O que é um problema?

1. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADEAntonio Carlos BrolezziCurso de verão 2014Aula 2www.ime.usp.br/~brolezzibrolezzi@ime.usp.br

2. Seja como for, é indiscutível que essa forma, a do pentagrama, que pode ser obtida traçando as diagonais de um pentágono regular, é muito curiosa e incita todo tipo de investigação em sala de aula. Nela está embutida a famosa seção áurea, que pode ser encontrada em toda parte, conforme a ânsia de encontrá-la que se possui. Um desenho antigo sobre isso é Donald no País da matemágica.

4. Mas já encontrei pessoas que nunca ouviram falar da solução da estrela se esforçaram e chegara à solução alternativa mais famosa – a da tesoura.

5. Essas soluções são as clássicas que têm cara de alguma coisa, mas você mesmo pode criar a sua. As indicadas acima são conhecidas como estrela, dardo, compasso, funil, tesoura e prego. Esses nomes foram dados por Dudeney.

6. O trabalho descontraído com a resolução de problemas matemáticos tem uma tradição que remonta a, pelo menos, o início do século XX. Nessa época, as diversões matemáticas eram muito comuns em jornais, por exemplo (ainda o são, como mostra o sucesso do Sodoku).

7. Um nome associado ao aspecto lúdico da matemática do final do século XIX e início do século XX é o de Henry Ernest Dudeney(1857-1930), matemático e escritor inglês e que se especializou em diversões matemáticas.

8. O que interessante no livro de Dudeney não é apenas o conjunto abrangente de atividades de diversão matemática agrupadas em diversas categorias, mas também a forma sem pressa como ele comenta as atividades. Eu acho que a parte de comentários merece atenção à parte, pois neles estão não só contidos elementos que podem estimular as diversas formas de resolver essas atividades mas também há coisas do espírito da época.

9. Em 1903, na edição de 24 de maio do jornal britânico The Weekly Dispatch, ele publicou um desenho que até hoje serve de modelo para enigmas desse tipo.

10. A figura abaixo mostra seis homens e seis mulheres. Números ímpares são mulheres, números pares são homens. Essas doze pessoas formam seis casais que se misturaram em um passeio. Estamos interessados particularmente no homem de número 10 ao fundo. Quem será a mulher dele? Esta ilustração está reduzida em relação ao que apareceu originalmente, mas espera-se que tenha detalhes suficientes para permitir ao leitor divertir-se ao examiná-la.

11. Diz Dudeney: Mostrei a figura a alguns amigos, e eles expressaram diversas opiniões a respeito. Um dele disse, “Eu não casaria com uma garota como a Número 7." Outro disse, “Tenho certeza que uma garota simpática como a Número 3 não iria se casar com um cara desse tipo!” Outro disse: “Deve ser a Número 1, pois ela foi o mais distante possível do bruto!” Foi sugerido, também, que era mulher Número 11, porque “ele parece estar olhando para ela;" mas um cínico respondeu, “Por esta mesma razão, se ele está mesmo olhando para ela, eu diria que ela não é a mulher dele!" Agora deixo a questão nas mãos dos meus leitores. Quem é realmente a mulher do número 10?

13. Não há adivinhação neste enigma. É apenas uma questão de eliminação. Se podemos encontrar os outros pares, então a senhora restante é a esposa do 10. Vou mostrar como isso pode ser feito. 8 está carregando um guarda-sol de mulher, na mesma mão em que segura sua bengala. Mas todas as senhoras estão com guarda-sois, exceto a 3. Portanto, a 3 é seguramente a mulher do 8. Agora o 12 está segurando uma bicicleta, e se trata de uma bicicleta feminina. A única senhora com roupa de ciclismo é a 5; portanto, a 5 é a esposa do 12.

