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数 学 分 析. 第九章 数项级数. 教学目标：. 1 使学生深刻理解级数的概念及其思想。 2 通过知识学习，使学生掌握判别级数收敛的方法，从而培养分析应用的能力。. §9.1 预备知识：上级限和下级限. 对于一个有界数列 去掉它的最初 项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确为 ，下确界为 ，亦即
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数 学 分 析 第九章 数项级数 教学目标： 1 使学生深刻理解级数的概念及其思想。 2 通过知识学习，使学生掌握判别级数收敛的方法，从而培养分析应用的能力。
对于一个有界数列 去掉它的最初 项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确为 ，下确界为 ，亦即对于一个有界数列 去掉它的最初 项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确为 ，下确界为 ，亦即 可见 ．令 ，于是得到一列 和一列 ．显然数列 是单调减少的， 是单调增加的,所以这两个数列的极限都存在．我们称 的极限是 的上级限，设它是 ． 的极限是 的下极限, 设它是 .并分别将上极限和下极限记为 ．也就是
由于 ，得 如果数列 无上界，我们就说 ，如果数列 无下界，就说
下面给上极限和下极限的重要性质． 定理１ 设 ，则 （i）当 为有限时，对于 的任何 领 域 ，在数列 中有无穷多个项属于这个领域，而在 中最多只有限多个项（包括一项也没有） （ii）当 时，对任何数 ，在 中必有无穷多个项大于 （iii）当 时，数列 以 为极限．
证明 （i）当 时，假设存在某一正数 ，使得在 中有有限多个项大于 ，那么必存在 ，当 时，一切 皆有 ．于是上确界 因此 这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何 ，在 中必有无穷多个项大于
再来证明，在 中最多只有有限多个项大于 ．因为，由于 ，故存在 ,当 时有 ,而 又是 的上确界,所以当 时,对一切正整数 成立 ,这就证明了大于 的 只可能有有限多个(包括一个也没有).
(ii) 当 时,数列 无上界,由此便获得所要的 结论. (iii)当 时,对任何 ,存在 ,当 时 这表明 的极限为 .
定理2设 ,则 (i)当 为有限时,对 的任何 邻域 ，在数列 中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有限多项小于 (包括一项也没有); (ii)当 时,对于任何数 ,在数列 中有无穷多个小于 ; (iii)当 时,数列 的极限为 . 证明与定理1完全相仿.
定理3设 为 的上极限,那么,在 中必存在一个子列,其极限为 ,并且 是 中所有收敛子列的极限中的最大值.设 为 的下极限,那么,在 中必存在一个子列,其极限为 ,并且 是 中所有收敛子列的极限中的最小值.
证明 仅以上极限 来证明如下.分三种情形来考察: (i) ，由定理１知道，必有一个子列 收敛于 ．此外，对任意 ，在 中只可能有有限多个项大于 ，这就表明所有收敛子列的极限绝不会大于 ，再由 的任意性，便得到所有收敛子列的极限必不大于 ． （ii）当 时，按定理１，存在子列 ，而其他一切收敛子列的极限当然不会大于 （iii）当 时，此时 ，故数列 的一切子列以 为极限．
这一定理告诉我们，在一个数列 中，它的所有收敛子列的极限所组成的数集必有最大值和最小值，并且这个最大（小）值正是 的上（下）极限． 这一定理告诉我们，在一个数列 中，它的所有收敛子列的极限所组成的数集必有最大值和最小值，并且这个最大（小）值正是 的上（下）极限． 推论１ （有限或无穷大）的充要条件为 这个推论容易从定理３得到． 例１ 例2
