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第三节 几何概型（文）

第三节 几何概型（文）. 一、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( 或 ) 成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型，简称为 ．. 长度. 面积 体积. 几何概型. 二、几何概型的概率公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P ( A ) ＝. 古典概型与几何概型的区别？. 提示： 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个. 1 ．在区间 [1,3] 上任取一数，则这个数大于等于 1.5 的概率

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第三节 几何概型（文）

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  1. 第三节 几何概型（文）

  2. 一、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 (或)成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型，简称为 ． 长度 面积 体积 几何概型

  3. 二、几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： P(A)＝.

  4. 古典概型与几何概型的区别？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个.

  5. 1．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率1．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率 为 () A．0.25B．0.5 C．0.6 D．0.75 解析：P＝ ＝0.75. 答案：D

  6. 2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄 豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为 依据可以估算出椭圆的面积约为 () A．7.68 B．16.32 C．17.32 D．8.68

  7. 解析：根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝ ，而P＝ ＝0.68，S矩形＝24，故S椭圆＝P·S矩形＝0.68×24＝16.32. 答案：B

  8. 3．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水 样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 () A．0.001 B．0.002 C．0.004 D．0.005 解析：由几何概型的知识知P＝ ＝0.004. 答案：C

  9. 4．如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作4．如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作 一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________． 解析：∵∠AOT＝60°， 故其概率为 答案：

  10. 5．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方5．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方 形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知 恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的 面积是________． 解析：设正方形的面积为S正， 阴影部分的面积为S阴， 则 又S正＝62，∴S阴＝9. 答案：9

  11. 1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝ 2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

  12. (2009·山东高考)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos 的值介于0到 之间的概率为 ()

  13. 利用y=cosx的图象求cosx∈[0, ]时的x所属区间，可求.

  14. 【解析】　在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos 的值位于[0,1]区间，若使cos 的值位于[0， ]区间，取到的实数x应在区间 内，根据几何 概型的计算公式可知P= 【答案】A

  15. 1．在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求1．在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求 弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．

  16. 解：记A={弦长超过圆内接正三角形边长}． 如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧 上时，|BE|＞|BC|，而 劣弧 长恰为圆周长的 由几何概型的概率公式有P(A)＝

  17. 1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝ 2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中 常考的题型． 3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝

  18. 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)． (1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率； (3)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．

  19. 本题第（1）问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第（2）问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及（x—2）2+(y—2) 2≤4的点的个数即可.

  20. 【解】(1)如图，点P所在的区域为 正方形ABCD的内部(含边界)，满足 ( x—2)2+(y—2)2≤4的点的区域为以(2,2) 为圆心，2为半径的圆面(含边界)． ∴所求的概率P1＝ (2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个， 满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点(x，y)有6个， ∴所求的概率P2＝

  21. 2．例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋2．例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋ y2≥4的概率．

  22. 解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)． 故所求概率

  23. 生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、 等车等问题，解决时要注意： (1)要注意实际问题中的可能性的判断； (2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体 积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应 的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率， 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的 坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 坐标系的点，便可构造出度量区域．

  24. 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．

  25. 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即 小时，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，当且仅当— ≤x—y≤ ，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.

  26. 【解】　设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，【解】　设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见， 当且仅当

  27. 两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为

  28. 3．甲、乙两人约定上午7∶00至8∶00之间到某站乘公共汽3．甲、乙两人约定上午7∶00至8∶00之间到某站乘公共汽 车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为 7∶20，7∶40，8∶00，如果他们约定，见车就乘，求甲、 乙同乘一车的概率．

  29. 解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达 汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即 甲乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对 应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，必须满足

  30. 即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内， 所以由几何概型的计算公式得，P= 即甲、乙同乘一车的概率为

  31. 几何概型为近几年高考新增考点内容，主要考查与长度、面积有关的问题，难度不大，属中低档题型，要注意分析与古典概型的区别与联系.2009年辽宁卷主要考查了几何概率中的面积型问题，难度不大，属较易题.几何概型为近几年高考新增考点内容，主要考查与长度、面积有关的问题，难度不大，属中低档题型，要注意分析与古典概型的区别与联系.2009年辽宁卷主要考查了几何概率中的面积型问题，难度不大，属较易题.

  32. (2009·辽宁高考)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ()

  33. [解析]如图，根据几何概型概率公式得概率为 [答案]B

  34. 本例为几何概型中的面积型问题，由题意知以O为原点1为半径作圆，则圆外部分符合题意，这也是解决本问题的关键．本例为几何概型中的面积型问题，由题意知以O为原点1为半径作圆，则圆外部分符合题意，这也是解决本问题的关键．

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