14. Em seguida, o homem 6 tem um cachorro, e a mulher 11 parece estar segurando uma corrente de cachorro. Então podemos casar 6 com 11. Agora vemos que o 2 está pagando o jornal ao menino. Mas não pagamos o jornal antes de recebê-lo, e o homem não está recebendo jornal. Mas a senhora 9 está lendo um jornal. Logo, a inferrência é óbvia – que ela mandou o menino cobrar do marido. Portanto casamos o 2 com o 9. Assim, já definimos todas as mulheres exceto 1 e 7, e todos os homens exceto 4 e 10. Olhando para 4, vemos que ele está carregando um casaco sobre seu braço, e os botões estão do lado esquerdo, não do lado direito, como um casaco masculino. O casaco com certeza não pertence a 1, pois ela parece já estar usando um casaco, enquanto 7 está vestida muito levemente. Portanto casamos 7 com o homem 4. Agora resta apenas a 1, que deve ser necessariamente a mulher de 10. Esta é a resposta correta.

15. Você pode fazer o download da obra de domínio público de Dudeney Amusements in Mathematics disponível no Projeto Guteberg: http://www.gutenberg.org/ebooks/16713

16. O que é um problema? Em geral, um problema é um obstáculo que dificulta a chegada aonde se deseja. É como um muro diante de nós, um impedimento. Quando alguém com quem marcamos um encontro liga e diz: “Estou com um problema”, entendemos imediatamente que a pessoa está com alguma dificuldade especial com a qual tem que lidar, e provavelmente não virá ao encontro. A palavra problema tem uma conotação negativa irrecuperável. Mas em geral os problemas sempre nos ensinam alguma coisa.

17. Descubra o valor de x.

18. A origem da palavra parece indicar um aspecto extremamente positivo do que seria problema. Um problema é uma espécie de ponte ligando duas situações – a que conhecemos e a que não conhecemos. A palavra problema vem do grego antigo, πρόβλημα (próblēma), e significa algo que se joga adiante, algo que se projeta para a frente, como um cabo ou promontório. Como se sabe, cabo é aquela parte do continente que avança sobre o mar. Promontório é um tipo de cabo, em geral com menos imponência.

19. A palavra vem de προβάλλω (probállō) "jogar ou deitar algo em frente de alguém, colocar adiante", do prefixo προ- (pro-) "em frente a" + βάλλω (bállo) "jogar, atirar, arremessar ". Talvez por isso algumas pessoas fiquem com vontade de jogar alguma coisa, um objeto pesado, no professor de matemática que vem trazendo estes problemas. Acho que a origem da palavra ajuda a ver o valor da resolução de problema para a vida das pessoas. Resolver problemas significa ir para adiante, tocar a vida, progredir, removendo os obstáculos ao nosso caminho.

20. Parece-me que uma imagem boa para representar um problema, baseado na origem da palavra, seria a de um píer, ou promontório artificial, um tipo de ponte que nos leva mar adentro até, às vezes, bem longe.

21. Resolver problemas é construir pontes. Veja, não é problema uma situação que, mesmo difícil, possa ser resolvida de imediato, usando uma técnica simples. Ele tem que passar a sensação de um mar sem fim de possibilidades.

22.  Não é por acaso que a palavra píer, que em sua origem significa pilar, também quer dizer, em sentido figurado, firmeza e dedicação. Problemas são pontes e pilares.

23. Um problema é uma espécie de ponte ligando duas situações – a que conhecemos e a que não conhecemos. Assim para nós um problema é uma situação que, fácil ou difícil, não possa ser resolvida de imediato, usando uma técnica simples. Para ser um problema, é preciso passar a sensação de um mar sem fim de possibilidades. Para nós, a vida oferece problemas para que a gente possa crescer por meio do enfrentamento deles. Os problemas são questões que colocamos e que podem ser enfrentados por meio de construções de pensamento. Essas construções são os pilares da nossa mente. “Houston, we have a problem.” http://www.youtube.com/watch?v=lTSVOnhLtCs

24. Um tijolo tem a massa de 1 kg mais meio tijolo. Qual a massa de um tijolo e meio?

25. Podemos dizer que existem duas classes de problemas. Se formos entender problema como algo que seja feito com algumas técnicas matemáticas, combinando algumas delas de modo a que a solução não seja imediata, mesmo assim teremos duas classes de problemas: Problemas rotineiros e Problemas não-rotineiros. Até a década de 70, era mais comum aparecerem diversões matemáticas em livros didáticos brasileiros. Por que será? O que aconteceu na década de 70?

