系统，非线性系统和非零初始条件下的线性定常系统 3 ）不可能获得某种意义下的最优性能. 用状态空间表达式描述系统的主要优点. 1 ）数学模型简单，易于计算 2 ）利用状态反馈能使系统的极点任意配置. 一、 状态变量描述. 状态、状态变量. 图 9-1 小车行走系统. X(t 0 ) 和 v(t 0 ) —— t=t 0 时的状态.

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Presentation Transcript

  1. 第九章 线性系统的状态空间分析与综合

  2. 用传递函数表示系统数学模型的局限性 1）只描述系统输入与输出的关系,不涉及系统内部的状态 变量 2）无法表示时变系统，非线性系统和非零初始条件下的线性定常系统 3）不可能获得某种意义下的最优性能 用状态空间表达式描述系统的主要优点 1）数学模型简单，易于计算 2）利用状态反馈能使系统的极点任意配置

  3. 一、 状态变量描述 状态、状态变量 图9-1 小车行走系统 X(t0)和v(t0)——t=t0时的状态 如果已知外力F(t)和X(t0)、v(t0)——就可计算出t>t0 任何时候的X(t0)和v(t0)。

  4. 状态空间表达式 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数学表达式称为状态方程 写成向量矩阵形式

  5. 系统的输出量与状态变量、输入量间的数学表达式称为输出方程、单输出系统输出方程系统的输出量与状态变量、输入量间的数学表达式称为输出方程、单输出系统输出方程 即： • 状态方程与输出方程统称为状态空间表达式或动态方程。 对于多输入、多输出系统： 图9-2 单输入单输出系统的状态图

  6. 图9-3 多输入、多输出线性定常系统的状态图

  7. 例9-1：试写出图9-4所示电路的状态方程式 解： 图9-4 R-L-C电路 状态变量的选择不是唯一的。不同状态变量的选择所得到的动态方程也是不同的，但它们都描述同一个系统。

  8. u x + y C u d • 选择一组状态变量的条件 1）在t 时刻的x(t)是由x(t0)和t≥t0时的u(t)唯一确定； 2）在y时刻的y(t)是由该时刻的x(t)和u(t)唯一确定。 • 用状态变量描述系统的特点 1）它是输入—状态—输出间的时域描述即： 2）输入引起系统内部状态的变量是一个动态过程——向量微分方程， 由状态和输入确定输出的变化是一个量的变换过程——代数方程； 3）系统的状态变量选择不是唯一的,一个n阶系统,只能有n个状态变量, 不能多也不能少

  9. 二、 传递函数与动态方程的关系 由动态方程求系统的传递函数 设： 对于多输入多输出系统：

  10. 例9-2：已知 求T(s)。 解： 由传递函数列写动态方程

  11. 一、能控标准形 1、传递函数无零点 对应的微分方程 令

  12. 则得：

  13. 紧邻矩阵A对角线上方的那个元素都1，最后一组元素由原微分 方程系数的负值构成，其余元素均为零 • 矩阵B除最后一个元素不为零外，其余元素均为零 • 由这种形式的矩阵A和B构成的状态方程，称为能控标准形 例9-3：已知 ，试写出能控标准形的状态空间表达式。 解： 图9-5 传递函数无零点时的状态图

  14. 2、传递函数有零点 图9-6 式（9-11）的框图 令

  15. 图9-7 传递函数有零点时的状态图

  16. 二、能控标准形实现 设某三阶系统的传递函数为： 在非零初始条件下，对上式取拉氏变换后得 上式等号右方第一项为零状态响应第二项为零输入响应

  17. 于是得： 具有这种形式的动态方程叫能观标准化。

  18. 图9-8 式（9-20）的能观标准状态图 对于一个n阶系统：

  19. 三、对角标准形的实现 设

  20. 图9-9 对角标准形实现的状态图 特点： 1）矩阵A对角线上元素为传递函数的极点，其余元素均为零，各状态变量间没有耦合 2）矩阵B是一列向量，其元素均为1 3）矩阵C是一引向量，其元素为T（s）相应极点的留数

  21. ，求对角标准形实现。 例9-4：已知 解：极点为 相应极点的留数为 于是得：

  22. 四、约当标准形的实现

  23. 约当形矩阵J的特点： 1）对角线上极点为T(s)的极点 2）对角线下方的元素全为零 3）对角上相同极点右上方的邻元素为1 例9-5：已知 ，求约当标准形实现并画出状态变量图。 解：

  24. 图9-10 约当标准形实现的状态图

  25. 三、矩阵A的对角化 非奇异线性变换的几个重要性质 1、非奇异线性变换不改变系统的特征值 设变换前动态方程为 特征方程为

  26. 变换后系统的特征多项式为 2、非奇异线性变换不改变系统的传递函数 变换前 变换后为 3、非奇异线性变换不改变系统的能控性和能观性

  27. 矩阵A的对角化 1、矩阵A有几个相异的特征值 令变换矩阵P为

  28. 求变换矩阵P的一般步骤 1）先求矩阵A的特征值λi，i=1,2,…,n 2）由(λiI-A)Pi=0确定每一个λi所对应的特征向量Pi， i=1,2,…,n，P=[P1 P2…Pn] 3）如果矩阵A的特征值λi是相异的，且矩阵A为能控标准形，则andermonde矩阵就是实现矩阵A对角化的一个变换阵

  29. 自动控制理论 2、矩阵A有多重特征值

  30. 例9-6:已知 试求变换矩阵P。 解： 例9-7:已知 试求变换矩阵P。 解：

  31. 例9-8:已知 ，已知其特征值为λ1=2， λ2=λ3=1，求将矩阵A变换为约当形的变换矩阵P。 解:设属于λ1的特征向量为P1，则得：

  32. 四、线性定常系统状态方程的解 齐次方程的解

  33. 非齐次方程的解

  34. 状态转移矩阵的性质

  35. eAt的计算方法 一、应用拉氏变换去计算 二、利用对角标准形式约当形计算eAt

  36. 1、矩阵A有相异的特征值

  37. 2、矩阵A有多重特征值

  38. 五、线性离散系统的动态方程式 由差分方程式式脉冲传递函数求动态方程 设单输入-单输出线性定常系统的差分方程为 图9-12 离散系统的状态图

  39. 解： 1）能控标准形 结论：连续定常系统由传递函数建立动态方程的多种方法同样，也适用于离散系统。 例9-9：已知 试写出系统能控、能观及对角标准形的实现。 图9-13 能控标准形的框图

  40. 图9-14 能控标准形实现的状态图

  41. 图9-15 能观标准形实现的状态图 2、能观标准形 3、对角标准形 图9-16 对角标准形实现的状态图

  42. 线性连续系统动态方程的离散化 设连续系统的动态方程为

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