26. Durante o período do pós-guerra denominado de guerra-fria, os americanos perceberam que estavam perdendo a disputa tecnológica para os russos – a famosa corrida espacial. Ficou muito famoso o lançamento do Sputnik - o primeiro satélite artificial da Terra, lançado pela URSS (União das repúblicas socialistas soviéticas) em 4 de outubro de 1957.

27. Os americanos teriam tentado desesperadamente saber a causa de estarem atrás dos soviéticos na corrida espacial. Fizerem consultas a especialistas, que identificaram a causa: os alunos americanos não sabiam tanta matemática quanto os alunos soviéticos.

28. Os alunos americanos não sabiam tanta matemática quanto os alunos soviéticos.

29. Os Estados Unidos lançaram então um grande programa de reformulação curricular e de formação de professores no que ficou conhecido como o Movimento da Matemática Moderna.

30. Propuseram que o ensino de matemática deveria se basear na forma como a matemática se organizava, do ponto de vista da matemática avançada. Por outro lado, os livros didáticos seguiam o método do estudo dirigido, em que os alunos tinham que passar por etapas distintas de baterias de exercícios, todos muito parecidos, para avançar. Estabeleceu-se a idéia de que matemática se aprende somente fazendo infinitas séries de exercícios rotineiros. É claro que se aprendem coisas fazendo exercícios. Inclusive, matemática.

31. Mas, o movimento da matemática moderna fracassou em seus objetivos principais. Joãozinho não conseguia mais somar.

32. Mas, o movimento da matemática moderna fracassou em seus objetivos principais. Joãozinho não conseguia mais somar. É necessário resgatar a beleza da matemática anterior ao MMM. Isso pode ser feito por meio de diversões matemáticas. Há livros que trazem esse tipo de abordagem.

33. George Polya, autor do clássico A arte de resolver problemas, dizia que quem não sabe resolver problemas não sabe matemática. George Pólya (1887-1985)

34. É dele a famosa definição: Matemática = informação + know-how George Pólya (1887-1985)

35. Know-how é uma expressão em inglês que significa “saber fazer”. Seria como a noção de tecnologia, em que um país que detém a tecnologia espacial, por exemplo, não tem apenas conhecimento sobre foguetes, mas sabe e de fato constrói naves e as lançar no espaço. No caso da matemática, esse saber-fazer seria o que? O que é know-how em Matemática? É a habilidade de resolver problemas. “Polya observou que, embora problemas rotineiros possam ser usados para satisfazer certas funções pedagógicas de ensinar alunos a seguir um procedimento específico ou usar uma definição corretamente, apenas através do uso criterioso de problemas não-rotineiros é que os alunos podem desenvolver sua habilidade de resolução de problemas.” (STANIC & KILPATRICK, 1990)

36. Bem, acho que deu para perceber que os problemas não-rotineiros são bem importantes para a aprendizagem da matemática completa, não aquela constituída apenas de fórmula e definições, mas aquele que ajuda a resolver problemas. Por isso, vamos ver o que podemos fazer com o seguinte problema: Uma camponesa necessitava de 5 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava?

37. Uma camponesa necessitava de 5 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava?

38. Uma camponesa necessitava de 5 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava?

40. George Polya propõe várias técnicas de resolução de problemas. Uma delas é a de transformar o problema em outro, eventualmente mais fácil de se resolver. Por exemplo: Uma camponesa necessitava de 4 litros de água para fazer uma receita de pães. Utilizando apenas suas duas jarras de barro sem marcas, uma para 7 litros e outra para 3 litros, como conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade de água que desejava? Parece uma coisa a toa, mas trata-se de uma ferramenta desenvolvida resolvendo um problema simples que pode ser aplicada na resolução de outros problemas mais complexos. Outro exemplo, se a camponesa quisesse 1 litro, o que poderia fazer?

41. Claro, poderia jogar fora os 4 litros e começar a tentar de novo. Ou então, jogar o de 4 litro no de 3 (devidamente esvaziado, claro) e então, obteria 1 litro. Mas sempre pode começar de novo. Isso lembra a história do matemático...

42. Essa idéia de transformar um problema em outro mais simples, de forma a que se possa desenvolver uma técnica para ser aplicada no problema original, é o que se chama de heurística. Heurística significa “a arte da descoberta”. Consiste em estratégias ou táticas de resolução de problemas. É a arte de inventar, de fazer descobertas. É possível também dizer uma heurística, ou as heurísticas, referindo-se às técnicas ou métodos, mesmo informais, que podem servir para se obter a solução de um problema. Heurística vem do grego εύρηκα (eureka) que significa “Eu descobri”!, a famosa frase de Arquimedes quando ele resolveu o problema da coroa do rei Hierão II de Siracusa.

43. Conta-se que o rei mandou os ourives fazerem uma coroa para ele, mas ficou desconfiado de que tivessem porventura roubado um pouco do ouro dele, fazendo a coroa com uma mistura de ouro e prata. Mas, como descobrir isso? Bastava pesar a coroa, e comparar o peso com o que se espera que seria o peso do mesmo volume de ouro. O problema é como calcular o volume de uma coroa, com todas as suas reentrâncias e saliências. Arquimedes estava com este problema na cabeça, e fez algo que toda gente pode fazer também quando tem um problema difícil para resolver – ele foi tomar um banho. Não um banho qualquer, mas um belo banho de imersão.

44. Ocorre que ele percebeu que a água da banheira derramou quando entrou nela. Pensou: o volume do líquido que sai da banheira deve ser equivalente ao volume do meu corpo – ou, pelo menos, da parte do corpo dele que estava dentro da água – considerando que ele não se afogou. O que entrou de corpo na água, é igual ao que saiu de água da banheira.

45. Assim, segundo se conta, ele teve o vislumbre de que poderia resolver o problema da coroa do rei. Bastava mergulhá-la em um recipiente com água, e o que fosse deslocado de água, corresponderia ao volume da coroa. Claro, se a coroa flutuasse, também poderia perceber que não era feita de ouro, mas seria uma falsificação barata feita de plástico. Isso seria muito improvável, pois a história de Arquimedes se passa em 153 aC e o plástico foi inventado em 1890 (a coroa de plástico deve ter sido inventada depois, mas eu não sei a data exata). O mais provável é que a coroa tivesse sido falsificada com uma mistura de ouro e prata. Bem, isso não importa muito agora.

46. O que interessa é que se conta que Aquimedes, tão entusiasmado por ter resolvido um problema, saiu da banheira nu como estava e foi direto ao palácio do rei contar sua descoberta. E foi gritando pelas ruas de Siracusa: “Eureka! Eureka!” Quer dizer: “Descobri! Descobri!”

49. Quem relata esta história sobre Arquimedes é um arquiteto romano, Marcus Vitruvius Pollio, do século I a.C. Ele escreveu isso uns 200 anos depois do fato. Esta história pode muito bem não ser verdadeira, pois o método não funcionaria, devido a tensão superficial do líquido. Atribui-se a Arquimedes outros métodos de resolver o problema, pesando a coroa no ar e dentro da água.

50. Certo mesmo, é que Arquimedes publicou uma obra chamada Sobre Corpos Flutuantes em que dá o princípio da hidrostática, ou princípio de Arquimedes (lei do empuxo), que diz que todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, sofre a ação de uma força vertical, para cima, aplicada pelo fluido. Essa força é denominada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Observe que aqui se fala de força, e a história da coroa se refere apenas ao volume da água deslocada.